정전퍼텐셜 장벽을 극복해야 한다.
떨어져 있는 두 핵은 이들의 양전하에 의한 척력으로 일정한 거리까지만 접근할 수 있다. 그러나 둘의 접근속도가 빨라지면 정전퍼텐셜로 생겨난 퍼텐셜 장벽을 넘어갈 가능성이 커진다. 이러한 양자역학의 터널효과에 의한 투과확률은 다음과 같이 WKB 근사법으로 계산된다. T=exp(−2ℏ∫bRdr√2m[U(r)−E]) 다음 그림에 나타낸 것처럼 장벽으로 작용하는 범위는 R∼b이다. 또한 이 영역에서의 퍼텐셜은 U(r)=14πε0Z1Z2e2r=Z1Z2αℏcr for r≥R 이다. R은 핵력이 작용하는 영역으로 두 핵의 반경을 합한 크기 정도를 가진다. 또한 b는 둘이 고전적으로 가장 가까이 접근할 수 있는 고전적 회귀점(classical turning point)으로 b=Z1Z2e24πε0E=Z1Z2αℏcE 이다. 이들 식에서의 α는 미세구조상수(fine structure constant)로 α=e24πε0ℏc=1137.036 이다.
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두 핵의 퍼텐셜 장벽_핵융합을 하기 위한 두 핵은 퍼텐셜 장벽을 극복해야 한다. Z1e와 Z2e의 두 전하는 정전퍼텐셜에 의해 서로 밀어낸다. 그러나 둘이 핵력이 미치는 거리에 이르게되면 하나로 합치게 된다. 여기서 b는 고전적인 회귀점이다. 장벽을 통과하면 하나의 핵으로 융합하게 되면서 Q의 에너지를 방출하게 된다.
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핵융합이 일어나는 상황에서 언제나 R≪b이므로 R≈0으로 두어 (1) 식은 다음과 같이 근사계산된다. T≈exp(−Z1Z2e22ε0ℏv)=exp(−√EGE) 이를 가모브 인자(Gamow factor)라 하는 데 두 핵이 정면으로 충돌할 때 퍼텐셜 장벽을 뚫고 둘이 결합하는 확률이다. 식에서 v는 둘 사이의 상대속도이다. 이는 두 입자의 질량중심계의 운동에너지인 E=mv2/2와 관련된다. 단 m은 환산질량으로 계산해야 한다. 여기서 EG는 특정한 융합반응에서 상숫값으로 정해지는 것으로 이를 가모브 에너지(Gamow energy)라고 한다. EG=2π2Z21Z22α2mc2,
핵융합의 단면적 - 이 범위로 접근하면 반드시 융합을 한다고 본다.
실제로 두 핵은 3차원인 충돌로 취급해야 하며, 따라서 다양한 상황으로 충돌할 수 있으나 대체로 앞서와 같이 1차원충돌로 해석한 (2)의 투과율 식을 그 인자로 가진다. 여러 요인들을 다 반영하여 핵융합 단면적(nuclear fusion cross section)을 다음과 같이 정리할 수 있다. σ(E)=S(E)ET=S(E)Eexp(−√EGE) 여기서 S(E)는 천체물리적 S 인자(astrophysical S factor)로 각 종류의 핵융합에서의 개별적인 특성이 모두 반영되어 반응에 따라 다르게 계산되거나 측정된다. S(E)는 E에 크게 의존하지 않는 함수이다. 에너지가 커지면 T는 급하게 증가하지만 E에 반비례하는 항 때문에 단면적은 최댓값을 가진 후 다시 줄어든다. 다음 표는 몇몇 융합반응에서의 단면적을 나타내고 있다.
핵융합의 단면적_ 질량중심에너지가 10 keV, 100 keV인 경우와 단면적이 제일 큰 경우의 단면적과 이의 에너지를 나타내고 있다. 표에서 단면적은 1 barn=10−28 m2으로 표시한다. 마지막 pp 반응의 경우는 추정값이다.
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반응
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σ (10 keV)
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σ (100 keV)
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σmax
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Emax (keV)
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D+T→4He+n
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2.72×10−2
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3.43
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5.0
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64
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D+D→T+p
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2.81×10−4
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3.3×10−2
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0.096
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1,250
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D+D→3He+n
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2.78×10−4
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3.7×10−2
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0.11
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1,750
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T+T→4He+2n
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7.90×10−4
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3.4×10−2
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0.16
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1,000
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p+p→D+e++ν
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3.6×10−26
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4.4×10−25
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[질문1]
R까지 접근했을 때의 쿨롱 퍼텐셜, 즉 가장 높은 퍼텐셜 장벽의 높이가 다음과 같이 실용적인 식으로 되는 것을 보여라. Umax≈[Z1Z21 fmR]×1.4 MeV 이로부터 두 중양성자의 경우 이들 사이의 장벽의 높이를 계산하라.
[질문2]
고전적인 회귀점의 거리 b가 실용적인 식으로 다음과 같이 표현되는 것을 보여라. b=[Z1Z210 keVE]×143 fm 에너지가 1 keV인 두 중양성자의 경우 이는 얼마인가? 또한 이를 R의 값과 비교해 보라.
[질문3]
(3)의 가모브 에너지는 실용적인 식으로 다음과 같이 표현된다. 이를 보여라. EG=Z21Z22[mc21 GeV]×1,052 keV 분수식에서 분자는 두 핵의 환산질량을 GeV로 표현하면 된다. 이를 이용해서 두 중양성자의 가모브 에너지를 계산하라.
[질문4] 질량중심계에서 두 중양성자의 운동에너지가 1 keV인 경우와 10 keV인 두 경우에 대해 가모브 인자를 계산하여 비교하라.
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