방사성붕괴법칙

에너지 너비

어떤 핵이 여러 가지 붕괴에 의해 다른 핵으로 변하는 것은 원래의 핵이 유한한 수명을 가지는 것을 말한다. 따라서 에너지-시간 불확정성 원리에 의해 이에 대응되는 에너지도 불확정도를 가진다. 이를 $\Gamma$라 한다면 $$\Gamma \Delta t \approx \hbar$$ 여기서 시간의 불확정도는 핵의 평균수명 $\tau$으로 볼 수 있기 때문에 $$\Gamma \approx \frac{\hbar}{\tau} = \hbar \lambda$$ 따라서 에너지는 이와 같은 폭을 가질 수 밖에 없다. 이와 같이 붕괴에 관여하는 핵의 에너지가 필연적으로 가지는 폭을 에너지 너비(energy width)라 한다.

에너지의 폭을 가지는 핵이 붕괴하게 된다.

이렇게 붕괴과정에서 에너지 너비를 가지는 것은 양자역학으로 보다 정교하게 해석할 수 있다. 보통 동위원소의 수명은 10^-16 초로부터 10¹⁶ 년에 걸쳐 있으나 핵 속에서 알파입자 등이 한 번 왕복하는 시간은 이보다 훨씬 짧은 10^-22 초인 것을 감안하면 동위원소는 비교적 안정된 양자상태를 유지한다고 볼 수 있다. 따라서 붕괴를 하는 핵도 거의 정상상태인 것으로 볼 수 있다. 에너지 고윳값 $E$인 상태의 파동함수는 $$\begin{equation} \label{eq1} \Psi(r, t) = \psi(r) e^{-i\frac{E}{\hbar} t} \end{equation}$$ 이다. 보통의 경우처럼 $E$가 실수값이면 파동함수 자체로는 시간에 따라 $E/\hbar$의 진동수로 복소공간을 회전하지만 확률밀도함수는 그대로이므로 시간이 아무리 흘러도 상태가 변하지 않는다. 그러나 붕괴하는 동위원소는 붕괴상수 $\lambda$로 붕괴하므로 처음($t=0$)의 확률밀도함수는 시간이 지남에 따라 다음과 같이 원래의 상태에서 지수함수로 감소해야 할 것이다. $$\begin{equation} \label{eq2} |\Psi(r, t)|^2 = |\Psi(r, 0)|^2 e^{-\lambda t} \end{equation}$$ $\eqref{eq1}$ 식의 형태의 파동함수로부터 이러한 상황을 만들기 위해서는 에너지 고윳값 $E$가 복소수라고 가정하는 방법이 있다. 즉 $\eqref{eq1}$을 $\eqref{eq2}$에 대입하면, $$E = E_0 - \frac{1}{2}i\hbar \lambda$$ 볼 수 있다. 여기서 $E$의 실수 성분이 $E_0$이고, 앞서 불확정성 원리로부터 추정한 에너지 폭 $\Gamma$ 정도의 허수 성분을 가지는 것을 알 수 있다. 이제 $\eqref{eq1}$은 $$\Psi(r, t) = \psi(r) e^{-i\frac{E_0}{\hbar} t - \frac{\lambda}{2} t }$$ 이다. 실제로 에너지 고윳값은 실수이어야 하므로 이것은 정상상태가 아니다. 그러나 어떤 상태이든지 정상상태를 적절하게 중첩한 것으로 표현할 수 있으므로 이것도 그렇게 해석할 수 있다. 따라서 $E_0$의 고유상태 주변 에너지를 가지는 상태들을 중첩시키는 것으로 보면, $$\Psi(r, t) = \psi (r) \int^{\infty}_{-\infty} A(W) e^{-i \frac{W}{\hbar} t} dW$$ 이다. 여기서 $A(W)$는 각각의 상태가 중첩된 진폭을 나타낸다. 공간함수 $\psi(r)$도 $\psi_W(r)$처럼 분간해서 다루어야 하지만 여기서는 간편을 기하기 위해서 시간 부분만 주목한다. $$e^{-\lambda t/2} = \int^{\infty}_{-\infty} A(W) e^{-i \frac{W-E_0}{\hbar} t} dW$$ 이는 왼편의 지수형의 함수가 $A(W)$의 푸리에 변환인 것을 나타낸다. 따라서 이의 역변환관계로 부터 $A(W)$를 구할 수 있다. $$A(W) = \frac{1}{2\pi \hbar} \int^{\infty}_{0} e^{[i\frac{W-E_0}{\hbar} - \frac{\lambda}{2}]t'} dt' = \frac{i}{2\pi} \frac{1}{W-E_0 + i \hbar\lambda /2}$$ 이다. 여기서 붕괴는 $t=0$에서 시작된 것으로 보았다. 이제 $$\begin{equation} \label{eqfinal} {\large \boxed{ |A(W)|^2 = \frac{1}{4\pi^2} \frac{1}{(W-E_0)^2 + (\hbar\lambda/2)^2} } } \end{equation}$$ 이다. 이러한 에너지에 대한 함수는 로렌츠 분포(Lorentzian distribution)로 핵의 붕괴에 대한 확률분포이다. 즉, 붕괴가 일어나는 핵은 에너지가 $E_0$를 중심이고, 반값온폭(FWHM)값이 $\Gamma = \hbar\lambda$으로 하여 주변 상태들이 중첩된 것이다. 이처럼 불안정한 상태가 가지는 에너지의 분포관계를 브라이트 위그너 공식(Breit-Wigner's formula)라고 한다.

[질문1] 수소원자가 $2p$에서 $1s$로 전이하는 비율은 약 0.6 x 10⁹ sec^-1이다. 이에 대한 FWHM 값은 얼마인가. 방출되는 광자의 에너지에 대한 FWHM의 비율은 얼마인가? 또 파장 단위로의 선폭(line width)은 얼마쯤 될까?

_ 확률밀도함수_ 푸리에 변환_ 핵의 붕괴_ 동위원소_ 양자역학_ FWHM_ 파동함수_ 정상상태_ 반값온폭_ 진동수_ 복소수_ 고윳값_ 진폭_ 전이