베타붕괴

베타붕괴

체렌코프 복사

매질 속에서의 빛보다 빠른 하전입자는 빛을 방출한다.

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체렌코프 복사_ 물질에서의 빛의 속도보다 더 빨리 움직이는 입자는 빛을 방출한다. 입자는 오른쪽으로 속도 $v$ 로 움직이고, 빛은 이와 $\theta_C$ 의 각도로 퍼진다. 푸른 선은 파면으로 진행방향을 중심으로 한 원뿔 모양을 이루며 입자가 진행함에 따라 같은 속도로 그 원뿔이 이동한다.

일반적으로 등속으로 이동하는 하전입자는 빛을 방출하지 않는다. 그러나 입자가 유전체에서 빛의 위상속도보다 빠르게 움직인다면 빛을 방출한다. 이러한 현상을 1934년 옛 소련의 체렌코프(P. Cerenkov)가 빠른 전자가 액체나 고체에서 빛을 내는 것을 처음 발견하여 이를 체렌코프 복사(Cerenkov radiation)라 한다. 체렌코프 복사는 1937년 프랑크(I. Frank)와 탐(I. Tamm)이 이론적으로 규명하였고, 이들은 체렌코프와 함께 1958년 노벨물리학상을 수상했다.

물질 속에서 하전입자가 운동을 하게 되면 입자가 만드는 전기장에 의해 물질의 구성원자가 분극되고, 이 분극이 진동을 하면서 전자기파가 방출되는 것으로 이해할 수 있다. 입자의 속도가 그 물질에서의 빛의 속도보다 느리다면 이렇게 생성된 전자기파는 소멸파(에버네센트 파: evanescent wave)로서 소멸하게 되나 빛의 속도보다 더 빠르다면 물질에서 비롯된 빛이 서로 보강간섭을 일으키게 되어 극적으로 진행파를 형성하게 된다. 이 현상은 고전론으로나 양자론으로 규명되어 있으며, 여기서는 고전 전자기이론으로 간결하게 해석한다.

$z$ 축을 따라서 속도 $v$ 로 진행하는 전하량 $e$ 의 전류밀도를 $(\rho, \theta, z)$ 의 원통좌표계에서 나타내면 다음과 같다.

\begin{matrix} (1) & J (r, t) = \hat{z} e v δ (z - v t) \frac{δ (ρ)}{2 π ρ} \end{matrix}

$\begin{equation}\label{eq1} \mathbf{J}(\mathbf{r}, t) = \hat{z} e v ~ \delta(z-vt) \frac{\delta(\rho)}{2\pi \rho} \end{equation}$ 변하는 전류는 전기장과 자기장을 만들게 될 것이며, 이를 맥스웰 방정식으로 풀이하기 위해서 전류밀도를 진동수 영역(frequency domain)에서 표현하도록 한다. 즉,

J (r, ω) = \frac{1}{2 π} \int J (r, t) e^{i ω t} d t = \hat{z} \frac{e}{4 π^{2} ρ} e^{i ω z / v} δ (ρ)

$\mathbf{J}(\mathbf{r}, \omega) = \frac{1}{2\pi} \int \mathbf{J}(\mathbf{r}, t) e^{i\omega t} dt = \hat{z} \frac{e}{4\pi^2 \rho} e^{i\omega z/v} \delta(\rho)$ 이다.

J (r, ω)

$\mathbf{J}(\mathbf{r}, \omega)$ 는

ω

$\omega$ 의 단일 진동수를 가진 전류밀도의 성분으로 볼 수 있다. 이 성분이 만드는 전기장이나 자기장도 역시 단일 진동수로 진동을 할 것으로 예상할 수 있다. 전기장의

ω

$\omega$ 성분이 만족하는 방정식을 도출하기 위해서 전기장 역시 진동수 영역에서 나타내자.

E (r, ω) = \frac{1}{2 π} \int E (r, t) e^{i ω t} d t

$\mathbf{E}(\mathbf{r}, \omega) = \frac{1}{2\pi} \int \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) e^{i\omega t} dt$ 이제 유전율과 투자율이 각각

ε

$\varepsilon$ ,

μ

$\mu$ 인 선형 물질에서 전기장이 만족하는 파동방정식

\nabla \times \nabla \times E (r, t) + ε μ \frac{\partial^{2} E (r, t)}{\partial t^{2}} = - μ \frac{\partial J (r, t)}{\partial t}

$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{\nabla} \times \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) + \varepsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) }{\partial t^2} = - \mu \frac{\partial \mathbf{J}(\mathbf{r}, t) }{\partial t}$ 에 적용하여 단일 진동수

