핵모형

다음은 핵 속의 핵자나 알파입자 등에 대한 양자상태를 수치해석하여 결과를 다양하게 보여주는 프로그램이다.

exp

핵력에 대한 양자상태의 해석_ 핵의 핵자나 알파 입자 등이 놓여 있는 양자상태를 해석한다. 퍼텐셜의 형태에 따른 입자의 확률밀도함수, 파동함수를 각 고유에너지를 기준선으로 하여 그려준다. 퍼텐셜의 파라미터는 슬라이더로 조절 할 수 있으며, 함수형이나 파라미터를 변경하면 여러 $l$ 양자수에 대한 파동함수를 계산해서 새로 나타낸다.

프로그램 설명

2. 이 프로그램은 0 ~ 10 fm의 길이를 501개의 격자로 나누었다. 사용한 길이의 단위는 fm, 에너지는 MeV, 질량의 단위는 amu 등이다. 화면에 나타낸 부분은 원점으로부터 5 fm까지 이다.

3. 중심력장의 퍼텐셜 $U(r)$은 'potential type'로 변경할 수 있으며, 이와 관련한 각종 계수는 왼쪽의 1 ~ 3개의 슬라이더로 변경할 수 있다. 주어진 퍼텐셜에 대해서 $l=0 \sim 7$까지 계산하며, 각각의 $l$에 대해서 7 개의 준위까지를 계산한다.

4. 내부적으로는 모두 56개의 준위를 계산하되 속박상태(bound state)만 나타낸다. 각각의 $l$에 대응되는 퍼텐셜이나 파동함수는 동일한 색채를 이용하고 있으며, 모두를 흐린 그림으로 나타낸다.

5. 오른쪽의 'view'의 선택에 따라 파동함수와 확률밀도함수를 별개로 나타내며, 각각은 $\psi(r)=rR(r)$와 $|\psi(r)|^2$이다. 그리고 굵은 푸른색 그래프는 각운동량 항을 포함한 유효퍼텐셜 $U^*$이다.

6. 오른편의 'view' 속의 '$l$'의 스피너로 양자수 $l$을 선택한다. 선택된 $l$에 대한 상태는 밝은 그래프로 보여주어 세밀히 관찰할 수 있다. 'copy data'로 수치해석 결과를 클립보드로 옮길 수 있는 데 이때에는 선택한 $l$에 대한 결과만 복사된다.

7. 'mass'의 스피너는 특정한 퍼텐셜에 놓여 있는 입자의 질량을 변경할 수 있는 것으로 0.5 ~ 5.0 u(amu) 범위로 선택할 수 있다. 대상 입자가 핵자인 경우는 질량이 거의 1 u 이므로 이 값을 1로 두면 된다. 그러나 핵자가 핵에서 운동하고 있을 경우에는 핵의 질량을 고려해서 환산질량으로 바꾸어야 하는 데 이에 따라 질량이 1 u에서 줄어들 것이다. 가장 극단적인 경우는 중양성자로 환산질량이 0.5 u가 된다. 대상입자가 알파입자인 경우는 약 4.0 u 이므로 이때는 4.0으로 설정한다.

8. 여기서의 수치해석의 특성 때문에 10 fm에서 무한 장벽 퍼텐셜이 있다. 즉 화면의 가로영역의 2배 되는 위치에 무한히 딱딱한 구형의 퍼텐셜 장벽이 있는 것으로 이해할 수 있다. 이 때문에 에너지가 높은 상태가 되면 실제의 상황과 벗어날 수 있다.

9. 'hard sphere'의 경우, 반경 $R$인 구 내부에 낮은 퍼텐셜 우물에 갇혀 있는 핵자의 퍼텐셜이다. 이 모형은 앞서 페르미 기체모형에서의 상황과 유사하다. 이는 핵자가 핵력의 평균적인 퍼텐셜을 가장 단순하게 표현한 것이다.

