핵발전

토카막

핵융합 반응이 일어나기 위해서 연료는 수백만도 이상의 높은 온도로 유지되어야 한다. 이러한 고온의 상태를 플라스마(plasma)라고 하는 데 이는 비록 기체상태이기는 하나 고온으로 인하여 고도로 전리되어 있어 그 행동이 기체와는 확연히 다르기 때문에 고체, 액체, 기체와 더불어 물질의 네 번째 상태로 일컫기도 한다. 플라스마는 전체적으로 중성이지만 양과 음이온이 혼재되어 있어 스스로에 의해 만들어지는 전기, 자기장과 외부의 장에 의해 특이한 행동을 하게 된다.

플라스마를 허공에 가두어 두기 위한 방법으로서 연구되는 것 중의 하나로 토카막(tokamak)이 있다. 토카막은 다음 그림에 나타낸 것처럼 도넛 모양에 강력한 자기장이 걸리게 하여 그 속에 플라스마를 가두어 두게 된다.

도넛 모양을 감싸 흐르는 $B_p$와 내부를 흐르는 $B_t$의 합성 자기장 $B_{net}$는 위 그림처럼 나선모양이 되고 이 속에서 플라스마는 도넛 내부에 구속된다.

photo DIII-D 토카막_ 미국 캘리포니아 주에 있는 Genaral Atomics의 토카막으로서 도넛 형의 자기장으로 고온의 플라스마를 가두게 된다.

photo DIII-D 토카막의 모형도_ 왼편의 사람으로부터 그 크기를 짐작할 수 있다.

이 토카막 속에서 융합을 실현하는 연구는 오랫동안 세계 도처에서 계속되었지만 아직까지 성공하지 못했다. 그러나 이를 이용한 발전이 성공한다면 앞으로의 에너지 문제는 일거에 해결되므로 막대한 돈을 들여 연구를 지속하고 있다. 각 국가가 개별적으로 연구하기도 하지만 여러 나라가 인력, 재정적으로 힘을 합해서 공동개발하는 프로젝트가 시작되었는 데 그중 하나가 국제열핵융합실험로(ITER, International Thermonuclear Experimental Reactor)이다. 이는 한국을 비롯하여 유럽연합, 일본, 미국, 중국 등의 나라에서 협력하여 개발하고 있는 토카막 실험으로서 프랑스에 건설 예정이다.

[질문1] ITER의 지금 현재의 연구진행사항을 조사하라.

_ 핵융합_ 음이온_ 자기장_ 고체_ 온도_ 진동_ 액체

로손의 기준

토카막 등에서 연료를 고온으로 가두어 두기 위해 공급해야 하는 에너지보다 융합에서 발생되는 에너지가 더 커야 실질적으로 에너지를 생산할 수 있을 것이다. 처음에 플라스마를 외부에서 가열하여 온도가 올라가면 핵융합이 점점 잘 일어나게 되면서 이로부터 발생되는 에너지가 스스로를 더 데울 수 있게 된다. 그리고 어떤 시점부터는 외부의 에너지 공급 없이도 핵융합이 이루어지게 되는 데 이는 마치 나무나 석탄 등을 데울 때 스스로 불타는 조건이 되면 비로소 점화(ignition)되는 것과 비슷하다. 핵융합에서의 이러한 점화의 조건을 1955년 로손(J. D. Lawson)이 제안하여 이를 로손의 기준(Lawson criterion)이라 한다.

