총각운동량

각각 양자화되어 있는 두 각운동량이 더해진 총각운동량에 대한 양자화 원리는 어떨까? 일반적인 경우의 규칙을 알아내기 전에 몇몇 단순하게 주어진 경우에 대한 예를 먼저 살펴본다.

두 스핀의 합성 예

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두 스핀의 합성_ 각각 ↑, ↓의 상태를 가지는 두 스핀이 결합한 모든 상태들을 나타낸다. 결합 후 총스핀은 $j=1$의 삼중항 및 $j=0$의 단일항의 네 상태로 재구성된다.

논의를 간단히 하기 위해 우선 전자의 스핀이 합성되는 경우를 생각하자. 즉 전자 둘이 서로 다른 양자상태에 놓여 있고, 각각의 $m_{s1}$, $m_{s2}$ 값이 모두 $\pm \frac{1}{2}$이 가능하다. 이때 둘의 각운동량의 합을 측정한다고 하면, \[ \vec{J} = \vec{S}_1 + \vec{S}_2 \] 여기서 특정한 방향을 $z$로 한다면 이 성분은 각각 $\pm \frac{1}{2}\hbar$이기 때문에 당연히 $J_z$는 $-\hbar, ~0, ~\hbar$의 세 값을 가질 수 있다. 각운동량의 $z$ 성분은 확정된 값이므로 그저 합해질 수 있기 때문이다. 그러나 실제로 모두 $2 \times 2 = 4$ 가지의 서로 다른 상태에 있을 수 있어 세 값을 가지긴 하지만 네 가지의 상태가 있어야 할 것이다. 그렇다면 네 가지 상태가 되면서 위 세 값이 나오는 $J$는 어떻게 양자화 되어야 할까? 우선 벡터 연산 만으로 $J$를 계산해보면, \[ J = \sqrt{S_1^2 + S_2^2 + 2 \vec{S}_1\cdot \vec{S}_2} = \sqrt{ \frac{3}{2}\hbar^2 + 2 \vec{S}_1\cdot \vec{S}_2} \] 이다. 그러나 $\vec{S}_1$과 $\vec{S}_2$의 크기는 정해져 있지만 방향이 결정될 수 없으므로 $\vec{S}_1\cdot \vec{S}_2$의 부분이 정해지지 않게 되어 단순한 산술연산만으로는 해결되지 않는다는 것을 알 수 있다. 여기서 다음의 가정을 하도록 하자.

각운동량의 합도 각운동량이므로 일반적인 각운동량의 양자화 규칙을 따라야 한다.

그렇다면 스핀 둘이 합성된 경우의 네 상태는 $J_z = -\hbar, 0, \hbar$에서 나와야 한다. 이 세 상태를 만들 수 있는 총스핀의 크기에 관련된 양자수 $j$는 $j=1$와 $j=0$이라는 것과 각각이 세 상태와 한 상태를 가지고 있는 것을 고려하면 다음과 같이 양자화된 것으로 보는 것이 자연스럽다. \[ j = 0, \quad m_j = 0 \] \[ j = 1 \quad \begin{cases} m_j = -1 \\ m_j = 0 \\ m_j = 1 \end{cases} \] 즉 두 스핀이 있을 수 있는 네 상태는 총스핀의 입장에서는 $j=1, 0$의 네 상태로 재정리 되는 것이다.

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두 스핀의 합성_ 스핀 1/2인 두 입자의 각운동량이 합성되어 만들어지는 상태를 보여준다. 붉은 화살로 표시한 $S_z$는 그대로 합해지므로 조합에 따라 $+1\hbar, 0, -1\hbar$의 상태가 가능하나, $0$인 경우는 둘로 나타나므로 결국 $j=1$의 삼중항과 $j=0$의 단일항으로 나타난다. 네 그림 중 왼편 아래의 합성된 결과는 $j=0$의 단일항이고 나머지는 $j=1$의 삼중항이다. 이들 합성된 결과는 그림 아래의 '합성결과 원뿔 보기"를 누르면 총각운동량이 원뿔 위에서 회전하는 모습을 볼 수 있다. 또한 '움직임 보기'를 선택하면 각각의 스핀이 세차운동을 하지만 이들이 절묘하게 합성되어 총각운동량도 핑크 색으로 표시한 원뿔 위에 놓여 있음을 보여준다. 마우스로 화면을 끌면 입체적인 전모를 잘 살펴볼 수 있다.

