핵모형 |
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핵의 껍질모형핵자는 원자의 전자처럼 껍질을 만들면서 차곡차곡 채워진다.
여러 핵자가 그들 사이의 강한 인력으로 핵을 이루는 것이 마치 핵의 인력으로 여러 전자가 결합되어 원자를 이루는 것과 비슷하다. 마치 원자에서 전자가 낮은 준위로부터 채워진 양자상태에 있어서 양파처럼 차곡차곡 닫혀진 껍질을 이루는 것처럼 핵도 낮은 상태로부터 채워진다고 볼 수 있다. 이는 원자의 껍질모형과 비슷하여 핵의 껍질모형(shell model)이라고 한다. 껍질모형은 다음에 설명하는 마법수와 같이 물방울 모형이 설명하지 못하는 핵의 결합에너지를 보다 정교하게 설명하는 모형으로 두 물리학자 괴퍼드-메이어(M. Goeppert-Mayer)와 젠센(J. H. D. Jensen)에 의해 독립적으로 제안되었다. 핵의 양성자나 중성자가 다음과 같을 때에 보다 안정된 상태로 있다는 것이 마치 원자의 껍질모형에서 안정된 원자의 경우와 비슷하기 때문이다. \[ N, Z = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. \] 이를 마법수(magic number)라 한다. 예를 들어 $^{4}_{2}\mathrm{He}$나 $^{16}_{~~8}\mathrm{O}$, $^{48}_{20}\mathrm{Ca}$, $^{208}_{~~82}\mathrm{Pb}$처럼 양성자나 중성자 수가 모두 위의 조건을 만족하는 경우에는 마법 겹침(doubly magic)으로 가장 안정된 상태가 된다. 각각의 핵자는 근사적으로 핵을 구성하는 전체 핵자가 만드는 평균적인 퍼텐셜에 의해 속박된 것으로 이해할 수 있다. 가까운 거리에서만 작용하는 핵력의 특성 때문에 이 퍼텐셜은 페르미 기체모형에서 설명한 것처럼 퍼텐셜 우물로 간략화 할 수 있지만 실제로는 가장자리가 부드럽게 변하는 모양을 한다. 이 중에서 다음의 우즈 색슨 퍼텐셜(Woods-Saxon potential)이 전형적이다. \[ \begin{equation} \label{eq1} U(r) = - \frac{U_0}{1 + \exp \left( \frac{r-R}{a} \right)} \end{equation} \] 여기서 $U_0$는 퍼텐셜의 깊이이고, $a$는 핵의 표면부의 두께, $R$은 핵의 반경이다. $a$는 0.5 fm, $U_0 = 50 $ MeV 정도로 볼 수 있다.
3차원 조화진동자로 해석한다.우즈 색슨 퍼텐셜이 실체에 가깝기는 하지만 이의 양자상태를 해석적으로 풀이할 수 없기 때문에 여기서는 해석적인 풀이가 가능한 다른 퍼텐셜을 도입하도록 한다. 3차원 중심력장의 문제로 쉽게 풀이되는 것으로는 다음 세 경우가 있다. 이는 앞서 '수소원자의 양자론'에서 다루었던 정전퍼텐셜과 무한히 단단한 구 껍질 속의 자유입자, 그리고 3차원 조화진동자이다. 핵자의 퍼텐셜은 이 중에서 구형 퍼텐셜과 조화진동자의 중간 정도로 생각할 수 있어서 일반적으로 핵의 껍질모형은 이들 주 퍼텐셜 중 하나를 택하여 해석한다. 여기서는 조화진동자에 대해서 '양자역학' 단원의 '3차원 조화진동자'에서 이미 다루었으니 이 결과를 활용하도록 한다. 3차원 조화진동자는 에너지 준위가 \[ E_n = (n+ \frac{3}{2} ) \hbar \omega \] 이다. 여기서의 에너지를 결정하는 양자수 $n$은 \[ n = 2n_r + l, ~~n_r = 0, 1, 2, \cdots \] 으로 지름과 관련된 양자수 $n_r$과 궤도양자수 $l~$에 관련되어 있다. 따라서 $n_r$과 $l~$이 모두 $0,1,2, \cdots$임을 감안하면 $n=0,1,2, \cdots$이다. 여기서도 수소원자와 마찬가지로 방향에 관련된 궤도양자수와 자기양자수 $l,m_l~$는 같은 양자화 규칙을 가진다. 이를 고려하면 에너지 준위별로 다음과 같은 상태가 가능하다. 1. $n=0$, $l=0$의 2 상태 2. $n=1$, $l=1$의 6 상태 3. $n=2$, $l=0~$의 2 상태와 $l=2~$의 10 상태를 합한 12 상태 4. $n=3$, $l=1~$의 6 상태와 $l=3~$의 14 상태를 합한 20 상태 5. $n=4$, $l=0~$의 2 상태와 $l=2~$의 10 상태, $l=4~$의 18 상태를 합한 30 상태 따라서 $n$에 해당하는 상태수는 $(n+1)(n+2)$으로 $n$까지의 상태수를 합해서 마법수를 계산해 보면 \[ \sum^{n}_{n'=0} (n'+1)(n'+2) = \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3} = \{2, 8, 20, 40, 70, 112, \cdots\} \] 이 된다. 