핵반응

핵반응의 운동학

핵반응의 Q 값 - 발열반응과 흡열반응

입자 $x$가 정지한 핵 $X$에 충돌해서 이를 $Y$로 변환시키고 $y$ 입자를 방출한다고 하자. 즉, \[ x ~+~ X ~\rightarrow~ y ~+~ Y \] 일 때 이에 대한 에너지보존은 \[ m_x c^2 + K_x + M_X c^2 = m_y c^2 + K_y + M_Y c^2 + K_Y \] 이다. 이를 다시 정리하면 \[ \begin{equation} \label{Qval} Q = (m_x + M_X - m_y - M_Y) c^2 = K_y + K_Y - K_x \end{equation} \] 으로 반응 후 얻은 운동에너지는 질량의 감소에서 나온 것으로 이해할 수 있다. 여기서 $Q \gt 0$ 이면 발열반응으로 질량이 운동에너지로 바뀐 효과를 주게 된다. 반면에 $Q \lt 0$ 이면 흡열반응으로 운동에너지가 질량으로 바뀐 것이다. $Q \ne 0$인 경우 운동에너지가 보존되지 않으므로 통상적인 의미에서 비탄성충돌이라 한다.

이차원 충돌이론으로 핵반응을 분석한다.

Q 값은 질량분석기로 각각의 질량을 측정하거나 각각의 운동에너지를 측정하여 결정할 수 있다. 운동에너지로 Q 값을 정하기 위해서는 반응핵과 방출입자의 운동에너지 $K_Y$과 $K_y$를 측정해야 하지만 $K_Y$는 매우 작아서 측정하기 어렵다. $K_Y$ 없이 Q를 결정하기 위해서 운동량보존법칙을 이용하여 Q를 $K_y$와 방출입자의 방출각으로 표현하도록 하자. 그림과 같이 입사입자에 대해 방출입자와 핵이 향하는 방향이 $\theta$와 $\phi$라 한다면 \[ \begin{equation*} \begin{split} m_x v_x & = & M_Y v_Y \cos\phi + m_y v_y \cos \theta \\ 0 & = & M_Y v_Y \sin\phi - m_y v_y \sin \theta \end{split} \end{equation*} \] 이다. 여기서 $\phi$를 소거하기 위해서 각 입자에 대해 $mv=\sqrt{2mK}$를 이용하여 정리한다. \[ \begin{equation*} \begin{split} \sqrt{m_x K_x} - \sqrt{m_y K_y} \cos\theta & = & \sqrt{M_Y K_Y} \cos \phi \\ \sqrt{m_y K_y} \sin\theta & = & \sqrt{M_Y K_Y} \sin \phi \end{split} \end{equation*} \] 이 둘을 제곱해서 더하면 \[ m_x K_x - 2 \sqrt{m_x m_y K_x K_y } \cos \theta + m_y K_y = M_Y K_Y \] 이다. 이로부터 $K_Y$가 다른 양들로 계산되어 이를 \eqref{Qval} 식에 적용하면 \[ \begin{equation} \label{Qcos} Q = K_y \left( 1+ \frac{m_y}{M_Y} \right) - K_x \left( 1- \frac{m_x}{M_Y} \right) - \frac{2}{M_Y} \sqrt{m_x m_y K_x K_y} \cos \theta \end{equation} \] 으로 이것이 Q 방정식(Q equation)이다. 즉, Q 값이 입사입자와 방출입자의 운동에너지와 $\theta$부터 구해지는 것이다. 각각의 질량을 정밀하게 안다면 이들 질량으로 Q를 계산할 수 있지만 실제로 이들이 이루는 원자가 아닌 핵의 질량을 정확하게 알지 못하는 경우가 대부분이다. 물론 \eqref{Qcos} 식에도 질량이 들어 있지만 여기서는 이들의 질량수 $A$로 계산해도 무리가 없다. 표적핵의 질량이 커지면 딸핵의 질량도 크고, 이 경우 \eqref{Qcos} 식의 마지막 항은 무시할 수 있게 된다. 특별히 $K_x \approx 0$이면서 $\theta = 90^\circ$일 때가 흥미있다. 양성자의 경우 퍼텐셜 장벽을 넘어가기 위해 초기 운동에너지를 가져야 하지만 중성자의 경우에는 0의 에너지로도 반응이 가능하여 이러한 상황이 있을 수 있다. 이 때는 \eqref{Qcos} 식의 첫항만 남아서. \[ Q \cong \frac{M_Y + m_y}{M_Y} K_y \] 이 된다. 이는 알파붕괴에서의 Q 값과 알파입자의 운동에너지 사이의 관계와 비슷하다.

