핵모형

중양성자

중양성자는 핵자들의 가장 간단한 결합형태이다.

'핵의 구조' 단원에서 핵력이 양성자나 중성자를 가리지 않고 가까운 거리에서 큰 인력으로 작용하는 것을 알았다. 이 핵력에 의해 여러 핵자로 구성된 핵이 덩어리로 있지만 이 중에서 가장 단순한 것이 핵자 둘로 된 것이다. 중양성자(deuteron)는 이름 그대로 중성자와 양성자가 각각 1개씩, 즉 두 개의 핵자가 결합된 것으로 이것의 원자가 중수소(듀테륨: deuterium)로 $^{2}_{1}\mathrm{H}$이나 $^{2}_{1}\mathrm{D}$으로 표기한다. 중양성자는 안정된 핵으로 이의 결합에너지는 $2.224~589\pm 0.000~002~\text{MeV}$, 질량은 $2.013~553~\text{u} = 1~875.6~\mathrm{MeV/c^2}$, 총각운동량양자수는 $J=1$이다.

중양성자의 양성자와 중성자는 오직 핵력으로 결합되어 있고, 핵력의 퍼텐셜도 잘 알고 있으므로 이의 양자상태를 계산하는 것은 어렵지 않다. 이 경우는 불행히도 슈뢰딩거 방정식이 해석적으로는 풀리지 않는다. 그러나 핵력이 가까운 거리에만 작용하는 것을 이용하여 단순한 핵력의 모형으로 이를 풀이하면 중양성자의 양자상태를 정성적으로 이해할 수는 있다. 핵력을 오른편 그림과 같이 $R$까지 작용하는 퍼텐셜 우물처럼 생각하자. 단 1차원의 우물에서와 달리 여기서는 3차원의 우물이므로 퍼텐셜이 반경 $R$인 구형의 장벽으로 되어 있는 것이다. 이의 깊이를 $U_0$라고 하면, \[ \begin{equation} \label{eq1} U(r) = \begin{cases} - U_0 \quad & r \le R \\ 0 & r \gt R \end{cases} \end{equation} \] 이다. 중양성자는 속박상태이므로 $E$는 $-$ 값이고, 따라서 둘의 결합에너지인 $B$는 $B = |E|=-E$이다. 우선 3차원 슈뢰딩거 방정식에서 $l=0$인 상태, 즉 원점에 대해 대칭적인 상태를 고려하자. ('정상상태의 수치해석' 단원의 '3차원 중심력장의 문제'를 참고하라) 이제 슈뢰딩거 방정식은 \[ \begin{equation} \label{eq12} \psi''(r) = \frac{2\mu}{\hbar^2} \left[U(r) - E \right] \psi(r) \end{equation} \] 으로, 여기서 $\psi(r) = rR(r)$으로 파동함수의 동경함수 $R(r)$에 $r$을 곱한 것이다. 또한 $\mu$는 중성자-양성자 계에서의 환산질량이다.

\eqref{eq12} 식을 보통의 슈뢰딩거 방정식의 풀이 절차대로 두 영역으로 나누어 풀이할 수 있다. 우물의 영역에서는 진동하는 파동함수가 되어 \[ \begin{equation} \label{eq2} \psi(r) = C_1 \sin kr + {C_2 \cos kr}, ~~~\text{for} \quad ~~ r \le R \end{equation} \] 이 일반해이다. 여기서 \[ \begin{equation} \label{eq21} k^2 = \frac{2\mu}{\hbar^2} \left( U_0 - B \right) \end{equation} \] 이다. 그러나 $r=0~$에서 $\psi$가 없어져야 하므로 $C_2=0~$이다. 한편 우물 바깥에서는 \[ \begin{equation} \label{eq3} \psi(r) = C_3 e^{-\kappa r} + {C_4 e^{\kappa r}}, ~~~\text{for} \quad ~~ r \gt R \end{equation} \] 이고, 여기서 \[ \kappa^2 = \frac{2\mu B}{\hbar^2} \] 이다. 이 경우에도 $r \rightarrow \infty$에서 $\psi$가 0이고, 따라서 $C_4=0~$이다.