D-T 반응을 고려해 보자. 이 반응의 Q값 17.6MeV 중에서 He이 20%인 3.5MeV를, n이 80%인 14.1MeV를 가지게 된다. 플라스마에서의 D와 T의 혼합물의 농도를 $n_D$, $n_T$라 한다면 \[ n_D + n_T = n_e = n \] 이다. 여기서 $n_e$는 전자의 농도로서 D와 T가 각각 1개의 전자를 플라스마에 기여하기 때문이다. 전자의 농도는 중수소와 삼중수소를 합한 농도와 같은데 이를 $n$이라 하자. 한편, 앞서 '열핵 반응률'에서 알아본 것처럼 단위부피에서 단위시간당 융합이 일어나는 횟수는 다음과 같다. \[ R_{\text{reaction}} = n_D n_T \langle \sigma v \rangle \] $\tau$ 초만큼 플라스마가 가두어진 상태를 지속할 수 있다고 하자. 이 시간 동안 핵융합으로 방출되는 에너지 중에서 플라스마를 데우는 데 이용되는 부분은 \[ E_\text{fus} = n_D n_T \langle \sigma v \rangle Q_\text{He} \tau \] 이다. 여기서 $Q$ 대신에 $Q_\text{He}$를 쓴 것은 실제로 플라스마를 가열하는 데에는 전하가 있는³He만이 기여를 하고, 중성자는 플라스마 바깥은 빠져나가기 때문이다. $Q_\text{He}$는 3.5MeV이다. $E_\text{fus}$이 플라스마의 열적 내부에너지 $E_\text{th}$ 보다 크다면 융합이 지속될 수 있을 것이다. 플라스마 내부에는 단위부피당 중수소, 삼중수소, 전자를 모두 합하면 $2n$개가 있고 각 입자당 $\frac{3}{2}kT$의 평균에너지를 가지므로 $E_\text{th} = 3nkT$ 이다. 또한 중수소와 삼중수소의 밀도가 같은 조건에서 융합이 최적으로 일어나므로 $n_D=n_T=\frac{1}{2}n$의 조건을 써서 융합이 지속되는 조건을 정리하면, \[ \begin{equation} \label{Lawson} n\tau \gt \frac{12kT}{\langle \sigma v \rangle Q_\text{He}} \end{equation} \] 이 된다. 이것이 바로 로손의 기준으로 점화가 일어나는 조건이다.

\eqref{Lawson} 식은 핵융합이 스스로 일어나기 위해서는 연료의 밀도($n$)와 연료의 가둠시간($\tau$)의 곱이 어떤 일정한 값 이상이 되어야 하는 것을 뜻한다. 특정한 융합반응에서 $\langle \sigma v \rangle$이 거의 온도에만 의존하므로 이 기준값도 온도에 의존한다. 예를 들어 D-T 반응에서 핵연료의 밀도를 $n=10^{20}\text{m}^{-3}$으로 유지한다고 하자. $kT = 1 \text{keV}$의 온도라면 $\langle \sigma v \rangle$이 $10^{-27}\text{m}^3\text{s}^{-1}$ 이므로 가둠시간($\tau$)은 $10^4\text{s}$ 정도 된다. 그러나 $kT = 20 \text{keV}$의 온도에서는 $\langle \sigma v \rangle$이 $4.5\times 10^{-22}\text{m}^3\text{s}^{-1}$로 극적으로 커져서 요구되는 가둠시간은 $1.5\text{s}$로 짧아진다.

오른편 그림은 로손의 기준을 D-T 반응과 D-D 반응, D-³He 반응에 대해 그린 것이다. 이로부터 가장 실현하기 쉬운 것은 D-T 반응인 것을 알 수 있다. 이 경우 최적의 온도는 25keV 정도이고, 이때의 $n\tau$는 $1.5\times 10^{20}\text{m}^{-3}\text{s}~$도 알 수 있다.

삼중곱의 조건 - 플라스마 압력과 가둠시간의 관계

D-T 반응의 경우 10 ~ 20 keV의 범위에서는 $\langle \sigma v \rangle$이 $T^2$에 비례하는 데 이에 따라 \eqref{Lawson}의 로손의 기준 양변의 $T$를 곱하면 오른편 항은 온도에 무관한 상수가 된다. 즉, \[ \begin{equation} \label{triple} n\tau T \gt \text{const} \end{equation} \] 으로 밀도, 가둠시간, 온도의 세 값의 삼중곱으로 조건을 정리한 실용적인 공식이다. 예를 들어 D-T 반응에서는 이 값은 $6\times 10^{20} \text{keVm}^{-3}$이다.

한편 밀도와 온도의 곱은 압력에 비례한다. 따라서 앞의 삼중곱으로 된 조건으로부터 플라스마의 압력($P_\text{plasma}$)과 가둠시간의 곱으로 조건을 쓸 수 있다. 즉 $P_\text{plasma} \tau$이 어떤 값 이상이어야 하는 데 이 기준값을 바(bar)x초(sec)로 해서 나타내기도 한다.

_ 열핵 반응률_ 내부에너지_ 삼중수소_ 핵융합_ 중성자_ 온도_ 전하