도플러 효과

도플러 효과

도플러 효과

상대적인 운동을 하는 파원과 관측자

사이렌을 울리면서 빠르게 다가왔다가 멀어지는 소방차의 사이렌 소리는 특이하게 들린다. 즉 소방차가 다가올 때는 높은 음으로 들리다가 앞을 지나면서 순식간에 낮은 음으로 들린다. 그뿐만 아니라 움직이는 차에 타 있으면서 정지해 있는 소방차가 내는 사이렌 소리도 이와 비슷하게 변화된 소리로 들린다. 이는 소리를 내는 물체나 듣는 사람이 운동하면 원래와는 다른 파형으로 변한 소리로 들리기 때문이다. 이러한 현상은 모든 종류의 파동에서 성립하는 보편적인 현상으로 이를 도플러 효과(Doppler effect)라 한다. 이는 1842년 오스트리아의 물리학자 도플러(J. C. Doppler)가 음파에서 이러한 현상을 발견하였는 데 일반적으로 파원과 관측자, 파동이 전파되는 매질의 상대속도에 따라 파원이 내는 원래의 파장과 진동수가 달라져서 관찰된다.

이 현상은 빠르게 움직이는 물체에 초음파를 쏘아서 반사되는 파동의 진동수를 관측하여 물체의 속력을 측정하는 도플러속도계, 항공기에서 지상으로 전파를 발생하여 반사되어 수신되는 전파와 송신 전파와의 진동수의 차이(도플러 주파수)를 측정하여 비행기의 속도를 알아내는 도플러레이더 등에 응용된다.

photo

강물을 거슬러서 가는 배가 만드는 파문_

오른쪽 그림은 강에서 배가 진행하면서 물결파를 만드는 것을 보여준다. 배의 진행속도가 물결파의 진행속도보다 빨라서 물결을 뒤에 남겨두고 앞으로 나아가고 있다

_ 진동수_ 음파_ 파동

도플러 효과 - 파원이 운동하는 경우

기적을 울리면서 다가오거나 멀어지는 기차

아래 그림을 'run'하여 파원이 움직이는 여러 가지 상황을 관측해 보자. 파원이 파를 발생시키면서 수평방향으로 움직이고 있다. 각각의 시간에 발생된 파면을 나타내는 동심원의 중심이 이동되어 있다. 지점에따라 측정되는 파장이나 진동수의 값이 원래의 파가 가지고 있는 값과 다른 값으로 관측될 것이라는 것을 쉽게 알 수 있다.

sim

파원이 운동하는 경우의 도플러 효과_ 'run' 버튼을 누르면 파원이 가로방향으로 움직이면서 파를 발생하게 된다. 파동에 대한 데이터는 화면의 왼쪽 상단에, 파원의 데이터는 오른편 상단에 나타나며 'reset' 버튼을 누르면 파장, 진동수, 파원의 속도가 임의의 값으로 달라진다. 이때 파원이 움직이는 앞이나 뒤에서의 파면사이의 거리, 즉 파장값을 수치로 보여주게 된다.

아래 그림은 최초 시간, 즉 $t=0$ 에 파원이 A 지점, 1 주기가 경과한 후인 $t=T_0$ 에 B 지점, 2 주기가 지난 후인 $t=2T_0$ 에 C 지점을 지나고 있다. A, B 각각의 지점에서 발생시킨 파면이 D 지점, E 지점에 있고 C 지점에서는 파면이 막 생성되는 과정에 있다. 여기서의 파면은 파가 최댓값을 가지고 있어 그 파면간의 거리가 바로 파장이 된다. 파원이 멀어져 가고 있는 D나 E점에서 파를 관측했을 때 원래의 파장 $\lambda_0$ 과 다른 $\lambda '$ 를 파장의 값으로 관측할 것이다

graphic

파원이 운동하는 경우의 도플러 효과_ 파원이 오른쪽으로 이동하고 있는 가운데 파를 발생하고 있다. 큰 원은 파원이 A 지점에 있을 때(t=0) 낸 파면이고, 오른쪽으로 치우친 작은 원은 파원이 B 지점에 있을 때(t=T_o) 낸 파면이다. 이때 파면 뒤에 정지해 있는 관측자가 측정하는 파장값 λ'을 도면으로 부터 계산할 수 있다.

그림에서 DE간의 거리는 DA + AB - EB 이므로

λ^{'} = (2 λ_{0} + T_{0} v_{s}) - λ_{0} = λ_{0} + T_{0} v_{s} = T_{0} (v + v_{s})

$\lambda ' = (2 \lambda_0 + T_0 v_s ) - \lambda_0 = \lambda_0 + T_0 v_s = T_0 ( v+v_s)$ 이렇게 멀어지는 파원이 내는 파장은 원래의 파장보다 더 큰 값으로 관측된다. 한편 파의 속력은 변함이 없으므로 D 나 E 지점 쪽에서 관측되는 주파수는 다음과 같이 적은 값으로 관측될 것이다.

f^{'} = \frac{v}{λ^{'}} = \frac{v}{T_{0} (v + v_{s})} = \frac{v}{v + v_{s}} f_{0}

$f'=\frac{v}{\lambda '} = \frac{v}{T_0 (v+v_s)} = \frac{v}{v+v_s} f_0$

또한 파원이 관측점으로 다가올 때에는 위 식에서 $v_s$ 가 $-$ 값을 가지는 것으로 생각하여 식을 그대로 쓸 수 있다. 혹은 다가오는 속력을 $+$ 값의 $v_s$ 라 한다면

f^{'} = \frac{v}{v - v_{s}} f_{0}

$f' = \frac{v}{v-v_s} f_0$ 가 된다.

