방사성붕괴법칙

방사성붕괴법칙

방사성탄소 연대측정법

방사성붕괴는 확률적인 과정이지만 일반적으로 물질에 포함된 동위원소의 갯수가 매우 많으므로 붕괴에 의해 줄어드는 동위원소의 수나 이들이 내는 방사능은 지수함수적으로 줄어드는 등 정확하게 수식으로 예측되는 행동을 하게 된다. 더구나 붕괴의 확률은 핵의 상태로부터 정해지는 데 핵 자체가 온도나 압력 등 환경적인 요인의 영향을 거의 받지 않기 때문에 그 확률은 일정하게 유지된다. 이러한 성질을 이용하여 붕괴한 동위원소의 수나 방사능의 변화를 평가하여 경과된 시간을 계산하는 방사능 연대측정법(radiometric dating)이 유용하게 이용되고 있다.

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방사성 탄소로의 변화_ 대기의 질소가 우주선의 2차 생성물질인 중성자에 의해 방사성탄소로 변하는 과정. 이 과정에서 양성자 하나가 나오게 된다.

방사능 연대측정법은 이용하는 동위원소에 따라 매우 다양한데, 특히 선사시대나 역사시대의 인류의 유적을 조사하는 데는 널리 쓰이는 $^{14}_{~~6}\mathrm{C}~$ 을 이용한 방사성탄소 연대측정법(carbon dating)을 알아본다.

하늘에서는 지구로 쉴 새 없이 양성자, 중성자, 중성미자, 뮤온 등 소립자나 원자핵들이 쏟아지고 있다. 이들을 모두 우주선(cosmic ray)이라 한다. 이들은 대기의 원자핵을 분열시켜 여러 종류의 이차 입자를 생성시킨다. 그들 이차 입자 중에 중성자는 다음과 같이 질소와 반응하여 방사성탄소와 양성자를 생성시킨다.

_{7}^{14} N +_{0}^{1} n ⟶_{6}^{14} C +_{1}^{1} p

$^{14}_{~~7}\mathrm{N} ~+~ ^1_0 n ~\longrightarrow ~ {^{14}_{~~6}\mathrm{C}} ~+~ ^{1}_{1}p$ 여기서의 양성자는 전자를 포획하여 수소원자가 되고, 중성자가 과다하게 포함되어 있는 탄소의 방사성동위원소는 반감기 5,730년의 베타붕괴를 통하여 질소가 된다.

_{6}^{14} C ⟶_{7}^{14} N + e^{-} + {\bar{ν}}_{e}

$^{14}_{~~6}\mathrm{C}~\longrightarrow ~{^{14}_{~~7}\mathrm{N}} ~+~ \mathrm{e}^- ~+~ \bar{\nu}_e$

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방사성탄소의 붕괴_ 방사성탄소가 다시 반감기 5,730년의 베타붕괴에 의해 질소로 변하면서 하나의 전자가 방출된다.

아래 그림은 우주선이 만든 중성자가 질소 $\text{N}_2~$ 의 한 $\text{N}$ 원자를 $^{14}\mathrm{C}~$ 의 원자로 바꾸어 $^{14}\mathrm{N}~$ 과 $^{14}\mathrm{C}~$ 로 분리시키고, 이 중 $^{14}\mathrm{C}~$ 가 산화하여 $^{14}\mathrm{CO}_2~$ (방사성이산화탄소)가 되는 것을 보여준다. 이렇게 생성된 방사성이산화탄소의 $^{14}\mathrm{C}$ 는 일정한 비율로 붕괴하지만 앞서 '동위원소의 생성과 붕괴'에서 살펴본대로 우주선에 의한 생성율과 결국 평형을 이룰 것이다. 방사성탄소 연대측정법은 이렇게 대기의 이산화탄소에서의 방사성이산화탄소의 비율이 계속해서 일정하게 유지한다는 것을 전제한다.

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방사성탄소 연대측정법_ 대기의 질소 분자 중 질소 원자핵 하나는 우주선에서 생성된 중성자에 의해 탄소의 방사성동위원소인¹⁴C로 바뀌고 이는 곧 산소와 결합하여 이산화탄소를 형성한다.¹⁴C는 5,730년의 반감기로 다시 질소로 돌아가지만 계속해서 우주선에 의해¹⁴C가 생성되므로 대기의¹²C와¹⁴C의 비는 일정한 평형상태를 유지한다. 식물은 계속해서 이산화탄소를 흡수하므로¹⁴C의 비는 대기와 같지만 이 식물이 죽으면 대기와의 탄소교류를 끝내게 되어¹⁴C 가 계속 줄어들게 된다. 그림에서는 보통의¹²C를 ■ 색으로,¹⁴C를 ■ 색으로 나타내었다.

