핵융합

핵융합

열핵 반응률

별에서의 핵융합 - 고온 플라스마 상태에서의 핵융합

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단면적과 융합반응_ 두 종류의 핵이 혼재하여 있고, 이들의 융합 단면적이 $\sigma$ 이다. $\Delta t$ 시간에 한 핵은 다른 종류의 핵에 대해 상대속도 $v$ 로 이동하고 있어 이의 단면적이 쓸고 지나간 체적에 있는 핵과는 융합반응을 한다.

앞서 두 핵이 상대속도 $v$ 로 서로 다가갈 때 융합이 일어나는 단면적을 계산했다. 단면적은 두 핵이 이 범위로 서로 스칠 때는 반드시 융합을 한다고 보는 면적이다. 실제로는 단면적의 범위 바깥으로 접근해도 융합을 할 확률이 있을 수 있고, 또한 단면적의 범위내로 접근해도 확률이 1은 아니다. 그러나 많은 핵이 덩어리진 물질에 다른 핵이 충돌하거나 많은 핵이 혼재된 플라스마 상태에서 핵들이 무작위하게 서로 접근하는 상황일 때 단면적은 계산을 간결하게 한다. 여기서는 가벼운 핵들로 응축된 별에서 핵융합으로 더 무거운 핵을 만들어가는 과정에서 열적평형상태의 구성 핵들이 얼마나 효율적으로 융합을 하는가를 알아본다.

오른쪽 그림처럼 서로 융합 가능한 두 종류의 융합가능한 핵 A와 B가 $n_A$ , $n_B$ 의 밀도로 혼합되어 있는 플라스마 상태를 생각해 보자. A는 주변에 있는 B를 만나게 되면 융합을 할 가능성이 있다. 둘의 상대속도가 $v$ 라면 A 하나가 $\Delta t$ 시간에 B와 반응하는 횟수는 그림에서 처럼 이의 단면적이 만드는 원기둥에 포함된 B 핵의 수와 같다. 이의 부피는 $\sigma v \Delta t$ 이므로 반응횟수는 $n_B \sigma v \Delta t$ 이다. 따라서 단위시간 당 A 핵 하나의 반응횟수는

λ = n_{B} σ (v) v

$\lambda = n_B ~\sigma(v)~ v$ 이 된다.

σ

$\sigma$ 는

E

$E$ 나

v

$v$ 의 함수로

σ (v)

$\sigma(v)$ 처럼 이를 명확히 나타내었다. 단위체적에는

n_{A}

$n_A$ 개의 A가 있으므로 단위체적, 단위시간에 대해 핵융합이 일어나는 횟수(열핵 반응률)는

\begin{matrix} (1) & R_{reaction} = n_{A} n_{B} ⟨ σ v ⟩ \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq1} R_{\text{reaction}} = n_A n_B \langle \sigma v \rangle \end{equation}$ 이다. 여기서

⟨ \dots ⟩

$\langle \cdots \rangle$ 은 각 핵의 열적인 운동에 대해 평균을 취한 것이다. 앞서 구한 핵융합의 단면적(

σ (E)

$\sigma(E)$ )과 맥스웰 분포함수(맥스웰-볼츠만 속력분포함수)를 이용해서 약간의 계산절차를 거치면,

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} ⟨ σ v ⟩ & = & \sqrt{\frac{8}{π m (k T)^{3}}} \int_{0}^{\infty} σ (E) E \exp (- \frac{E}{k T}) d E \\ = & \sqrt{\frac{8}{π m (k T)^{3}}} \int_{0}^{\infty} \exp (- \sqrt{\frac{E_{G}}{E}}) \exp (- \frac{E}{k T}) S (E) d E \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq2} \begin{split} \langle \sigma v \rangle & =& \sqrt{\frac{8}{\pi m (kT)^3}} \int_0^\infty \sigma(E) E \exp \left( -\frac{E}{kT} \right) dE \\ & =& \sqrt{\frac{8}{\pi m (kT)^3}} \int_0^\infty \exp \left( -\sqrt{\frac{E_G}{E}} \right) \exp \left( -\frac{E}{kT} \right) S(E) dE \end{split} \end{equation}$ 이 식에서의

\exp (- \sqrt{\frac{E_{G}}{E}})

$\exp \left( -\sqrt{\frac{E_G}{E}}\right)$ 는

E

$E$ 에 대해 증가하는 함수이고

\exp (- \frac{E}{k T})

$\exp \left( -\frac{E}{kT} \right)$ 는 감소하는 함수로 적분함수는 특정한

E

$E$ 에서 최댓값을 가진다.

