수소원자의 확률밀도함수에서 방향좌표인 $\theta$와 $\phi$에 의존하는 부분은 퍼텐셜의 형태와 상관없이 풀이되었다. 따라서 퍼텐셜이 거리 $r$에만 의존하여 방향성이 없는 경우라면 여기서의 방향에 대한 해석이 보편적이라 할 수 있다.
$\Theta$와 $\Phi$ 두 함수를 곱한 다음 함수를 구면조화함수(spherical harmonics)라 하여 잘 알려져 있고, 아울러 물리학의 여러 분야에 널리 사용된다. \[ Y_{lm_l}(\theta, \phi) = \Theta_{lm_l}(\theta)\Phi_{m_l}(\phi) = (-1)^{m_l} \sqrt{\frac{(2l+1)(l-m_l)!}{4\pi (l+m_l)!}}P_l^{m_l}(\cos\theta) e^{im_l \phi} \] 이 함수의 몇몇은, \[ \eqalign{ Y_{00} &= \frac{1}{\sqrt{4\pi}} \\ Y_{1, \pm 1} &= -(\pm) \sqrt{\frac{3}{8\pi}} e^{\pm i \phi} \sin \theta \\ Y_{10} &= \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \cos \theta \\ Y_{2, \pm 2} &= \sqrt{\frac{15}{32\pi}} e^{\pm 2i \phi} \sin^2 \theta \\ Y_{2, \pm 1} &= -(\pm) \sqrt{\frac{15}{8\pi}} e^{\pm i \phi} \sin \theta \cos \theta \\ Y_{20} &= \sqrt{\frac{5}{16\pi}} (3\cos^2 \theta -1) } \] 이고, 차수가 올라 갈수록 항이 많아진다.
뿔 모양을 한 경우가 있다.
$Y_{lm_l}$ 중에서 $\phi$의 함수인 $\Phi_{m_l}$는 매우 단순한 형태이다. 특히 어떤 $m_l$에서나 $|\Phi_{m_l}(\phi)|^2 = 1/\sqrt{2\pi}$이므로 확률밀도함수 측면에서는 $\phi$에 대한 의존성이 없다. 따라서 확률밀도의 입체적인 모습은 $z$ 축에 대해 회전체의 모습를 할 것이다.
이제 극각 $\theta$에 대한 의존성을 다음의 극좌표 도표로 나타내었다. 확률밀도는 $l$과 $m_l$에 의존하며, 전자가 $z$축에 대해 어떤 방향으로 편중되어 있는가를 나타낸 것이다. 화면이 처음 나타난 모습은 $l=3,~m_l=0$에 대한 것으로 $z$와 $-z$의 방향으로 서로 반대부호의 파동함수가 큰 값을 형성하고 있는 것을 나타내며, 이보다 작은 확률이지만 $x, y$ 방향으로의 피크가 있다. 앞서 언급한 것처럼 $\phi$에 대해 대칭성 때문에 이 모습을 $z$축에 대해 회전시켜야 하므로 약한 네 개의 피크는 실제로 두 개의 원판 모습으로 보아야 한다.
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르장드르 연관다항식_ 르장드르 연관다항식 $P_l^{m_l}(x)$의 그래프이다. 이 함수는 $x=-1 \sim 1$ 사이에서 정의되며, 우함수나 기함수 중의 하나이다. 연한 색의 그래프는 이 함수의 원형인 르장드르 다항식 $P_l(x)$, 즉 $m_l =0$에 대해 $l$을 달리 해서 한꺼번에 그린 것이다. 선택한 $l, m_l$의 값에 따라 세로 영역의 범위가 크게 변하므로 세로 눈금을 자동으로 조절하여 최적의 그림을 보여준다.
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확률밀도의 뿔구조_ 수소원자의 확률밀도함수의 방향의존성을 극좌표 도표로 나타냈다. 사용한 함수는 $|\Theta_{lm_l}|^2$으로 $\theta$에만 의존하며, $z$ 축에서 기울어진 각도를 따라가며 확률밀도의 크기를 원점으로 부터의 거리로 표현한 것이다. 뿔 형태로 된 지역은 그 방향으로의 확률밀도가 큰 것을 나타내며, 붉은 색과 푸른 색의 선은 파동함수가 서로 반대 부호인 것을 뜻한다.
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파동함수의 방향 의존_ 방향에 따른 파동함수를 보여준다. 원점에서 표면까지의 거리가 파동함수나 확률밀도함수의 크기를 나타내었고, 축적은 화면에 잘 맞추어지도록 하였다. $x, y, z$ 축은 각각 붉은색, 녹색, 푸른색으로 나타내었다. 처음 나타나는 그림은 '위상색채 보기'를 선택한 것으로 $e^{im_l \phi}$항에 의한 복소위상의 기여를 색채로 볼 수 있다. 선택을 해제하면 입체적인 전모를 잘 파악할 수 있도록 약간 반투명한 색채로 표면을 나타내었다. 이 경우 색채는 의미가 없다.
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