녹색식물은 광합성에 의해 물과 이산화탄소를 탄수화물로 바꾸어 가지기 때문에 식물체는 속에 방사성탄소를 머금고 있다. 또한 동물들은 이 식물을 섭취하므로 모든 살아있는 생명체는 세포 속에 적은 양의 방사성탄소를 가지게 된다. 이 방사성탄소의 혼합은 매우 활발하여 살아있는 식물이나 동물은 보통의 탄소 $^{14}_{~~6}\mathrm{C}~$ 와 방사성탄소의 비율이 대기에서와 같이 유지된다.

생명체가 죽고 나서는 더 이상 대기의 탄소를 섭취하지 않게 되므로 그 속의 방사성탄소는 계속 붕괴에 의해 줄어들게 된다. 사체의 조직이 가지고 있는 방사성탄소의 양은 5,730년후에는 살아있을 때에 비해 반으로 줄게 되고 11,460년 후에는 사분의 일만 남게 될 것이다. 보통의 탄소와 방사성탄소의 비율을 조사하면 오래된 유기물체의 연대를 알 수 있게 된다. 미이라나 목재도구, 천, 가죽, 모닥불을 피운 재, 오래된 문화유적 등 12 반감기인 7만년 정도까지의 연대를 알아내게 된다.

[질문1] 살아있는 식물의 탄소의 방사능을 $\mathcal{A}_0~$ 이라 하자. 또한 어떤 유적 속에 포함된 같은 나뭇조각에서 나오는 같은 양의 탄소에 의한 방사능이 $\mathcal{A}~$ 이라면 그 나무가 죽은 때부터 지금까지 지난 시간이 다음과 같음을 보여라.

t = \frac{T_{1 / 2}}{\ln 2} \ln (\frac{A_{0}}{A}) \approx 8266.6 \ln (\frac{A_{0}}{A}) years

$t = \frac{T_{1/2}}{\ln2} \ln\left(\frac{\mathcal{A}_0}{\mathcal{A}}\right) \approx 8266.6 \ln\left(\frac{\mathcal{A}_0}{\mathcal{A}}\right)~\text{years}$ 여기서

T_{1 / 2}

$T_{1/2}$ 는

^{14} C

$^{14}\mathrm{C}~$ 의 반감기이다.

[질문2] 대기의 $^{12}\mathrm{C}$ 에 대한 $^{14}\mathrm{C}$ 의 성분 비율은 $1.2\times 10^{-12}$ 로 일정한 값을 유지한다. 어떤 고대유적에 포함된 탄소의 성분분석을 한 결과 $3.0\times 10^{-13}$ 이라고 하자. 이 고대유적의 매몰 연대는 지금으로부터 몇 년 전인가?

_ 방사성붕괴_ 동위원소_ 베타붕괴_ 중성미자_ 중성자_ 양성자_ 온도

지질학적 연대측정법

지구의 역사는 45억 년 정도이므로 지질학자들이 암석의 연대를 측정하는 데에는 방사성탄소보다 훨씬 긴 반감기를 갖는 방사성핵을 이용한다. 이러한 방법에 의해 가장 오래된 암석이 그린랜드에서 발견되었는 데 이는 38억 년 전에 생성되었다. 지구상의 암석뿐만 아니라 운석이나 달의 암석의 나이는 탄소의 경우와 비슷한 방법으로 그 연대를 측정한다.

지구의 지질학사에 상당하는 활동의 대부분은 지구에 포함되어 있는 방사성핵종의 붕괴로써 추적될 수 있다. 지구는 약 45억 년 전 태양주변을 돌고 있던 금속성인 철이나 규산염 광물질 등이 응집하여 형성된 것으로 생각되어지고 있다. 초기 지구의 내부에서는 방사능 때문에 생긴 열이 모여서 부분적으로 물질을 녹인다. 중력은 철을 지구 중심부로 옮겨서 핵을 형성시키고, 이 핵에 의한 전류로부터 지구자기장이 생겨났다. 보다 가벼운 광물질이 바깥쪽으로 모여 맨틀과 지각이 형성되었다. 지금은 지구의 방사능 대부분이 맨틀과 지각에 집중되어 이 때문에 생겨나는 열은 바깥으로 발산되므로 지구를 다시 녹이지는 못한다. 꾸준하게 방출되는 열은 화산활동이나 지진을 유발하고 또한 대륙을 형성시키는 큰 지각의 판을 이동시키기도 한다.