아래 그림은 적분함수의 그래프로서 변화가 완만한 $S(E)$ 를 제외한 것이다. 이 예는 양성자-양성자 순환과정의 첫 단계로서 반응이 일어나는 관문이 가장 높은 ${^{1}\mathrm{H}}+{^{1}\mathrm{H}}\rightarrow {^{2}\mathrm{D}}+\mathrm{e}^+ +\nu$ 의 반응(pp 반응)에 해당하는 것이다. 1,600 만도의 온도( $kT=1.38 \text{keV}$ )는 태양의 중심온도이다.

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융합특성함수의 에너지 의존성_ $\exp \left( -\sqrt{\frac{E_G}{E}} \right)$ 과 $\exp \left( -\frac{E}{kT} \right)$ 두 함수와 이의 곱의 그래프이다. 두 함수의 곱은 500,000 배로 하여 푸른색으로 나타내었다. 이 예시는 대체로 pp 반응에 대한 것으로 온도는 태양의 중심온도인 $1.6 \times 10^7 \text{K}$ 에 대한 것이다(굵은 푸른색). 또한 $E_G$ 도 pp 반응에 대한 값으로 493.5 keV으로 두었다. 비교를 위해서 $1.5 \times 10^7 \text{K}$ 와 $1.7 \times 10^7 \text{K}$ 에 대한 것을 같이 나타내었다(가는 푸른색). 온도가 올라가면 전체적으로 오른쪽으로 이동하면서 (노란색으로 표시한) 면적은 빠르게 커진다.

위 그림에서 $E_0$ 는 핵융합이 가장 활발하게 일어나는 에너지로 이를 가모브 피크(Gamow peak)라고 한다. 적분함수의 그래프를 보면 $E_0$ 를 중심으로 한 가우스 함수와 닮아 있는 것을 알 수 있다. 적분가능하게 하기 위해서 적분함수를 가우스 함수로 근사시키자. 이를 위해 우선 적분 함수 $\exp[-f(E)]$ 의 $f(E)$ 를 2차함수로 전개한다. 즉,

f (E) = \sqrt{\frac{E_{G}}{E}} + \frac{E}{k T}

$f(E) = \sqrt{\frac{E_G}{E}} + \frac{E}{kT}$ 의 최솟값이

E = E_{0}

$E = E_0$ 이므로

E_{0} = {[\frac{E_{G} (k T)^{2}}{4}]}^{1 / 3}, f (E_{0}) = 3 {(\frac{E_{G}}{4 k T})}^{1 / 3}

$E_0 = \left[ \frac{E_G (kT)^2}{4} \right]^{1/3}, ~~~ f(E_0) = 3 \left( \frac{E_G}{4kT} \right)^{1/3}$ 이 된다. 이제

f (E)

$f(E)$ 를

E_{0}

$E_0$ 의 주변으로 2차까지 테일러 급수전개하면

f (E) = f (E_{0}) + \frac{1}{2} {\frac{d^{2} f}{d E^{2}} |}_{E_{0}} (E - E_{0})^{2}

$f(E) = f(E_0) + \frac{1}{2} \left. \frac{d^2f}{dE^2}\right|_{E_0} (E-E_0)^2$ 이다. 이를

\exp

$\exp$ 함수에 반영하면 (2) 식은 가우스 함수에 대한 적분으로 될 것이다. 단

S (E)

$S(E)$ 는

E_{0}

$E_0$ 를 중심으로 크게 변하지 않기 때문에 이를

S (E_{0})

$S(E_0)$ 의 고정값으로 두어도 크게 무리가 없다. 이제 가우스 함수로 본 표준편차는

Δ_{E} = {[{\frac{d^{2} f}{d E^{2}} |}_{E_{0}}]}^{- 1 / 2} = \frac{2^{1 / 6}}{3^{1 / 2}} E_{G}^{1 / 6} (k T)^{5 / 6}

$\Delta_E =\left[ \left. \frac{d^2f}{dE^2} \right|_{E_0} \right]^{-1/2} = \frac{2^{1/6}}{3^{1/2}} E_G^{1/6} (kT)^{5/6}$ 이다. 적분영역을

- \infty

$-\infty$ 부터로 확장해도 결과에 크게 영향을 주지 않는다. 이렇게 해서 약간의 계산을 거치면,

\begin{matrix} (3) & ⟨ σ v ⟩ = (\frac{2^{13 / 6}}{3^{1 / 2}}) \frac{S (E_{0}) E_{G}^{1 / 6}}{m^{1 / 2} (k T)^{2 / 3}} \exp [- 3 {(\frac{E_{G}}{4 k T})}^{1 / 3}] \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq5} {\large \boxed{ \langle \sigma v \rangle = \left( \frac{2^{13/6}}{3^{1/2}} \right) \frac{S(E_0) E_G^{1/6}}{m^{1/2} (kT)^{2/3} } \exp \left[ -3 \left( \frac{E_G}{4kT} \right)^{1/3} \right] }} \end{equation}$ 으로 정리된다.

