핵융합

떨어져 있는 두 핵은 이들의 양전하에 의한 척력으로 일정한 거리까지만 접근할 수 있다. 그러나 둘의 접근속도가 빨라지면 정전퍼텐셜로 생겨난 퍼텐셜 장벽을 넘어갈 가능성이 커진다. 이러한 양자역학의 터널효과에 의한 투과확률은 다음과 같이 WKB 근사법으로 계산된다. \[ \begin{equation} \label{eq1} \mathcal{T} = \exp \left(- \frac{2}{\hbar} \int_R^b dr \sqrt{2m[U(r)-E]} \right) \end{equation} \] 다음 그림에 나타낸 것처럼 장벽으로 작용하는 범위는 $R \sim b$이다. 또한 이 영역에서의 퍼텐셜은 \[ U(r) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 }\frac{Z_1 Z_2 e^2}{r} = \frac{Z_1Z_2 \alpha \hbar c}{r} ~~\text{for}~~ r\ge R \] 이다. $R$은 핵력이 작용하는 영역으로 두 핵의 반경을 합한 크기 정도를 가진다. 또한 $b$는 둘이 고전적으로 가장 가까이 접근할 수 있는 고전적 회귀점(classical turning point)으로 \[ b = \frac{Z_1Z_2 e^2}{4\pi\varepsilon_0 E} = \frac{Z_1Z_2 \alpha \hbar c}{E} \] 이다. 이들 식에서의 $\alpha$는 미세구조상수(fine structure constant)로 \[ \alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar c} = \frac{1}{137.036} \] 이다.

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두 핵의 퍼텐셜 장벽_핵융합을 하기 위한 두 핵은 퍼텐셜 장벽을 극복해야 한다. $Z_1 e$와 $Z_2 e$의 두 전하는 정전퍼텐셜에 의해 서로 밀어낸다. 그러나 둘이 핵력이 미치는 거리에 이르게되면 하나로 합치게 된다. 여기서 $b$는 고전적인 회귀점이다. 장벽을 통과하면 하나의 핵으로 융합하게 되면서 $Q$의 에너지를 방출하게 된다.

핵융합이 일어나는 상황에서 언제나 $R \ll b$이므로 $R \approx 0$으로 두어 \eqref{eq1} 식은 다음과 같이 근사계산된다. \[ \begin{equation} \label{eq2} \mathcal{T} \approx \exp \left(\frac{- Z_1Z_2 e^2}{2\varepsilon_0\hbar v} \right) = \exp\left( -\sqrt {\frac{E_G}{E}} \right) \end{equation} \] 이를 가모브 인자(Gamow factor)라 하는 데 두 핵이 정면으로 충돌할 때 퍼텐셜 장벽을 뚫고 둘이 결합하는 확률이다. 식에서 $v$는 둘 사이의 상대속도이다. 이는 두 입자의 질량중심계의 운동에너지인 $E=mv^2/2$와 관련된다. 단 $m$은 환산질량으로 계산해야 한다. 여기서 $E_G$는 특정한 융합반응에서 상숫값으로 정해지는 것으로 이를 가모브 에너지(Gamow energy)라고 한다. \[ \begin{equation} \label{eq3} E_G = 2\pi^2 Z_1^2 Z_2^2 \alpha^2 m c^2, \end{equation} \]

핵융합의 단면적 - 이 범위로 접근하면 반드시 융합을 한다고 본다.

실제로 두 핵은 3차원인 충돌로 취급해야 하며, 따라서 다양한 상황으로 충돌할 수 있으나 대체로 앞서와 같이 1차원충돌로 해석한 \eqref{eq2}의 투과율 식을 그 인자로 가진다. 여러 요인들을 다 반영하여 핵융합 단면적(nuclear fusion cross section)을 다음과 같이 정리할 수 있다. \[ \begin{equation} \label{eq4} {\large \boxed{ \sigma(E) = \frac{S(E)}{E} \mathcal{T} = \frac{S(E)}{E} \exp\left( -\sqrt {\frac{E_G}{E}} \right) }} \end{equation} \] 여기서 $S(E)$는 천체물리적 S 인자(astrophysical S factor)로 각 종류의 핵융합에서의 개별적인 특성이 모두 반영되어 반응에 따라 다르게 계산되거나 측정된다. $S(E)$는 $E$에 크게 의존하지 않는 함수이다. 에너지가 커지면 $\mathcal{T}$는 급하게 증가하지만 $E$에 반비례하는 항 때문에 단면적은 최댓값을 가진 후 다시 줄어든다. 다음 표는 몇몇 융합반응에서의 단면적을 나타내고 있다.