어미핵에 대한 딸핵의 비율로 생성연대를 측정한다.

^{14} C ⟶^{14} N + e [5, 730 year]

$^{14}\mathrm{C} ~\longrightarrow ~{^{14}\mathrm{N}} ~+~ \mathrm{e} ~~ [5,730 \text{year}]$

^{40} K + e ⟶^{40} A r [T_{1 / 2} = 1.3 \times 10^{9} year]

$^{40}\mathrm{K} ~+~ \mathrm{e} ~\longrightarrow ~{^{40}\mathrm{Ar}} ~~ [T_{1/2} = 1.3\times 10^9 \text{year}]$

^{238} U ⟼^{206} P b [4.5 \times 10^{9} year]

$^{238}\mathrm{U} ~\longmapsto ~{^{206}\mathrm{Pb}} ~~ [4.5\times 10^9 \text{year}]$

^{235} U ⟼^{207} P b [7.13 \times 10^{8} year]

$^{235}\mathrm{U} ~\longmapsto ~{^{207}\mathrm{Pb}} ~~ [7.13\times 10^8 \text{year}]$

\begin{matrix} (1) & ^{232} T h ⟼^{208} P b [1.41 \times 10^{10} year] \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq5} ^{232}\mathrm{Th} ~ \longmapsto ~{^{208}\mathrm{Pb}} ~~ [1.41\times 10^{10} \text{year}] \end{equation}$

이들 식에서 $\longmapsto$ 으로 나타낸 반응은 여러 번의 붕괴를 거칠 때의 처음 핵과 마지막 딸핵을 나타내고 있다. ('방사성 계열' 단원 참고)

위에 나타낸 붕괴반응들은 모두 이러한 연대측정에 쓰이는 것들이다. 예를 들어 처음에 존재하던 $A$ 가 존재하지 않던 $B$ 로 붕괴가 일어난다고 하자. 이 과정의 붕괴상수를 $\lambda$ 라 하면 $A$ 와 $B$ 의 두 핵종의 비율은 시간에 따라 다음과 같이 변할 것이다.

\frac{N_{B}}{N_{A}} = \frac{N_{A 0} (1 - e^{- λ t})}{N_{A 0} e^{- λ t}} = e^{λ t} - 1

$\frac{N_B}{N_A} = \frac{N_{A0} (1-e^{-\lambda t} )}{N_{A0} e^{-\lambda t}} = e^{\lambda t} - 1$ 따라서 채취한 시료에서 두 핵종의 조성비를 알게되면 경과된 시간을 알 수 있다.

지질학적 연대측정에 가장 많이 쓰이는 우라늄-납 연대측정법(uranium-lead dating)은 위에서 나타낸 $^{238}_{~~92}\mathrm{U}$ 과 $^{235}_{~~92}\mathrm{U}$ 를 병행해서 쓴다. 이들은 반감기가 길어서 백만년 이상 지구의 나이까지의 매우 긴 시간에 대해 측정할 수 있다. 예를 들어 지르콘 등 특별한 광물질은 이것이 암석화할 때 주변이 같이 있을 수 있는 납은 배제하고 우라늄만 결정구조 속에 가둔다. 결정 속에서 붕괴에 의해 생성되는 납은 결정 속에 머물게 되어 우라늄에 대한 납의 비율로부터 암석이 생성된 연대를 측정할 수 있다.

[질문1] $\eqref{eq5}$ 식은 $^{232}\mathrm{Th}$ 이 여섯 번의 알파붕괴를 거쳐서 ${^{208}\mathrm{Pb}}$ 이 되는 반응이다. 어떤 암석이 1 g의 $^{232}\mathrm{Th}$ 와 0.2 g의 ${^{208}\mathrm{Pb}}$ 를 포함하고 있다. 처음 암석이 만들어질 때는 ${^{208}\mathrm{Pb}}$ 이 포함되지 않았고 이는 전부 $^{232}\mathrm{Th}$ 이 방사성붕괴를 통해서 만들어졌다고 가정하자.
(a) 이 암석이 만들어진 나이를 계산하라.
(b) 이때 만들어진 여섯 개의 알파입자는 모두 헬륨이 되어서 암석 속에 갇혀 있다고 하자. 이 암석에 포함되어 있는 헬륨 원자는 몇 g 일까?

_ 결정_ 방사성 계열_ 방사성붕괴_ 결정구조_ 알파붕괴_ 전류_ 딸핵