총각운동량

원자의 총각운동량

원자에는 많은 전자가 있고 이들은 궤도각운동량 $\vec{L}$과 스핀 $\vec{S}$을 같이 가지고 있다. 이들 각각의 값들은 양자수 $l, m_l, m_s$에 의해 정해지므로 한 원자에 대해 개별 각운동량을 해석해내는 것은 쉬운 일이다.

그러나 만일 원자의 에너지 상태가 이들의 합성결과에 의존한다면 이제 총각운동량을 고려해야 한다. 여러 전자가 있는 경우라면 둘 이상의 각운동량을 합성해 내어야 한다.

1족의 경우

수소나 알칼리 금속 등 1족의 원자라면 단지 한 전자에 대해서만 고려하면 된다. 예를 들어 리튬의 경우 두 개의 전자는 $1s$에 두 전자가 완벽하게 채워져 있기 때문이다. 일반적으로 버금껍질에 전자가 다 들어찼다면 서로 반대 스핀의 두 전자는 궤도각운동량이나 스핀이 합성되어 0이 된다. 따라서 1족은 최외각의 1개의 전자의 총각운동량은 \[ \vec{J} = \vec{L} + \vec{S} \] 합성법에 따라 \[ J = \sqrt{j(j+1)}\hbar, \quad j = l \pm s = l \pm \frac{1}{2} \] \[ J_z = m_j \hbar, \quad m_j = -j, -j+1, ... , j-1, j \] 단 1족의 바닥상태는 모두 $l=0$이므로 $j=\frac{1}{2}$만 가능하므로 본질적으로 스핀만 총각운동량에 기여한다.

_ 궤도각운동량_ 알칼리 금속_ 버금껍질_ 바닥상태_ 양자수_ 스핀

LS 결합

L과 S를 각각 합성하고 다음으로 이들을 합성한다.

여러 전자의 총각운동량을 구하는 경우 전체 전자의 총궤도각운동량 $\vec{L}$과 총스핀 $\vec{S}$를 따로따로 합해서 최종적으로 이 둘을 합하는 방법이 있겠고, 각각 전자의 총각운동량 $\vec{J_i}$를 구해서 다음으로 모든 전자에 대한 $\vec{J}$를 구하는 방법이 있을 수 있다. 앞의 것을 LS 결합(LS coupling), 뒤의 것을 jj 결합(jj coupling)이라 한다. 단 최종적인 총각운동량만 관심이 있다면 어떤 길을 가든지 동일한 결과를 만들겠지만 에너지가 총궤도각운동량이나 총스핀에 개별적으로 의존한다면 LS 결합이, 각각의 전자의 총각운동량들에 의존한다면 jj 결합이 효율적일 것이다. 무거운 원자들을 제외하고 대부분의 원자는 LS 결합이 이용된다.

우선 모든 전자의 총궤도각운동량은 \[ \vec{L} = \vec{L}_1 + \vec{L}_2 + \vec{L}_3 + ... + = \sum \vec{L}_i \] 이다. 또 모든 전자의 총스핀은 \[ \vec{S} = \vec{S}_1 + \vec{S}_2 + \vec{S}_3 + ... + = \sum \vec{S}_i \]

이들을 합성하는 방법은 하나씩 순차적으로 각운동량의 합성법을 적용하는 것이다. 한편 두 값이 계산되었다면 이로부터 총각운동량 $\vec{J} = \vec{L} + \vec{S}$이 계산된다. 그리고 이들은 일반적인 각운동량의 양자화 규칙을 따르며, 각각 $l, m_l, s, m_s, j, m_j$의 양자수를 가지고 있다. LS 결합을 하는 원자는 각각 전자의 궤도각운동량이나 스핀 보다는 이들 총량에 상태가 결정되기 때문에 이들 6개의 양자수가 의미가 있다.

한 전자 각각의 궤도각운동량의 양자수 $l_i$가 0 이나 1, 2, 3, ... 등 자연수이므로 총궤도각운동량의 양자수 $l$은 역시 0 을 포함한 자연수이다. 때문에 어떤 원자의 총궤도각운동량의 상태를 다음 처럼 대문자 $S, P, D, F, ...$으로 쓴다. \[ \eqalign{ l &=& &0& ~ &1& ~ &2& ~ &3& ~ &4& ~ &5& ~ &6& ~ &\dots \\ & & &S& &P& &D& &F& &G& &H& &I& &\dots \\ } \]

이 기호와 덧붙여 총각운동량 $J$의 가능한 양자수 $j$의 개수를 겹침수(multiplicity)로 하여 왼쪽 위첨자로 같이 표시한다. 예를 들어, $l \ge s$인 경우, $j$는 $l+s, l+s-1, ... , l-s$의 모든 경우가 다 가능하여 $2s+1$개의 겹침수가 있고, $l \lt s$인 경우에는 $2l + 1$개의 겹침수가 있다. 한편 오른쪽 아래 첨자로 실제의 $j$ 양자수를 같이 적는다. $l \ge s$ 이라면 \[ \!^{2s+1}[l]_{j} \] 형식이 될 것이다. 따라서 $\!^{2}P_{3/2}$는 $l=1$이며, 또한 겹침수가 2가 되므로 $s=\frac{1}{2}$이며, 이러한 $j$의 가능한 값 $\frac{3}{2}, \frac{1}{2}$ 중에서 앞의 경우라는 것을 알 수 있다. 다른 예로서 $\!^{3}D_{2}$는 $l=2$이며, 또한 겹침수가 3가 되므로 $s=1$이며, 이러한 $j$의 가능한 값 $3, 2, 1$ 중에서 $j=2$를 나타낸다.

나트륨 등 1족의 원자의 바닥상태는 바깥 전자를 제외하고 안쪽 껍질은 모두 채워져서 총각운동량에 기여하지 않는다. 따라서 바깥의 한 전자의 기여만을 생각하면 된다. 예를 들어 나트륨의 바닥상태는 $3^2S_{1/2}$으로 표기하는 데 앞의 $3$은 $n=3$을 나타낸다. 즉 $n=1, 2$가 채워진 상태에서 $n=3$의 상태의 $l=0$에 하나의 전자가 있는 것이다. $l \lt s$이므로 겹침수는 $2l + 1 = 1$이어서 $3^1S_{1/2}$로 써야하지만 관습적으로 $2s+1$의 식을 따르는 것처럼 겹침수를 $2$로 나타낸 것이다. 나트륨의 첫째 들뜬 상태는 $3^2P_{1/2}$이다.

_ 각운동량의 양자화_ 껍질_ 궤도각운동량_ 바닥상태_ 양자수_ 스핀