핵융합

열핵 반응률

별에서의 핵융합 - 고온 플라스마 상태에서의 핵융합

앞서 두 핵이 상대속도 $v$로 서로 다가갈 때 융합이 일어나는 단면적을 계산했다. 단면적은 두 핵이 이 범위로 서로 스칠 때는 반드시 융합을 한다고 보는 면적이다. 실제로는 단면적의 범위 바깥으로 접근해도 융합을 할 확률이 있을 수 있고, 또한 단면적의 범위내로 접근해도 확률이 1은 아니다. 그러나 많은 핵이 덩어리진 물질에 다른 핵이 충돌하거나 많은 핵이 혼재된 플라스마 상태에서 핵들이 무작위하게 서로 접근하는 상황일 때 단면적은 계산을 간결하게 한다. 여기서는 가벼운 핵들로 응축된 별에서 핵융합으로 더 무거운 핵을 만들어가는 과정에서 열적평형상태의 구성 핵들이 얼마나 효율적으로 융합을 하는가를 알아본다.

오른쪽 그림처럼 서로 융합 가능한 두 종류의 융합가능한 핵 A와 B가 $n_A$, $n_B$의 밀도로 혼합되어 있는 플라스마 상태를 생각해 보자. A는 주변에 있는 B를 만나게 되면 융합을 할 가능성이 있다. 둘의 상대속도가 $v$라면 A 하나가 $\Delta t$ 시간에 B와 반응하는 횟수는 그림에서 처럼 이의 단면적이 만드는 원기둥에 포함된 B 핵의 수와 같다. 이의 부피는 $\sigma v \Delta t$이므로 반응횟수는 $n_B \sigma v \Delta t$이다. 따라서 단위시간 당 A 핵 하나의 반응횟수는 \[ \lambda = n_B ~\sigma(v)~ v \] 이 된다. $\sigma$는 $E$나 $v$의 함수로 $\sigma(v)$처럼 이를 명확히 나타내었다. 단위체적에는 $n_A$ 개의 A가 있으므로 단위체적, 단위시간에 대해 핵융합이 일어나는 횟수(열핵 반응률)는 \[ \begin{equation} \label{eq1} R_{\text{reaction}} = n_A n_B \langle \sigma v \rangle \end{equation} \] 이다. 여기서 $\langle \cdots \rangle$은 각 핵의 열적인 운동에 대해 평균을 취한 것이다. 앞서 구한 핵융합의 단면적($\sigma(E)$)과 맥스웰 분포함수(맥스웰-볼츠만 속력분포함수)를 이용해서 약간의 계산절차를 거치면, \[ \begin{equation} \label{eq2} \begin{split} \langle \sigma v \rangle & =& \sqrt{\frac{8}{\pi m (kT)^3}} \int_0^\infty \sigma(E) E \exp \left( -\frac{E}{kT} \right) dE \\ & =& \sqrt{\frac{8}{\pi m (kT)^3}} \int_0^\infty \exp \left( -\sqrt{\frac{E_G}{E}} \right) \exp \left( -\frac{E}{kT} \right) S(E) dE \end{split} \end{equation} \] 이 식에서의 $\exp \left( -\sqrt{\frac{E_G}{E}}\right)$는 $E$에 대해 증가하는 함수이고 $\exp \left( -\frac{E}{kT} \right)$는 감소하는 함수로 적분함수는 특정한 $E$에서 최댓값을 가진다.

아래 그림은 적분함수의 그래프로서 변화가 완만한 $S(E)$를 제외한 것이다. 이 예는 양성자-양성자 순환과정의 첫 단계로서 반응이 일어나는 관문이 가장 높은 ${^{1}\mathrm{H}}+{^{1}\mathrm{H}}\rightarrow {^{2}\mathrm{D}}+\mathrm{e}^+ +\nu$ 의 반응(pp 반응)에 해당하는 것이다. 1,600 만도의 온도($kT=1.38 \text{keV}$)는 태양의 중심온도이다.