핵융합의 단면적_ 질량중심에너지가 10 keV, 100 keV인 경우와 단면적이 제일 큰 경우의 단면적과 이의 에너지를 나타내고 있다. 표에서 단면적은 $1~\text{barn} = 10^{-28}~\text{m}^2$으로 표시한다. 마지막 pp 반응의 경우는 추정값이다.

반응	$\sigma$ (10 keV)	$\sigma$ (100 keV)	$\sigma_{\text{max}}$	$E_{\text{max}}$ (keV)
$\mathrm{D}+\mathrm{T}\rightarrow{^{4}\mathrm{He}}+\mathrm{n}$	$2.72 \times 10^{-2}$	$3.43$	$5.0$	$64$
$\mathrm{D}+\mathrm{D}\rightarrow\mathrm{T}+\mathrm{p}$	$2.81 \times 10^{-4}$	$3.3 \times 10^{-2}$	$0.096$	$1,250$
$\mathrm{D}+\mathrm{D}\rightarrow{^{3}\mathrm{He}}+\mathrm{n}$	$2.78 \times 10^{-4}$	$3.7 \times 10^{-2}$	$0.11$	$1,750$
$\mathrm{T}+\mathrm{T}\rightarrow{^{4}\mathrm{He}}+\mathrm{2n}$	$7.90 \times 10^{-4}$	$3.4 \times 10^{-2}$	$0.16$	$1,000$
$\mathrm{p}+\mathrm{p}\rightarrow\mathrm{D}+\mathrm{e}^{+}+\nu$	$3.6\times 10^{-26}$	$4.4 \times 10^{-25}$

[질문1] $R$까지 접근했을 때의 쿨롱 퍼텐셜, 즉 가장 높은 퍼텐셜 장벽의 높이가 다음과 같이 실용적인 식으로 되는 것을 보여라. \[ U_{\text{max}} \approx \left[ Z_1 Z_2 \frac{1~\text{fm}}{R} \right] \times 1.4 ~\text{MeV} \] 이로부터 두 중양성자의 경우 이들 사이의 장벽의 높이를 계산하라.

[질문2] 고전적인 회귀점의 거리 $b$가 실용적인 식으로 다음과 같이 표현되는 것을 보여라. \[ b = \left[ Z_1 Z_2 \frac{10~\text{keV}}{E} \right] \times 143 ~ \text{fm} \] 에너지가 1 keV인 두 중양성자의 경우 이는 얼마인가? 또한 이를 $R$의 값과 비교해 보라.

[질문3] \eqref{eq3}의 가모브 에너지는 실용적인 식으로 다음과 같이 표현된다. 이를 보여라. \[ E_G = Z_1^2 Z_2^2 \left[ \frac{mc^2}{1 ~\text{GeV}} \right] \times 1,052 ~ \text{keV} \] 분수식에서 분자는 두 핵의 환산질량을 GeV로 표현하면 된다. 이를 이용해서 두 중양성자의 가모브 에너지를 계산하라.

[질문4] 질량중심계에서 두 중양성자의 운동에너지가 1 keV인 경우와 10 keV인 두 경우에 대해 가모브 인자를 계산하여 비교하라.

핵융합

열핵융합

정전퍼텐셜 장벽을 극복해야 한다.

핵융합의 단면적 - 이 범위로 접근하면 반드시 융합을 한다고 본다.

핵융합의 단면적_ 질량중심에너지가 10 keV, 100 keV인 경우와 단면적이 제일 큰 경우의 단면적과 이의 에너지를 나타내고 있다. 표에서 단면적은 $1~\text{barn} = 10^{-28}~\text{m}^2$으로 표시한다. 마지막 pp 반응의 경우는 추정값이다.