ω

$\omega$ 의 전기장 성분에 대해 정리하면,

\begin{matrix} (2) & \nabla \times \nabla \times E (r, ω) - k^{2} E (r, ω) = \hat{z} \frac{i ω μ e}{4 π^{2} ρ} e^{i ω z / v} δ (ρ) \end{matrix}

$\begin{equation}\label{eq2} \mathbf{\nabla} \times \mathbf{\nabla} \times \mathbf{E} (\mathbf{r}, \omega) - k^2 \mathbf{E} (\mathbf{r}, \omega) = \hat{z} \frac{i\omega \mu e}{4\pi^2\rho} e^{i\omega z/v} \delta(\rho) \end{equation}$ 이 된다. 여기서

k

$k$ 는 물질에서의 파수로

k^{2} = ε μ ω^{2}

$k^2 = \varepsilon \mu \omega^2$ 이다.

(2)

$\eqref{eq2}$ 식은 베셀 방정식의 한 형태로 되어서 다음과 같이 풀린다.

\begin{matrix} (3) & E (r, ω) = - \frac{e}{8 π ω ε} (\hat{z} k^{2} + i \frac{ω}{v} \nabla) H_{0}^{(1)} (k_{ρ} ρ) e^{i ω z / v} \end{matrix}

$\begin{equation}\label{eq3} \mathbf{E} (\mathbf{r}, \omega) = -\frac{e}{8\pi \omega \varepsilon} \left( \hat{z} k^2 + i \frac{\omega}{v} \nabla \right) H_0^{(1)} (k_\rho \rho) e^{i\omega z/v} \end{equation}$ 여기서

k_{ρ} = \sqrt{k^{2} - \frac{ω^{2}}{v^{2}}}

$k_\rho = \sqrt{k^2 - \frac{\omega^2}{v^2}}$ 이고,

H_{0}^{(1)}

$H_0^{(1)}$ 는 0차 항켈 함수(Hankel function)이다.

$\eqref{eq3}$ 은 $k_\rho \rho \gg 1$ 에서의 점근적 관계 $H_0^{(1)}(k_\rho \rho) \approx \sqrt{2/i\pi k_\rho \rho} ~ e^{ik_\rho \rho}$ 를 이용하여 정리하면,

\begin{matrix} (4) & E (r, ω) \approx \frac{e}{8 π ω ε} \sqrt{\frac{2 k_{ρ}}{i π ρ}} (\hat{ρ} \frac{ω}{v} - \hat{z} k_{ρ}) e^{i (k_{ρ} ρ + ω z / v)} \end{matrix}

$\begin{equation}\label{eq4} \mathbf{E} (\mathbf{r}, \omega) \approx \frac{e}{8\pi \omega \varepsilon} \sqrt{\frac{2k_\rho}{i\pi\rho}} \left( \hat{\rho} \frac{\omega}{v} - \hat{z} k_\rho \right) e^{i(k_\rho \rho + \omega z/v)} \end{equation}$ 이 결과는

k_{ρ}

$k_\rho$ 가 실수일 때

\hat{ρ} k_{ρ} + \hat{z} ω / v

$\hat{\rho} k_\rho + \hat{z} \omega/v$ 의 파벡터를 가지는 평면파를 나타내는 것을 알 수 있다.

k_{ρ}

$k_\rho$ 가 실수인 조건은

\begin{matrix} (5) & v > \frac{1}{\sqrt{μ ε}} = \frac{c}{n} \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq5} v \gt \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}} = \frac{c}{n} \end{equation}$ 으로 이 조건을 충족하지 못하면

k_{ρ}

$k_\rho$ 는 복소수가 되어서

ρ

$\rho$ 가 커지면 파동이 감쇠되어서 복사가 일어나지 않게된다. 이는 하전입자가 매질에서의 빛의 위상속도보다 더 빠르게 움직일 때만 복사가 일어난다는 것을 뜻한다. 다음 그림에서 보듯이 파면은

z

$z$ 축을 중심으로 한 원뿔 모양을 하게 된다. 또한 빛이 향하는 방향은 파벡터의 방향으로 입자의 진행방향(

z

$z$ 축)에 대해서

θ_{C}

$\theta_C$ 의 각을 이루는 데 이는 다음 식을 만족한다.

\begin{matrix} (6) & \cos θ_{C} = \frac{ω}{k v} = \frac{1}{β n} \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq6} {\large \boxed{ \cos \theta_C = \frac{\omega}{kv} = \frac{1}{\beta n} }}\end{equation}$ 여기서

β = v / c

$\beta = v/c$ 이다. 체렌코프 복사는 하전입자가 계속해서 파원으로서 파동을 만들어 내고, 이들 구면의 파면이 무수히 겹쳐서 만드는 일종의 충격파로 볼 수 있다.

체렌코프 복사의 스펙트럼 - 큰 진동수의 복사가 더 강하다.