위 그림에서 $E_0$는 핵융합이 가장 활발하게 일어나는 에너지로 이를 가모브 피크(Gamow peak)라고 한다. 적분함수의 그래프를 보면 $E_0$를 중심으로 한 가우스 함수와 닮아 있는 것을 알 수 있다. 적분가능하게 하기 위해서 적분함수를 가우스 함수로 근사시키자. 이를 위해 우선 적분 함수 $\exp[-f(E)]$의 $f(E)$를 2차함수로 전개한다. 즉, \[ f(E) = \sqrt{\frac{E_G}{E}} + \frac{E}{kT} \] 의 최솟값이 $E = E_0$이므로 \[ E_0 = \left[ \frac{E_G (kT)^2}{4} \right]^{1/3}, ~~~ f(E_0) = 3 \left( \frac{E_G}{4kT} \right)^{1/3} \] 이 된다. 이제 $f(E)$를 $E_0$의 주변으로 2차까지 테일러 급수전개하면 \[ f(E) = f(E_0) + \frac{1}{2} \left. \frac{d^2f}{dE^2}\right|_{E_0} (E-E_0)^2 \] 이다. 이를 $\exp$ 함수에 반영하면 (2) 식은 가우스 함수에 대한 적분으로 될 것이다. 단 $S(E)$는 $E_0$를 중심으로 크게 변하지 않기 때문에 이를 $S(E_0)$의 고정값으로 두어도 크게 무리가 없다. 이제 가우스 함수로 본 표준편차는 \[ \Delta_E =\left[ \left. \frac{d^2f}{dE^2} \right|_{E_0} \right]^{-1/2} = \frac{2^{1/6}}{3^{1/2}} E_G^{1/6} (kT)^{5/6} \] 이다. 적분영역을 $-\infty$ 부터로 확장해도 결과에 크게 영향을 주지 않는다. 이렇게 해서 약간의 계산을 거치면, \[ \begin{equation} \label{eq5} {\large \boxed{ \langle \sigma v \rangle = \left( \frac{2^{13/6}}{3^{1/2}} \right) \frac{S(E_0) E_G^{1/6}}{m^{1/2} (kT)^{2/3} } \exp \left[ -3 \left( \frac{E_G}{4kT} \right)^{1/3} \right] }} \end{equation} \] 으로 정리된다. $E_0$가 $T$에 의존하므로 $S(E_0)$ 역시 온도의 함수이기도 하지만 $S$가 완만한 함수이므로 이 식에서 명시적으로 나타난 $T$의 의존성이 지배적이라 할 수 있다. 이를 다음과 같이 $T$의 멱급수로 근사시키면, \[ \begin{equation} \label{eq6} \langle \sigma v \rangle \propto T^\nu, ~~~ \nu = -\frac{2}{3} + \left( \frac{E_G}{4kT} \right)^{1/3} \end{equation} \] 이다. 예를 들어 앞서 그래프로 보인 pp 반응의 조건이라면 $\nu \approx 3.8$ 정도 되어 온도가 증가하면 거의 $T^4$으로 급하게 증가하는 것을 알 수 있다.

[질문1] $\langle \sigma v \rangle$를 계산하는 (2) 식을 검증하라. 이때 반응에 관여하는 두 핵의 속도 $\vec{v}_A$와 $\vec{v}_B$에 대한 속도분포함수를 각각의 속도에 대해 적분하되 이들 적분을 다시 질량중심의 속도와 상대속도에 대한 적분으로 변환해서 정리해야 한다.

[질문2] 태양의 중심에서 일어나는 핵융합과정인 양성자-양성자 순환과정에서 pp 반응이 가장 느린 반응이므로 결정적인 역할을 하게 된다. pp 반응에 관련된 여러 물리량들은 다음과 같다. $E_G = 493.5~ \text{keV}$, $T=1.6 \times 10^7 ~ \text{K}$, $S(E_0)=3.8\times 10^{-22} ~ \text{keV}$, $\rho=1.5 \times 10^{5} ~ \text{kg m}^{-3}$ 등이다.
(a) $E_G = 493.5 ~ \text{keV}$임을 확인하라.
(b) 이 반응에 대한 가모브 피크 $E_0$는 얼마인가?
(c) 태양 중심의 구성물질에서 질량비로 1/2 이 양성자라고 할 때 주어진 $\rho$로 부터 $n_p$를 구하라.
(d) \eqref{eq5}로 부터 $\langle \sigma v \rangle$를 구하라. 이때 $m$은 반응의 환산질량을 이용해야 함을 유의해야 한다.
(e) \eqref{eq1} 식은 동일한 원자핵이 관여하는 경우에는 \[ R_\text{reaction} = \frac{n_A^2}{2} \langle \sigma v \rangle \] 로 바뀌어야 한다. 이 이유를 설명하라. 또한 이로부터 $R_\text{pp}$을 계산하라.
(f) $R_{\text{pp}}$은 단위체적, 단위시간 당 pp 반응이 일어나는 숫자이다. 한 반응이 일어나면 2개의 양성자가 사라지므로 그 수명은 $\tau \approx n_p/2 R_{\text{pp}}$으로 볼 수 있다. 이로부터 태양 내부의 양성자의 평균수명을 계산하라.
(g) 이 반응에 대해 \eqref{eq6} 식에서의 $\nu$가 $\approx 3.8~$임을 확인하라.

[질문3] CNO 순환과정에서의 관문은 ${^{1}\mathrm{H}}+{^{14}\mathrm{N}}\rightarrow {^{15}\mathrm{O}}+\gamma$ 이다. 이들 핵의 데이터를 이용해서 $E_G~$를 구하라. 이러한 반응이 $T=2.5 \times 10^7 ~ \text{K}$에서 일어난다고 할 때 $E_0~$와 \eqref{eq6} 식에서의 $\nu$를 구하라.

_ 맥스웰 분포함수_ 질량중심_ 플라스마_ 환산질량_ 평균수명_ 양성자_ 온도