[질문1] 기차가 300Hz의 기적소리를 내면서 음속의 0.5 의 속도로 달리고 있다. 이 기차가 정면에서 다가올 때와 멀어질 때의 들리는 기적소리의 진동수는 각각 몇 Hz 일까?

_ 진동수_ 주기_ 파면_ 파동

충격파

도플러 효과는 파원의 속도가 파의 속도보다 느린 경우에 나타나는 현상이지만 실제로 파원은 파속과 같거나 더 빠른 속도를 할 수 있다. 특히 항공기술의 발달로 과거에는 벽처럼 느껴졌던 음속을 뛰어 넘는 초음속의 제트 전투기나 여객기가 만들어져 운용되고 있기도 하다.

파원의 속력이 점점 커져서 파동의 속력과 같아지는 경우를 생각해 보자. 파원이 진행하는 방향에서 그 파를 관측하면 파장이 점점 줄어들어 급기야는 0의 값이 될 것이다. 이 경우는 파면이 무수히 겹쳐서 진폭이 거의 무한대가 되어 파의 세기가 걷잡을 수 없을 만큼 커질 것이다. 즉, 파원이 음속과 같은 속도로 직선운동을 한다면 아래 그림에서나타낸 것처럼 항상 파원이 지금까지 발생시킨 소리의 파면과 동시에 진행하는 상황이 벌어지는 것이다. 그뿐만 아니라 파원이 움직이는 방향과 수직인 다른 지점에도 파원과의 거리에 따라 다르기는 하지만 파원이 오랜 과거에 낸 소리가 무수히 중첩되어 충격파가 생기게 된다. 제트 전투기가 가속되어 음속을 돌파하면서 상공을 지나갈 때 짧은 순간이긴 하지만 매우 큰 폭발음을 듣게 되는 것이 바로 이것 때문이다.

graphic

음속과 같은 속도로 달리는 물체가 내는 충격파_ 음속과 같은 속도로 달려가는 물체가 내는 파면을 그렸다. 편의상 최근에 발생시킨 몇몇의 파면을 그렸지만 물체가 오래 전부터 운동을 지속하고 있었다면 그림에서 '충격파의 파면'으로 표시한 분홍색 선의 지점에는 정도의 차이는 있지만 무수히 많은 파가 겹쳐지게 되어 폭발음을 듣게 될 것이다.

한편, 파의 속도보다 파원이 더 빠르게 움직인다면 파원은 자기가 발생시킨 파를 '뒤에 남겨두고' 앞으로 나아가 버리는 또다른 상황이 벌어지게 된다. 파원의 속력이 파의 속력보다 큰 일정한 값을 가지게 되면 그 파원이 발생시킨 파면이 겹쳐지는 포락선이 직선이 된다. 많은 파면이 겹쳐진 이 파면도 일종의 충격파라 형성하는 데 파동이 움직임에 따라 이 고깔 모양의 면도 같이 진행을 하게 된다. 아래 그림을 보자. 파원이 $v_s$ 의 속력으로 앞으로 나아감에 따라 충격파를 이루는 붉은 색으로 표시한 직선의 파면도 그 파면에 수직인 방향으로 $v$ 의 속력으로 진행하게 된다.

graphic

충격파_ 속도 $v$ 의 음파를 내면서 그 보다 빠른 $v_s$ 의 속도로 움직이는 물체가 내는 충격파의 모습이다. 무수히 많은 파면이 겹쳐진 원뿔모양의 충격파면이 음파가 진행함에 따라 수직 방향으로 퍼지는 것을 화살표로 나타내고 있다.

이러한 충격파는 음속을 돌파한 초음속 전투기가 상공을 지나갈 때 역시 지상에서 음속돌파의 순간보다는 훨씬 약하지만 일종의 폭발음으로 들을 수 있다. 즉 위 그림에서 초음속 전투기가 내는 충격파는 전투기의 현 위치를 정점으로 하는 고깔 모양의 면을 형성할 것이다. 이 면은 전투기를 따라 계속 진행하므로 지상에서는 이 면이 우리 귀를 스쳐지나가는 짧은 순간, 폭발음을 한 번 들을 수 있다. 그림에서 $\cos\theta= v/v_s$ 이다. 여기서 $v_s/v$ 는 물체의 음속에 대한 속력의 비로 마하수(Mach number) 라 한다.

이러한 충격파는 빛의 경우도 관측된다. 진공에서는 무슨 물체든 빛보다 빨리 움직일 수 없으니 이런 일이 일어날 수 없다. 그러나 매질에서는 빛의 속력이 느려서 간혹 빛을 내는 하전입자의 속력이 그 매질 속에서의 빛의 속도보다 빠를 수 있고 이 경우 등속으로 움직이는 물체도 전자기파를 복사하는 체렌코프 복사(Cerenkov radiation)이다.

_ 체렌코프 복사_ 전자기파_ 진폭_ 음파_ 파속_ 파면_ 파동