10. '3D harmonic'의 경우는 조화진동자의 퍼텐셜로 중심에서의 거리의 제곱에 비례하는 \[ U(r) = \frac{1}{2} m \omega^2 r^2 \] 의 형태이다. $\omega$를 변경할 수 있고, 입자의 질량을 바꾸더라도 함수의 형태가 유지되도록 $\omega$가 덩달아 변한다. 이 퍼텐셜은 앞서 껍질모형에서 계산에 이용한 모형이다. 한편 'w'로 표시한 값은 10²² sec^-1을 단위로 나타낸 것이다.

11. 'Yukawa'의 경우 유카와 퍼텐셜로 알려진 핵자사이에 작용하는 퍼텐셜로 다음의 함수형을 하고 있다. \[ U(r) = - g^2 \frac{e^{-r/r'}}{r} \] 여기서 인력이 미치는 범위에 해당하는 $r'$을 $R$로, $g^2$을 'strength'로 표시하고 있다.

12. 'simple Yukawa'의 경우, 실제의 핵자사이의 인력을 단순화시킨 것으로 핵자가 접촉했을 때의 반발력을 반영하였다. 핵자의 반경에 해당하는 거리는 'hard ball'로 나타내고 있으며, 또한 인력이 미치는 범위를 $R$로, 깊이를 'depth'로 나타낸다.

13. 'alpha particle'의 경우, 핵 속의 알파입자가 느끼는 퍼텐셜로 퍼텐셜 우물의 핵력에 알파입자의 + 전하와 나머지 핵의 구성핵자들의 + 전하가 서로 밀어내는 반발력을 고려하고 있다. 이 반발의 정도는 'electro-repulsion'으로 표시하고 있다. 알파붕괴가 일어나는 상황은 높은 에너지의 알파입자가 핵을 벗어나는 것으로 이는 속박상태가 아니므로 여기서는 그 양자상태를 계산하지 않는다.

14. 'Wood-Saxon'의 경우 핵의 한 핵자에게 평균적으로 작용하는 퍼텐셜로 실제에 가장 가까운 모형으로 이의 표현식 \[ U(r) = - \frac{U_0}{1 + \exp \left( \frac{r-R}{a} \right)} \] 에서 $U_0$는 'depth'로, $R$은 'R'로, $a$는 'skin thickness'로 표시하고 있다.

15. 핵 속의 핵자가 느끼는 평균적인 퍼텐셜로는 'hard sphere', '3D harmonic', 'Woods-Saxon'이 있다. 이 중에서 'Woods-Saxon'이 가장 정교한 표현이며 'hard sphere'가 가장 단순하다. 그리고 '3D harmonic'은 해석적인 풀이가 가능하다.

페르미 기체모형에 대한 모의실험

1. 이는 앞의 페르미 기체모형을 검증하는 실험이다. 퍼텐셜 유형을 'hard sphere'으로 설정하고 질량수가 10 인 핵반경으로 $R$을 설정한다. 이때 에너지 깊이는 50 MeV로 둔다.

2. 양성자와 중성자의 수를 각각 5 로 가정하여 이들을 준위에 2개씩 배치한다. 이때 하나의 $l$ 값에는 $2l+1$개의 $m_l$ 세부준위가 있다는 것을 반영해야 한다.

3. 양성자와 중성자의 배치를 적절한 그림으로 나타내고, 각 준위의 에너지 값도 같이 표시하라. 이때 마지막 핵자를 배치할 때 방출되는 에너지가 얼마인지, 또한 바닥에서 측정한 페르미 준위 값 $E_F$도 나타내어라.

4. 한 준위에 대하여 'copy data'로 데이터를 복사해서 계산표 프로그램으로 파동함수와 확률밀도함수를 그래프를 정교하게 그려라. 아울러 공 속에서의 핵자의 입체적인 분포를 스케치 하라. 이를 위해서는 구조화함수 $Y_{lm}(\theta, \phi)$를 반영해야 한다.

