빛의 도플러 효과

일반적인 도플러 효과

앞에서 광원과 관측자의 운동이 서로를 향해 다가가거나 멀어지는 세로 도플러 효과와 둘이 놓인 방향에 대해 수직으로 운동하는 가로 도플러 효과에 대해 알아보았다. 이 과정에서 우리는 일반적인 파동의 도플러 효과처럼 다루면서 단지 운동하는 물체의 시간이 더디게 간다는 시간팽창의 원리를 가미하였다. 이제 여기서 보다 일반적으로 광원과 관측자가 임의의 방향으로 운동하고 있을 때의 도플러 효과를 알아보기로 하자. 이 또한 앞과 비슷하게 시간팽창으로 다룰 수도 있지만 이왕에 로렌츠 변환식을 알게 되었으니 이를 이용하여 보다 체계적으로 접근해 보자.

S' 계에서 다음과 같이 표현되는 평면파가 있다고 하자. \[ U(x', y', t') = A\sin(k_x' x' + k_y' y' - \omega' t') \] 여기서 파벡터 $(k_x', k_y')$는 그 방향이 평면파의 진행방향이고, 그 크기는 파수로서 $2\pi/\lambda'$, 즉 파장에 반비례하는 양이다. 그리고 $\omega'$는 $2\pi \nu'$이다.

이 평면파를 S 계에서 표현해 보자. 앞의 파동함수는 스칼라 양이고 따라서 로렌츠 변환에서 변하지 않는 불변량이어야 한다. 한편 로렌츠 변환은 좌표값의 선형변환이므로 S 계에서 표현되는 파동함수도 같은 평면파가 될 것이다. 즉, \[ U(x, y, t) = A\sin(k_x x + k_y y - \omega t) \] 으로 표현할 수 있다. 이제 S' 계에서 S 계로 로렌츠 변환을 하여 $(k_x, k_y, \omega)$와 $(k_x', k_y', \omega')$의 변환관계를 정리하면 \[ k_x = \gamma (k_x' + v\omega'/c^2), \quad k_y=k_y', \quad k_z=k_z' \] \[ \omega = \gamma (\omega'-vk_x') \] 이 변환관계는 좌표공간에 대한 로렌츠 변환과 약간 차이가 있다. 이는 $(k_x x + k_y y - \omega t)$를 불변량으로 하기 위해 성립해야 하는 변환이다. 한편 S' 계에서의 $x'$축에 대해 $\theta'$기울어져서 빛이 진행한다면 \[ k_x' = k' \cos\theta', \] \[ k_y'=k'\sin\theta' \] 이다. S 계에서의 파장 $\lambda=2\pi/k$를 $\lambda'=2\pi/k'$와 $\theta'$로 관련지으면, \[ \lambda = \frac{2\pi}{\sqrt{\left(k_x' \gamma + \omega' \gamma \frac{v}{c^2} \right)^2 + k_y'^2}} = \lambda' \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{1+ \beta \cos\theta'} \] 여기서 $\omega'=k'c, \omega=kc$의 관계를 이용하였다. 한편 이 식의 역변환으로부터 다음의 일반적인 도플러 효과 관계를 얻을 수 있다. \[ \lambda = \lambda' \frac{1- \beta \cos\theta}{\sqrt{1-\beta^2}} \] 이 관계에서 $\theta=0$인 경우가 세로 도플러 효과에, $\theta=\pi/2$인 경우가 가로 도플러 효과에 해당한다.

아래 그림은 단색광을 내는 물체가 오른쪽으로 이동하고 있을 때 각 관찰점에 따라 다른 색으로 보이는 것을 나타낸 것이다. 물체가 점점 가까워지는 지역에서는 원래의 파장에 비하여 파장이 줄어들어 청색 방향으로 치우치게 되고, 반대의 경우에는 파장이 늘어나서 붉은 색 방향으로 치우친다. 이렇게 파장이 달라져 보이는 현상을 각각 청색편이(blue shift) 및 적색편이(red shift)라고 한다.

_ 로렌츠 변환_ 도플러 효과_ 파동함수_ 시간팽창_ 평면파_ 불변량_ 파수

광행차

S' 계에서 $x'$ 축에 대해 $\theta'$로 기울어진 방향으로 진행하는 평면파는 S 계에서는 $x$ 축에 대해 $\theta$ 기울어진 방향으로 진행하게 된다. 일반적으로 광원과 관측자의 상대운동속도가 커지면 이 차이가 커지게 되는 데 이를 빛의 광행차(aberration of light)라고 한다. 앞의 평면파 전개에서 $k_y$와 $k_x$의 비를 구해보면 쉽게 다음 식을 유도할 수 있다. \[ \tan \theta = \frac{k_y}{k_x} = \frac{k_y'}{\gamma\left( k_x' + \frac{v}{c^2} \omega' \right)} \] 따라서 \[ \tan \theta = \frac{\sin \theta' \sqrt{1-\beta^2}}{\cos \theta' + \beta} \] 이다.

이 광행차는 실제로 지구에서 별을 관측할 때 지구의 공전이나 자전 때문에 별빛이 오는 방향이 약간 어긋나 보이게 한다. 물론 지구의 공전이나 자전 속도는 광속에 비하여 훨씬 작지만 정밀한 관측에서는 고려해야할 중요한 사항이 된다. $\beta$가 상당히 작을 때 앞의 광행차 식은 \[ \tan(\theta-\theta') = \frac{\beta}{\sin\theta} \] 이다. 공전에 의한 광행차는 지구의 공전속도에 대한 광속의 비가 $\beta \approx 9.9 \times 10^{-5}$이므로 이를 각도로 환산하면 20.496초 정도 된다. 즉 지구의 공전궤도에 대해 수직으로 비추어지는 별빛은 20.496초 정도 기울어져서 관측된다. (이 광행차의 효과는 마치 달려가는 차 속에서 창밖에 내리는 빗줄기의 방향이 달라져 보이는 것과 비슷하다. 실제로 지구의 공전에 의한 광행차는 상대론적으로 취급하지 않아도 무방하나 속도가 커지면 상대론적인 고려가 필요해진다)

_ 평면파