총각운동량

각운동량 양자화의 개념

다시 각운동량의 양자화를 생각한다.

앞에서 다룬 대로 수소원자에서 전자의 궤도운동에 해당하는 각운동량 $\vec{L}$은 다음처럼 양자화된다. \[ \eqalign{ L &= \sqrt{l(l+1)}\hbar \\ L_z &= m_l \hbar } \] 두 양자수 $l$과 $m_l$은 각각 $l=0, 1, 2, ... $ 이고, $m_l = -l, -l+1, ... , l-1, l$이다.

각운동량이 특정한 방향으로만 양자화 되는가?

여기서 다음과 같은 질문을 해 보자.

특정한 $z$에 대해서만 양자화 되는 이유는 무엇인가? $z$ 축이란 어느 방향을 가리키는가? 다른 축 $x$나 $y$에 대해서는 어떠한가?

이 문제에 답하기 위해 양자역학의 상태에 대해 다시 생각 해 보아야 한다. 지금까지 양자역학의 한 상태라는 것을 특정한 하나의 물리량에 대한 측정에서 언제나 같은 값을 측정해 내는 상태라고 하였다. 엄밀하게는 이것은 순수한 상태라고 해야 할 것이다. 예를 들어 수소원자의 경우 양자수 $n, l, m_l$이 정해진 한 상태는 에너지, 궤도각운동량의 크기, 궤도각운동량의 $z$ 성분의 값이 언제나 일정한 순수한 상태이다.

그러나 양자역학은 여러 상태가 중첩된 상태도 있을 수 있다. 즉 중첩의 원리가 성립되는 것이다. 따라서 실제로 존재하는 수소원자가 굳이 $n, l, m_l$이 하나의 값으로 주어지는 상태에 있을 이유는 없다. 즉, 이들이 적당한 비율로 중첩되어 예를들어 $n=1, l=0, m_l = 0$가 $1$, $n=2, l=1, m_l = -1$이 $3$의 비율로 존재하는 것이 가능할 수 있다. 그 경우 에너지를 측정하면 $n=1$에 해당하는 -13.6 eV를 측정할 확률이 10%, $n=2$의 -3.4 eV 가 90% 일 것이다. 만일 어떤 수소원자의 에너지가 -13.6 eV로 측정되었다면 비로소 그것은 100% $n=1$로 있는 것이다. 즉 측정의 과정을 통해서 그 측정에 관련된 순수한 상태로 회기하는 것이다.

이는 각운동량에 대해서도 마찬가지이다. 수소원자의 궤도각운동량의 크기를 측정하면 언제나 양자수 $l=0, 1, 2, 3, ... $에 대응되는 $0, \sqrt{2}\hbar, \sqrt{6}\hbar, \sqrt{12}\hbar, ...$의 하나가 측정된다. 그러나 실제 가능한 상태는 이들의 중첩된 상태일 수 있다. 이제 $l=1$의 상태인 것이 확실한 수소원자의 궤도각운동량의 $z$성분, 즉 $L_z$를 측정한다고 하자. 이 경우도 언제나 $L_z = -\hbar, 0, \hbar$의 값의 하나가 측정되는 것이다. 그러나 여기서도 실제 놓여 있을 수 있는 상태는 이들의 중첩일 수 있다. 이점은 $L_x$나 $L_y$에 대해 측정해도 마찬가지이다. 즉, 어느 성분의 각운동량을 측정하더라도 $-\hbar, 0, \hbar$ 중 한 값인 것이다. $L_x = \hbar$의 순수한 상태는 $L_z$의 세 상태가 적절히 중첩된 경우로서 $L_z$의 측정 기댓값은 0 이 된다.

아래 두 그림은 $m_l$의 값이 정해져서 $L_z$가 확정적으로 주어진 상태에 대해 개념적으로 그린 그림이다. 왼편은 $L_z$가 주어지는 경우, 이 축에 대한 회전각 $\phi$가 고도로 불확실해지는 상황을 보여주고 있다. 위치-운동량 불확정성원리, 에너지-시간 불확정성원리와 마찬가지로 회전각-각운동량 불확정성원리가 다음과 같이 성립하기 때문이다. \[ \Delta \phi \Delta L_z \ge \frac{\hbar}{2} \]

한편 오른편 그림은 $L_z$가 확정되더라도 회전평면이 정해지지 않는 것을 보여준다. 즉, $l$과 $m_l$이 정해져서 $L$과 $L_z$가 정해지더라도 여전히 $L_x$나 $L_y$는 결정되지 않는다.

양자역학의 상태의 의미, 각운동량의 양자화 의미를 살펴보았고, 이로부터 앞에서의 몇몇 질문에 어느 정도 답할 수 있게 되었다.

즉, 각운동량이 특정한 방향인 $z$ 축에 대해서만 양자화된 것이 아니다. $x, y$ 방향뿐만 아니라 어느 방향에 대해서도 같은 방식으로 양자화 된 것이다. 그러나 한 축의 순수한 상태는 다른 축에 대해서라면 순수한 상태가 아니다. 이는 $L_x, L_y, L_z$의 세 성분중에서 어느 둘도 동시에 정해지지 않고 단 하나의 성분만이 정해 질 수 있다는 궤도운동에서의 불확정성원리가 적용된 것으로 해석할 수 있다. 만일 $L_z$가 정해졌다면 $L_x$나 $L_y$의 기댓값은 0 이다.

자기장이 $z$ 축으로 놓여 있다고 하자. 이제 각운동량의 $z$ 축 성분이 에너지를 차이나게 한다. 에너지가 차이나는 두 상태의 중첩상태는 파동함수가 시간에 대해 $\Delta E/\hbar$의 각진동수로 진동하기 때문에 곧 같은 각진동수의 빛을 방출하여 순수한 상태로 된다. 따라서 자기장이 놓여 있는 방향을 특정 방향으로 삼아 이에 대한 순수한 상태로 기술하는 것이 여러모로 편리하다. 이 방향을 보통 $z$ 방향으로 삼는 것이다.

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일반적인 각운동량의 양자화

전자의 스핀에 대해서도 궤도각운동량과 비슷한 관계가 성립한다. 단 전자의 스핀, 즉 $\vec{S}$에 대한 양자수 $s$가 1/2로 고정되고 이에 따라 $m_s$도 +1/2, -1/2 단 두 가지만 가능하다는 차이만 있었다.

이제 스핀이든 궤도각운동량이든 모두를 아울러서 $\vec{J}$로 표기하고, 모두 다음과 같이 통일된 양자화의 원리가 성립하는 것으로 이해하도록 하자. \[ \eqalign{ J &= \sqrt{j(j+1)}\hbar \\ J_z &= m_j \hbar } \] 이때 양자수 $j = 0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}, 3, ...$으로 0 과 자연수 및 반정수가 가능하다. 또한 각각의 $j$에 대해서 $m_j = -j, -j+1, ... , j-1, j$로서 모두 $2j+1$의 상태가 가능하다.

궤도각운동량은 고전론의 공전으로 의미를 끌어올 수 있지만 스핀은 고전론의 자전으로 의미를 부여하기가 어렵다. 스핀은 상대론을 양자역학에 적용시킨 결과로서 나온 것으로 이를 완전히 이해하기 위해서는 상대론적양자역학을 도입해야 한다.

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