E_{0}

$E_0$ 가

T

$T$ 에 의존하므로

S (E_{0})

$S(E_0)$ 역시 온도의 함수이기도 하지만

S

$S$ 가 완만한 함수이므로 이 식에서 명시적으로 나타난

T

$T$ 의 의존성이 지배적이라 할 수 있다. 이를 다음과 같이

T

$T$ 의 멱급수로 근사시키면,

\begin{matrix} (4) & ⟨ σ v ⟩ \propto T^{ν}, ν = - \frac{2}{3} + {(\frac{E_{G}}{4 k T})}^{1 / 3} \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq6} \langle \sigma v \rangle \propto T^\nu, ~~~ \nu = -\frac{2}{3} + \left( \frac{E_G}{4kT} \right)^{1/3} \end{equation}$ 이다. 예를 들어 앞서 그래프로 보인 pp 반응의 조건이라면

ν \approx 3.8

$\nu \approx 3.8$ 정도 되어 온도가 증가하면 거의

T^{4}

$T^4$ 으로 급하게 증가하는 것을 알 수 있다.

[질문1] $\langle \sigma v \rangle$ 를 계산하는 (2) 식을 검증하라. 이때 반응에 관여하는 두 핵의 속도 $\vec{v}_A$ 와 $\vec{v}_B$ 에 대한 속도분포함수를 각각의 속도에 대해 적분하되 이들 적분을 다시 질량중심의 속도와 상대속도에 대한 적분으로 변환해서 정리해야 한다.

[질문2] 태양의 중심에서 일어나는 핵융합과정인 양성자-양성자 순환과정에서 pp 반응이 가장 느린 반응이므로 결정적인 역할을 하게 된다. pp 반응에 관련된 여러 물리량들은 다음과 같다. $E_G = 493.5~ \text{keV}$ , $T=1.6 \times 10^7 ~ \text{K}$ , $S(E_0)=3.8\times 10^{-22} ~ \text{keV}$ , $\rho=1.5 \times 10^{5} ~ \text{kg m}^{-3}$ 등이다.
(a) $E_G = 493.5 ~ \text{keV}$ 임을 확인하라.
(b) 이 반응에 대한 가모브 피크 $E_0$ 는 얼마인가?
(c) 태양 중심의 구성물질에서 질량비로 1/2 이 양성자라고 할 때 주어진 $\rho$ 로 부터 $n_p$ 를 구하라.
(d) $\eqref{eq5}$ 로 부터 $\langle \sigma v \rangle$ 를 구하라. 이때 $m$ 은 반응의 환산질량을 이용해야 함을 유의해야 한다.
(e) $\eqref{eq1}$ 식은 동일한 원자핵이 관여하는 경우에는

R_{reaction} = \frac{n_{A}^{2}}{2} ⟨ σ v ⟩

$R_\text{reaction} = \frac{n_A^2}{2} \langle \sigma v \rangle$ 로 바뀌어야 한다. 이 이유를 설명하라. 또한 이로부터

R_{pp}

$R_\text{pp}$ 을 계산하라.
(f)

R_{pp}

$R_{\text{pp}}$ 은 단위체적, 단위시간 당 pp 반응이 일어나는 숫자이다. 한 반응이 일어나면 2개의 양성자가 사라지므로 그 수명은

τ \approx n_{p} / 2 R_{pp}

$\tau \approx n_p/2 R_{\text{pp}}$ 으로 볼 수 있다. 이로부터 태양 내부의 양성자의 평균수명을 계산하라.
(g) 이 반응에 대해

(4)

$\eqref{eq6}$ 식에서의

ν

$\nu$ 가

\approx 3.8

$\approx 3.8~$ 임을 확인하라.

[질문3] CNO 순환과정에서의 관문은 ${^{1}\mathrm{H}}+{^{14}\mathrm{N}}\rightarrow {^{15}\mathrm{O}}+\gamma$ 이다. 이들 핵의 데이터를 이용해서 $E_G~$ 를 구하라. 이러한 반응이 $T=2.5 \times 10^7 ~ \text{K}$ 에서 일어난다고 할 때 $E_0~$ 와 $\eqref{eq6}$ 식에서의 $\nu$ 를 구하라.

_ 맥스웰 분포함수_ 질량중심_ 플라스마_ 환산질량_ 평균수명_ 양성자_ 온도