총각운동량

각운동량 합성법

일반적인 각운동량의 합성

보다 일반적으로 두 각운동량 $\vec{J_1}, \vec{J_2}$를 합성하는 규칙을 생각해 보자. 이 경우 그 크기에 관련된 $j_1$와 $j_2$는 정수나 반정수로 주어진다. 그리고 각각의 $m_{j1}, m_{j2}$는 $-j_1, -j_1+1, ... , j_1-1, j_1$ 및 $-j_2, -j_2+1, ... , j_2-1, j_2$을 가질 수 있으므로 이의 합인 $m_j$은 $-(j_1 + j_2), -(j_1 + j_2)+1, ... , (j_1 + j_2)-1, (j_1 + j_2)$의 $2(j_1 + j_2)+1$ 가지가 가능하다. 그러나 합성되기 이전의 전체 상태수는 $(2j_1 + 1)(2j_2 + 1)$ 이므로 $m_j$의 종류가 이보다 항상 부족하다. 따라서 앞의 몇몇 예에서 보인 것처럼 $j=j_1 + j_2$뿐만 아니라 그보다 1씩 작아지는것도 포함시켜야 한다. 그렇다면 어디까지 포함시켜야 할까? 다음의 항등관계를 이용하면 그 하한을 알 수 있다. \[ \begin{equation} \label{eq1} (2j_1 + 1)(2j_2 + 1) = \sum_{j=j_1 + j_2}^{|j_1 - j_2|} (2j+1) \end{equation} \] 즉, 하한은 $j=|j_1 - j_2|$인 것이다. 따라서 $j_1$, $j_2$로 주어진 두 각운동량이 합성되어 나타나는 모든 가능한 $j$는 \[ j = |j_1 - j_2|,~ |j_1 - j_2| + 1, ~... ,~ (j_1 + j_2) \] 이고, 이들 각각의 $j$에 대해 일반적인 각운동량의 규칙대로 $m_j$가 $2j+1$가지로 나타난다.

[질문1] \eqref{eq1} 식의 항등관계를 증명하라.

[질문2] $j_1=3$과 $j_2=\frac{1}{2}$의 두 각운동량이 합성되어 만드는 $j$와 $m_j$의 가능한 값을 열거하고 위 '여러 각운동량의 합성'에서의 합성결과 도형과 대응시켜라.

[질문3] 원자의 한 전자가 궤도양자수 $l=4$인 상태에 있고, 이의 스핀상태와 결합하여 다양한 총각운동량을 만든다. (a) 가능한 $j$와 $m_j$의 값들을 나열하고, 앞의 '여러 각운동량의 합성'에서의 그림과 같이 각각을 도형으로 나타내어 보라. (b) 여러 총각운동량의 상태 중에서 가장 큰 $j$와 $m_j$의 값을 가진 상태에 대해서 $\vec{L}$과 $\vec{S}$의 각도와 (c) $\vec{J}$와 $z$축이 이루는 각을 계산하라.

_ 궤도양자수_ 스핀

각운동량 합성법의 해석

왜 합성 각운동량을 계산해야 할까?

두 각운동량 $\vec{J}_1, \vec{J}_2$를 합한 총각운동량 $\vec{J}$의 양자화를 다루는 이유는 무엇일까? 각각의 각운동량의 양자화 결과에 대해 완전히 이해하고 있는 데 왜 이 둘을 합한 것에 대해 또다시 해석해야 하는가?

두 개의 각운동량이 관여하는 양자역학의 계(system)가 있다고 했을 때 이 계의 에너지 등 물리적으로 의미가 있는 양이 두 $\vec{J_1}, \vec{J_2}$ 값에 개별적으로 연관되어 있다면 합성결과에 대한 해석을 굳이 할 필요가 없을 것이다. 이 계의 에너지 등은 양자수 $j_1, j_2$ 및 $m_{j1}, m_{j2}$의 넷으로 나타내어지기 때문이다.

그러나 두 각운동량이 서로 상호작용을 하고 있다면? 이 경우에는 총각운동량에 대한 정보가 필요한 상황이 생긴다. 예를 들어 한 각운동량이 자기장을 만들고 이에 다른 각운동량이 반응하는 계라면, 에너지는 다음처럼 두 각운동량의 곱에 의존하게 된다. \[ \Delta E ~\sim ~C \vec{J}_1 \cdot \vec{J}_2 ~\sim~ C' \left[ |\vec{J}_1 + \vec{J}_2|^2 - (J_1^2 + J_2^2) \right] \] 따라서 $\vec{J}_1 + \vec{J}_2$에 대한 고윳값도 알아야 각운동량에 의한 에너지의 기여를 알 수 있는 것이다.

그렇다면 총각운동량에 대해 양자역학적으로 순수한 상태는 개별 각운동량에 대해서도 그런가? 이는 그렇지 않다. 총각운동량의 크기나 $z$ 성분이 고정된 경우를 만드는 두 각운동량의 상태는 이들의 여러 성태가 합성된 경우일 수도 있다. $J_1, J_2$로 보느냐 $J$로 보느냐의 관점의 차이에서 상태가 다르게 읽혀지는 것이다. 예를 들어 $j_1, j_2, m_{j1}, m_{j2}$의 네 양자수로 표현되는 상태는 총각운동량으로 관점을 바꾸면 $j_1, j_2, j, m_j$의 네 양자수로 재배치 되고, 이는 서로 다른 $m_{j1}, m_{j2}$값들이 적절하게 합성된 결과이다. 따라서 특별한 예외를 제외하고, 특정한 $j, m_j$값의 상태에 있는 계의 $m_{j1}, m_{j2}$ 값은 정하지 못하고 단지 상대적인 확률을 알 수 있을 뿐이다.

_ 각운동량의 양자화_ 양자역학_ 양자수_ 고윳값_ 자기장