우물에서의 \eqref{eq2} 식과 바깥에서의 \eqref{eq3} 식의 두 파동함수는 경계 $r=R$에서 유연하게 연결되어야 한다. 즉, $\psi(r)$과 이의 미분 $\psi'(r)$이 $r=R$에서 연속이어야 한다. \[ \psi(r)|_{r=R} ~~ \rightarrow ~~ C_1\sin kR = C_3 e^{-\kappa R} \] \[ \psi'(r)|_{r=R} ~~ \rightarrow ~~ kC_1\cos kR = -\kappa C_3 e^{-\kappa R} \] 이 두 관계로부터 상수 $C_1$과 $C_3$를 정할 수 있는 것처럼 보이지만 실제로는 $k~$와 $\kappa~$에 숨어있는 $B$(혹은 $E$)가 미지값이므로 이것도 구해야 한다. 완벽한 해는 이들 관계에 더해서 규격화 조건을 부과하여 구할 수 있지만 여기서는 $B$에만 관심을 가진다. 이 둘의 비로부터 \[ \begin{equation} \label{eq4} \cot kR = -\frac{\kappa}{k} = - \left( \frac{B}{U_0 - B} \right)^{1/2} \end{equation} \] 이 되고 이는 $U_0$와 $R$이 알려져 있다면 $B$를 구하는 방정식이 된다. 이들 해는 보통 그래프로부터 구할 수 있는 데 여기서는 중양성자의 결합에너지에 대한 측정치로부터 $U_0$와 $R$을 추정해보도록 한다. $U_0$는 앞서 페르미 기체모형에서 살펴본 대로 수십 MeV이고, $B$는 ~2.22 MeV이므로 $U_0 \gg B~$로 볼 수 있어서 \[ \cot kR \approx 0, \quad kR \approx \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \cdots \] 이다. 바닥상태의 경우 $kR$을 $\frac{\pi}{2}$으로 두면 된다. $B \sim 0$으로 보고 $k$의 정의식 \eqref{eq21}에 이 관계를 적용하면 \[ \begin{equation} \label{eq5} U_0 \approx \frac{\pi^2 \hbar^2}{8\mu R^2} \approx \frac{10^{-28} ~ \mathrm{MeV m^2}}{R^2} \end{equation} \] 이 된다. 이는 우물의 깊이와 반경 사이의 관계를 준다. 여기서 \eqref{eq4} 식에서 $B$가 0 보다 크다는 것을 고려하면 \eqref{eq5} 식은 결합상태가 있기 위한 $U_0$의 최솟값일 것이다. 예를 들어 반경이 2.0 fm라면 깊이의 최솟값은 약 25 MeV으로, 또 1.8 fm라면 32 MeV으로 계산된다. 이제 실제의 결합에너지 $B$에 가까운 2.25 MeV을 \eqref{eq4} 식에 넣고 $R$ 값을 추정하면 $U_0$가 구해진다. 예를 들어 반경을 2.0 fm으로 보면 ~37 MeV, 1.8 fm이면 ~44 MeV으로 계산된다.

[질문1] 양성자의 질량은 1.007 276 u, 중성자의 질량은 1.008 665 u 이다. 한편 중양성자의 질량은 2.013 553 u이다. 이들 질량으로 중양성자의 결합에너지를 구하라.

[질문2] 중양성자가 전자 하나를 포획하면 중수소(deuterium) 원자가 된다. 중수소의 질량은 2.014 102 u 이다. 질문 1의 중양성자의 질량으로부터 중수소의 이온화에너지를 구하라.

[질문3] 일반적으로 단일 중성자는 881.5 s의 평균수명으로 베타붕괴를 해서 양성자와 전자, 중성미자로 변한다. 그러나 중양성자 속의 중성자는 베타붕괴를 하지 않는다. 이 이유는 무엇일까? 단 중성자가 베타붕괴를 하면 약 0.78 MeV의 에너지를 방출한다.

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두 핵자의 결합상태

중성자-중성자와 양성자-양성자의 결합상태는 존재하지 않는다.