5. 질량수를 10 ~ 70 의 범위에서 적절한 간격으로 바꾸어가며 동일한 절차를 반복한다. 질량수에 대한 각각의 $E_F$, 마지막 핵자의 결합에너지를 그래프로 그려라. ($A=70$ 의 경우라면 $R=r_0 A^{1/3} \approx 4.95 ~\mathrm{fm}$ 정도 된다)

껍질모형에 대한 모의실험

1. 이는 앞서 설명한 껍질모형에 대한 검증이다. 퍼텐셜 유형을 '3D harmonic'으로 설정하고 페르미 기체모형과 동일한 절차로 실험하라.

2. 각각의 각운동량 준위에 대해서 에너지 준위를 순서대로 나열하라. 각 상태를 $1s$등으로 표시할 수 있다.

3. 퍼텐셜 유형을 'Woods-Saxon'으로 설정하고 같은 실험을 반복하라.

4. 두 퍼텐셜 유형의 결과를 비교하라. 둘 사이에 어떤 차이가 있는 지를 분석하라. 단 '3D harmonic'의 경우 $r=0$에서의 퍼텐셜 기준값을 0 으로 하였으나 'Woods-Saxon'의 경우 그 기준값이 'depth'로 설정한 만큼 낮아져 있다. 따라서 '3D harmonic'의 퍼텐셜을 그만큼 아래로 이동해서 둘의 기준을 일치시켜야 한다. 이 경우 계산된 에너지 고윳값도 같은 양만큼 이동한 값으로 환산해야 한다.

중양성자에 대한 모의실험

1. 이는 앞서 설명한 중양성자의 결합상태에 대한 검증이다. 퍼텐셜 유형을 'hard sphere'로 설정하고 'mass'를 계의 환산질량인 0.5 amu로 놓아라.

2. $R$을 2 fm로 하였을 때 중양성자의 결합에너지 2.22 MeV에 가까운 양자상태를 만들어 보라. 이때의 'copy data'로 파동함수를 복사해서 이것과 확률밀도함수를 그래프를 그려보자.

3. 확률밀도함수의 그래프는 최댓값을 지나 양성자와 중성자의 거리가 멀어짐에 따라 점차 줄어들 것이다. 실제로 우물 바깥 멀리까지 입자가 발견될 수 있는 것을 알 수 있는 데, 최댓값에서 $e^{-1}$ 만큼 줄어드는 거리를 구해보자. 이것이 중양성자의 크기로 생각할 수 있다.

4. 앞에서와 같은 조건으로 하되 $R$을 1.8 ~ 2.5 fm까지 0.1 fm의 간격으로 바꾸어서 2 ~ 3의 과정을 거듭하자. $R$과 중양성자의 크기를 표로 만들고 이들 사이의 상관관계를 설명하라.

5. 2의 과정에서 찾은 조건이 앞 페이지의 (6) 식을 대체로 만족하는 지를 구체적인 수치를 대입해서 검증해 보라.

6. $R$을 2 fm로 고정하라. 퍼텐셜 깊이 'depth'를 작은 값에서 점점 크게 하면 하나의 가능한 상태가 나타날 것이다. 어느 깊이에서 나타나는가? 더 깊어지면 $l=1$에서의 한 상태를 포함해서 두 개의 가능한 상태가 있을 것이다. 이때 두 상태 각각의 확률밀도함수의 모양을 스케치 해 보자. (구면조화함수 $Y_{lm}(\theta, \phi)$를 고려해야 한다. 이는 '수소원자의 양자론' 단원의 '확률밀도의 방향 의존'에서 다루고 있다)

7. 퍼텐셜 유형을 'simple Yukawa'로 하면 'hard sphere' 보다 실제의 중양성자 모형에 더 가까워진다. 즉 핵자끼리 접촉하면 마치 딱딱한 구처럼 반발하는 것을 반영한 것으로 이의 반경은 'hard ball'로 변경할 수 있다. 핵에 대한 여러 실험결과에 의하면 이 값은 대체로 0.4 fm 정도이다. 이 값으로 고정하되 우물의 반경과 깊이를 변화시켜서 실제의 중양성자에 가까운 양자상태를 찾아보자.