질량중심 좌표계에서의 해석

Q 값이 음인 흡열반응인 경우에는 반응에 필요한 에너지를 입사입자의 운동에너지 $K_x$로 충당하게 된다. 그러나 $K_x$ 모두를 내부의 핵반응에 이용할 수 없기 때문에 흡열반응이 일어나는 조건이 $K_x \gt |Q|$으로는 충분하지 않다. 이때 필요한 $K_x$를 알아보기 위해서 반응을 질량중심계로 분석하는 것이 편리하다. 질량중심계(center of mass frame; COM)는 옆 그림에서 보듯이 계의 질량중심을 따라 움직이는 좌표계에서 관찰한 것으로 이 경우 충돌전후의 운동량이 0 이되도록 하여 운동량보존법칙을 자연스럽게 만족시킬 수 있다. 앞에서와 같이 반응을 관찰한 실제의 좌표계를 실험실계(laboratory coordinate frame)라 한다. 실험실계에 대해서 질량중심계는 \[ v_{o} = \frac{m_x}{m_x + M_X} v_x \] 의 속도로 움직인다. 질량중심계에는 입사입자와 표적핵이 각각 $v_x - v_o$와 $-v_o$의 속도를 가지고 있으므로 충돌전의 운동에너지는 \[ K_{o} = \frac{1}{2} m_x (v_x - v_o)^2 + \frac{1}{2} M_X v_o^2 = \frac{M_X}{m_x + M_X} \left[ \frac{1}{2} m_x v_x^2 \right] = \frac{M_X}{m_x + M_X} K_x \] 따라서 이 계에서 Q 값을 나타내면, \[ Q = K'_y + K'_Y - K_{o} \] 이다. 여기서 $K'_y$와 $K'_Y$는 질량중심계에서의 방출입자와 생성핵의 운동에너지이다. 이들 운동에너지는 0 보다 커야 하므로 이 반응이 일어나기 위해서는 \[ K_o + Q = K'_y + K'_Y \ge 0 \] 이어야 하고, 이를 실험실계에서 나타내면 \[ K_x \ge - Q \left( \frac{m_x + M_X}{M_X} \right) \] 이다. $Q$가 $+$인 발열반응인 경우에는 $K_x$에 대한 제한이 없지만 $Q$가 $-$인 흡열반응인 경우에는 이 반응이 일어나려면 $K_x$의 하한값이 있다. 이는 운동량보존법칙이 성립하기 위해 입사입자의 운동에너지의 $m_x/(m_x+M_X)$ 비율만을 생성물체가 가지고 $M_X/(m_x+M_X)$ 비율만큼 내부 핵반응에 이용되는 것을 이해할 수 있다. 이처럼 흡열반응이 일어나기 위해서 입사입자가 가지는 운동에너지의 하한을 문턱에너지(threshold energy)라 한다. 문턱에너지는 \[ K_\mathrm{th} = - Q \left( \frac{m_x + M_X}{M_X} \right) \] 이다.

[질문1] $^{12}_{~~6}\mathrm{C}$의 질량은 12.000,000u, $^{4}_{2}\mathrm{He}$의 질량은 4.002,602u 이다. $\gamma + {^{12}_{~~6}\mathrm{C}} \rightarrow 3~{^{4}_{2}\mathrm{He}}$의 반응이 일어나기 위한 문턱에너지는 얼마인가?

[질문2] Q 방정식을 유도할 때 비상대론적 보존법칙을 이용하였다. 비상대론적 근사를 이용하여도 무난한 이유를 설명하라.

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