한편 체렌코프 복사로 방출되는 에너지는 $\eqref{eq3}$ 의 전기장에 동반한 자기장과 이들로부터 포인팅 벡터(Poynting vector)를 계산해서 알 수 있다. 약간의 계산을 거치면 단위진동수, 단위길이 진행에서 방출되는 에너지는

\begin{matrix} (7) & \frac{d^{2} E}{d z d ω} = \frac{e^{2}}{4 π} μ ω (1 - \frac{1}{β^{2} n^{2}}) = \frac{e^{2}}{4 π} μ ω \sin^{2} θ_{C} \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq7} \frac{d^2 E}{dz d\omega} = \frac{e^2}{4\pi} \mu \omega \left(1-\frac{1}{\beta^2 n^2} \right) = \frac{e^2}{4\pi} \mu \omega \sin^2 \theta_C \end{equation}$ 으로 표현된다. 단 이 식에서

(\dots)

$(\cdots )$ 의 값이 +일 때만 정의된다. 이 관계는 이를 최초로 유도한 프랑크와 탐의 이름을 따서 프랑크-탐 공식(Frank-Tamm formular)이라 한다. 이 식에서 알 수 있는 것처럼 방출되는 빛은 연속스펙트럼을 가져서 특정한 스펙트럼의 피크를 가지는 형광 등 물질이 내는 다른 형태의 빛과는 그 특성이 다르다. 방출에너지는

ω

$\omega$ 에 비례하여 방출되는 빛의 강도는 진동수가 클 수록 커져서 가시광선에서는 청색이나 보라색이 강하게 방출된다. 그러나 유전체는 높은 진동수 영역에서 위상속도가

c

$c$ 보다 커지므로

(6)

$\eqref{eq6}$ 식을 만족하는

ω

$\omega$ 의 상한값이 존재한다. 앞 식들에서의

n

$n$ 이나

μ

$\mu$ ,

ε

$\varepsilon$ 는 모두

ω

$\omega$ 의 함수로서 진동수의 상한값과 방출에너지는 각 유전체의 분산(dispersion) 특성에 의해 결정된다.

photo

체렌코프 복사_ 미국 아르곤국립연구소(Argonne National Laboratory)에 있는 Advanced Test Reactor(ATR) 코어에서 푸른색의 체렌코프 복사가 나와서 주변을 밝히고 있다.

체렌코프 복사를 측정하여 입자선의 운동을 분석한다.

체렌코프 복사가 한 입자의 운동에 의해 일어난다면 아주 짧은 순간의 펄스가 만들어질 것이다. 이는 음속을 돌파한 제트기가 일회성의 짧고 강한 충격파를 만드는 것과 비슷하다. 이에 따라 우리 눈의 유리체에 진입하는 우주선 등의 하전입자가 체렌코프 복사를 일으켜서 푸른 색의 섬광을 볼 수 있기도 하다. 한편, 빠른 입자의 다발이 물이나 유리 등의 유전체에 진입하게 된다면 각 입자의 속도나 운동방향에 따라 서로 다른 방향으로의 복사를 유발하므로 이들이 향하는 빛의 각도와 밝기 분포로부터 입자다발의 운동을 분석해 낼 수도 있다. 이러한 원리로 입자를 계측하는 장치가 체렌코프 검출기(Cerenkov detector)이다.

[질문1] $\eqref{eq1}$ 식은 직교좌표계에서 다음과 같이 표현되는 전류가 $z$ 축에 대한 대칭성을 가지는 것을 이용한다. 이를 검증하라.

J (r, t) = \hat{z} e v δ (x) δ (y) δ (z - v t)

$\mathbf{J}(\mathbf{r}, t) = \hat{z} e v ~ \delta(x) \delta(y) \delta(z-vt)$

[질문2] 서로 다른 속도를 가진 베타선이 굴절률 $n=1.33$ 인 물에 진입한다고 하자. 입자의 속도가 각각 $\beta = 0.5, ~0.7, ~0.9$ 라고 할 때, 체렌코프 복사을 하는 경우는 어떤 것(들)이고, 또한 이때의 $\theta_C$ 는 얼마인가?

[질문3] $\eqref{eq7}$ 식으로부터 단위파장, 단위길이에 대해 방출되는 광자의 수가 다음과 같이 표현되는 것을 보여라.

\frac{d^{2} N}{d z d λ} = \frac{2 π α}{λ^{2}} \sin^{2} θ_{C}

$\frac{d^2 N}{dz d\lambda} = \frac{2\pi \alpha}{\lambda^2} \sin^2 \theta_C$ 여기서

α

$\alpha$ 는 미세구조상수로 약 1/137 이고, 유전체의 투자율

μ

$\mu$ 는 거의 진공에서의 투자율

μ_{0}

$\mu_0$ 와 같다고 본다.

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