따라서 이는 실제의 마법수와 20까지만 일치하는 것을 알 수 있다. 이러한 차이는 핵의 스핀-궤도 상호작용(spin-orbit interaction, LS 결합)으로 많이 해소된다. 즉 핵자는 핵에 의한 퍼텐셜과 더불어 자신의 궤도각운동량과 스핀 사이의 상호작용에 의한 퍼텐셜을 같이 느낀다. 따라서 실제의 퍼텐셜은 \[ U_{\mathrm{real}}(r) = U(r) - f(r) \vec{L} \cdot \vec{S} \] 의 형태가 된다. 여기서 $\vec{L}~$과 $\vec{S}~$는 핵자의 궤도각운동량과 스핀각운동량이다. 상호작용을 추가항은 거리함수 $f(r)$의 의존성이 있다는 것을 제외하면 '총각운동량' 절에서 다루었던 것처럼 원자에서의 LS 결합과 같다. 두 각운동량의 합인 총각운동량은 \[ \vec{J} = \vec{L} + \vec{S} \] 이다. 이를 제곱하여 정리하면 \[ J^2 = L^2 + S^2 + 2 \vec{L}\cdot \vec{S} \] 이고, \[ \vec{L}\cdot \vec{S} = \frac{1}{2} (J^2 - L^2 - S^2) \] 이다. 핵자의 상태를 식별하는 궤도-자기양자수 $l, m_l$, 스핀양자수 $s, m_s$를 LS 결합에 맞게 $l, s, j, m_j$로 나타내어 한 상태에 대한 $\vec{L}\cdot \vec{S}$를 정리한다. \[ \vec{L}\cdot \vec{S} = \frac{\hbar^2}{2} [j(j+1) - l(l+1) - s(s+1)] = \frac{\hbar^2}{2} [j(j+1) - l(l+1) - \frac{3}{4}] \] 한편 $\vec{J}$의 양자수 $j$는 $l+\frac{1}{2}$, $l-\frac{1}{2}$이 가능하므로 \[ \vec{L}\cdot \vec{S} = \frac{\hbar^2}{2} l, ~~-\frac{\hbar^2}{2}(l+1) \] 이다. 단 $l=0$일 때는 하나의 상태만 있다. 따라서 $l\ne 0$인 경우에는 에너지 준위가 둘로 나뉘게 된다. 스핀-궤도 상호작용이 없다면 에너지 준위는 $l=0$의 경우를 제외하고 에너지가 둘로 나누어지는 것이다.
한 상태는 스핀과 상호작용해서 준위가 다른 두 상태로 나뉜다.한편 핵자의 한 상태를 나타낼 때 수소원자에서처럼 $1s, 2p$ 등의 기호로 나타낸다. 즉 궤도양자수 $l=0, 1, 2, \cdots$는 $s, p, d, f$등으로 내고 $n_r + 1$의 값 $1, 2, 3, \cdots$ 를 앞에 붙인다. 예를 들어 $1p$는 $n_r = 0, ~l=1$로 $n=1$ 이고, $1f$는 $n_r = 0, ~l=3$으로 $n=3$ 이고, $2p$는 $n_r = 1, ~l=1$로 $n=3$이다. 에너지 준위가 궤도나 스핀에 완전히 무관하다면 오직 $n$값에만 의존하여 예를 들어 $1f$와 $2p$은 준위가 같겠지만 실제로는 아니다. 핵자에 걸리는 퍼텐셜이 조화진동자가 아니라 우즈 색슨 퍼텐셜처럼 핵 내부에서는 평탄하고 가장자리에서 더 급해진다. 때문에 파동함수의 해는 약간 변형되어 한 상태의 핵자의 궤도반경이 조화진동자에 비해서 좀 더 커진다. 궤도반경이 커지는 효과는 $n$과 $l$이 커질 수록 에너지 준위가 좀더 낮아지게 한다. $n$이 클수록 준위가 약간 낮아지는 것은 순위를 재배열하지는 않지만 $l$값이 커질수록 준위가 낮아지는 것은 추가로 고려해야 한다. 예를 들어 $n=2$인 두 상태 $2s$와 $1d$ 중에서 $1d$가 낮은 준위이고 $n=3$인 두 상태 $2p$와 $1f$ 중에서 $1f$가 낮은 준위를 이룬다. 오른쪽 그림에서 가운데 도표는 이것까지 고려한 것이다. 이제 다시 LS 결합에 의해 $s$를 제외한 각각의 준위는 두 개로 나누어져서 그림의 오른쪽 도표처럼 되는 것이다. 이 도표에서 알 수 있는 것처럼 $1s_{1/2}$와 $1p_{3/2}$ 사이, $1p_{1/2}$와 $1d_{5/2}$ 사이, $1d_{3/2}$와 $1f_{7/2}$ 사이 등에서 상당한 에너지 간극이 생긴다. 따라서 간극 직전까지 채워지는 핵자의 총 수는 2, 8, 20, 28, 50 등의 마법수가 되고 이 수만큼 핵자가 채워져서 마치 양파처럼 껍질을 이룬다.
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