위 그림은 총스핀이 양자화 되기 위해 두 스핀이 어떤 방식으로 놓여 있는가를 보여주는 고전적인 그림이다. 그림에서 녹색의 화살로 표시한 $\vec{J}$가 양자화 조건에 맞에 만들어지기 위해 푸른색으로 표시한 두 스핀 벡터가 녹색의 총각운동량으로 합해지는 것을 보여준다. 여기서 각운동량이 원뿔을 이루면서 세차운동을 하는 것으로 나타내었으나 실제로는 각운동량이 원뿔의 임의의 방향으로 있을 수 있고 그 정확한 방향은 결정될 수 없다.

궤도각운동량과 스핀의 합성 예

이제 하나의 전자가 있어 궤도각운동량은 $l=1$상태에 있고, 이의 $s=1/2$인 스핀을 합하여 하나의 각운동량으로 취급하는 경우를 생각해 보자.

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각운동량-스핀의 합성_ $l=1$의궤도각운동량과 $s=\frac{1}{2}$의 스핀이 결합하여 6개의 상태가 된다. 이는 $j=\frac{3}{2}$의 사중항과 $j=\frac{1}{2}$ 이중항으로 다시 재구성된다.

총각운동량은 역시 $\vec{L}$과 $\vec{S}$의 다음의 합으로 주어진다. \[ \vec{J} = \vec{L} + \vec{S} \] 여기서도 $J_z$는 명확하다. $L_z = \pm \hbar, 0$이고, $S_z = \pm \frac{1}{2} \hbar$ 이므로 가능한 모든 $J_z$은 $\pm \frac{3}{2} \hbar, \pm \frac{1}{2} \hbar$의 네 가지 종류가 된다. 그러나 $L_z, S_z$의 조합은 여섯이므로 이 네 종류가 겹쳐서 나타날 수 밖에 없다. $m_j$ 가 $\pm \frac{3}{2}, \pm \frac{1}{2}$의 값으로 출현할 수 있는 $j$는 $\frac{3}{2}, \frac{1}{2}$인 데 각각 네 가지와 두 가지가 가능하다. 따라서 총각운동량이 다음과 같이 재정리된다고 보는 것이 역시 무난하다. \[ j = \frac{1}{2} \quad \begin{cases} m_j = -\frac{1}{2} \\ m_j = \frac{1}{2} \end{cases} \] \[ j = \frac{3}{2} \quad \begin{cases} m_j = -\frac{3}{2} \\ m_j = -\frac{1}{2} \\ m_j = \frac{1}{2} \\ m_j = \frac{3}{2} \end{cases} \] 이로서 일반적인 합성의 규칙을 추측해 볼 수도 있게 되었다.

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궤도각운동량과 스핀의 합성 예_궤도양자수 $l=1$이며, 스핀 1/2인 한 입자의 각운동량이 합성되어 만들어지는 상태를 보여준다. 붉은 화살로 표시한 $L_z, S_z$는 그대로 합해지므로 조합에 따라 $\pm\frac{3}{2}\hbar, \pm\frac{1}{2}\hbar$의 네 종류만 있지만 $\pm\frac{1}{2}\hbar$는 각각 겹으로 나타나야 한다. 따라서 합성된 결과는 $j=\frac{3}{2}$의 사중항과 $j=\frac{1}{2}$의 이중항이 나타난다고 할 수 있다. 여섯 그림 중 화면 중앙의 아래위 두 결과는 $j=\frac{1}{2}$의 이중항이고 네 모서리는 $j=\frac{3}{2}$의 사중항이다. 그림 아래의 '움직임 보기'를 선택하면 각각의 각운동량과 스핀이 세차운동을 하지만 이들이 절묘하게 합성되어 총각운동량도 항상 원뿔 위에 놓여 있음을 나타낸다.