수소원자의 양자론

전자의 확률분포

보어의 모형과 달리 수소원자의 양자 이론은 전자가 핵 주위의 특정한 지점이나 궤도에 존재하는 것이 아니라 넓은 영역에 걸쳐서 발견될 확률을 가지고 있다는 것을 말한다. 앞에서 $r, \theta, \phi$의 변수분리된 함수에 대한 확률밀도에 대해 알아보았다. 이제 이들 결과를 종합해서 전자의 확률밀도의 공간적 분포를 그림을 통해 알아본다.

전자는 핵 주위를 구름처럼 분포하고 있다.

다음 그림은 $xz$ 면을 따라 형성된 확률분포를 밝기로 나타낸 것이다. 확률밀도는 $\phi$에는 무관하기 때문에 $z$ 축에 대해 회전시킨 입체적인 모습으로 이해해야 한다. 단 그림에서 붉은색과 청록색(Cyan)은 파동함수의 위상이 180도 차이나는 것을 나타낸다.

위 그래프로 부터 다음과 같은 사실을 확인할 수 있다.

1. $|\Phi|^2$이 $\phi$에 의존하지 않으므로 위 그림은 $z$ 축에 대해 대칭인 모양의 입체로 이해해야 한다. 따라서 방향 의존성은 오직 극각 $\theta$에만 있다. 그리고 $|\Theta|^2$의 그림에서 본 것처럼 $l=0$인 경우는 $\theta$에 무관하므로 원점에 대해 대칭이다. 이 경우에는 $n$이 커지면 껍질의 수가 같이 증가하나 언제나 원점에서 전자가 발견될 확률이 가장 높게 주어진다. 그리고 $l \neq 0$ 인 경우에는 원점에서 전자가 발견되지 않는다.

2. 파동함수가 0 인 지역이 공간을 분할하게 되는 데 이것이 일종의 마디로서 면을 이루게 된다. 그리고 마디면을 경계로 하여 서로 인접한 영역은 파동함수가 반대부호를 하게 된다.

3. 확률밀도는 $\phi$에 의존하지 않지만 파동함수는 $~e^{im_l \phi}$이므로 $z$ 축에 대해 회전시키면 복소수의 위상값이 주기적으로 변한다. 그리고 위 그림은 $xz$ 평면에 대한 단면으로 $\Phi$가 $\pm 1$의 값을 가져서 파동함수는 실수값이 되고 그 부호를 붉은색$(+)$과 청록색$(-)$으로 달리 나타내었다.

4. 동일한 $n, l$에서 $|m_l|$이 커질수록 $z$ 축으로부터 $x-y$ 평면으로 확률분포가 이동한다.

5. $n$이 커짐에 따라 전자의 분포 영역은 대체로 $n^2$에 비례하여 커진다.

6. 주어진 $n$에서 가장 큰 $l$과 $m_l$인 $l=n-1,~~ m_l =\pm (n-1)$인 경우는 $x-y$ 면에 놓인 도넛 모양을 하게 된다. 이 경우 확률밀도함수가 최대인 지점(즉, 전자가 가장 많이 발견되는 궤도 반경)은 보어의 이론에서 예측된 $n^2 a_0$을 하게 된다. 이때 전자가 적도 궤도에 몰려 있는 상황인 데 이것이 여러 상태들 중에서 보어의 모형과 가장 유사하다. 따라서 보어 모형은 수소원자의 많은 양자상태 중 하나를 그런대로 나타낸다고 할 수 있다.

7. 각각의 $n$에 대해 $l$과 $m_l$을 달리하는 상태가 $n^2$개가 있는 데 이들이 모두 동등하게 합해지면 확률밀도함수는 방향에 대한 의존성이 없어진다. 이들은 모두 같은 에너지를 가진 겹친상태(축퇴상태)로 이들의 혼합상태가 존재할 수 있다. 에너지 고윳값이 다른 상태가 혼합되면 확률밀도가 진동을 하게 되지만 축퇴상태라면 에너지가 동일하여 정상상태를 유지하기 때문이다. 따라서 우리가 주목하는 수소원자 하나에 대해 특별한 정보가 없다면 $n$의 모든 상태가 동등한 확률로 섞여 있을 것이다. 따라서 이 문제를 다룰때 특별한 역할을 했던 $z$ 축은 실은 임의로 선택한 한 방향일 따름이다. 그러나 수소원자에 자기장이 걸리거나 주변에 다른 원자가 있어 얼마간 영향을 받을 때는 사정이 달라진다. 이 영향력은 어떤 특별한 상태에게 고유 에너지를 약간 변동시킬 것인 데 이것 때문에 축퇴가 깨어지게 되고, 아울러 상태의 분리가 일어나게 된다. 이때 자기장의 방향 등 외부에서 가해지는 특별한 방향을 $z$ 축으로 삼으면 문제가 다루기 쉬워진다.

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