방사성붕괴법칙

핵의 붕괴법칙과 생존곡선

방사성 동위원소가 붕괴하는 것은 마치 생명체가 죽는 것과 비슷하다. 살아있는 생명체는 언젠가는 수명을 다하게 되어 애초에 존재했던 개수에서 점차 줄어드는 것과 같이 동위원소도 앞에서 살펴보았던 방식으로 붕괴하면서 그 수가 점차 줄어들게 된다.

그러나 생명체와 동위원소는 그것이 죽거나 붕괴하는 특성이 달라서 수가 줄어드는 양상이 다르다. 한 동위원소가 붕괴할 확률은 그것이 생존한 기간이나 놓여 있는 환경의 영향을 받지 않고 오직 동일하게 주어진다. 따라서 개체수는 일정한 비율로 규칙적으로 줄어들어서 지수함수적인 감소하는 것이다.

그렇다면 생명체의 경우 어떤 붕괴(사멸)특성을 가지게 될까?

생명체는 우선 나이에 따라 붕괴확률이 달라진다. 사람의 경우에는 나이가 많아질수록 점차 노쇠해지고, 질병에 대한 적응력이 약해져서 죽을 확률이 커져서 수명이 100세를 넘기는 경우는 매우 드물다. 반면에 굴이나 성게 등은 매우 어렸을 때 대부분이 죽고, 생존기간이 길어지면 점차 죽을 확률이 줄어든다. 한편 산호나 다람쥐, 벌 등은 전 생애에 걸쳐서 죽을 확률이 비교적 일정하여 동위원소와 비슷한 양상을 보인다.

어떤 각 개체의 시간이 지남에 따라 생존해 있을 가능성을 그래프로 그린 것을 생존곡선(survivorship curve)라 한다. 아래 그림에서 보는 것처럼 생존곡선은 세 가지로 대별할 수 있는 데 사람의 경우는 I 유형, 산호나 벌 같은 경우는 II 유형, 그리고 굴이나 성게의 경우는 III 유형이라 한다.

graph

생존곡선_생존곡선의 세 가지 유형으로서 I 유형은 나이가 들수록 죽을 확률이 커지는 경우이고, II 유형은 나이에 죽을 확률이 크게 관계없는 경우이다. 반면에 III 유형은 어린 개체의 죽을 확률이 아주 크고, 나이가 들어갈수록 확률이 점차 줄어드는 경우이다. 여기서 세로축은 로그 눈금으로 하여 II 유형처럼 지수함수적으로 감소하는 경우가 직선으로 나타나 있다.


_ 동위원소

핵의 붕괴법칙 모의실험

아래 프로그램은 핵의 붕괴가 일어나는 양상을 알아볼 수 있는 모의실험이다. 아울러 나름대로의 붕괴(사멸)특성을 갖는 생명체의 경우에 대해서도 실험해 볼 수 있도록 하였다.

핵의 수는 200~1000개로 조절 할 수 있도록 하였고, '(재)시작' 버튼 을 누르면 시간이 흐르기 시작하여 핵이 붕괴하여 딸핵으로 변하게 된다. 시시각각 남아있는 어미핵의 개수를 주목해 보자. 언제나 나머지의 일정부분이 줄어드는 데는 거의 같은 시간이 걸리는 것을 모의실험을 통해 알 수 있다.

exp

핵의 붕괴법칙 모의실험_ 방사성동위원소는 각각이 정해진 붕괴확률로 붕괴를 한다. 확률은 아래쪽 왼편의 슬라이더로써 조절할 수 있는 데 '붕괴/사멸 지수'가 바로 초당 붕괴할 확률이다. 한편 개체수는 초기에 400으로 조절되어 있지만 선택도구를 통해서 변경할 수 있다. 개체수는 200, 400, 600, 800, 1000를 선택할 수 있다. 개체 수를 늘리면 정교한 붕괴 그래프를 만들 수 있다. 실제 물질을 구성하는 핵의 수는 아보가드로 수인 1023개 정도이므로 이 정도에서는 요동이 거의 없이 정확한 지수함수적인 감소의 양상을 그대로 보일 것이다. 조건을 변화시켜서 새롭게 시작시켜도 오른편의 그래프는 그대로 남아 있어 조건에 따른 붕괴양상의 변화를 비교해 볼 수 있다. 한편 핵의 붕괴 양상과 생명체의 붕괴양상을 비교해 볼 수 있도록 생명체 1과 생명체 2을 추가하였다. 생명체 1은 나이에 따라서 죽을 확률을 증가시키고 있어 일정한 시간 (거의 100~150초(년)이 되면 다 죽는다. 이러한 특성을 가진 생물은 사람을 비롯하여 포유류의 특성으로 알려져 있다. 또한 생명체 2는 개체의 수에 민감하게 의존해서 개체밀도가 높으면 사멸율이 높아진다. 따라서 이 경우에는 "L" 모양의 특성을 가진다. 실제의 생명체는 나이, 개체밀도, 먹이사슬구조, 무작위적인 사건 등에 의존할 것이다.

프로그램의 조건

1. 방사성동위원소의 경우: 각 개체는 일정한 확률로 붕괴하며, 붕괴/사멸지수는 1초당 붕괴할 확률이 된다.

2. 생명체1의 경우: 나이가 많아질수록 사멸확률이 급격하게 커진다. 붕괴/사멸지수는 그 확률이 커지는 경향을 대강 조절하여 이를 크게 하면 평균수명이 줄어들게 된다.

3. 생명체2의 경우: 사멸확률은 나이에 크게 상관하지 않으나 개체의 밀도가 높으면 사멸확률이 크다. 따라서 초기에는 매우 빠르게 줄어들게 된다. 이 경우에도 붕괴/사멸지수는 그 경향을 대강 조절하게 된다.

방사성동위원소 실험

1. 처음에 프로그램이 실행되면 '붕괴/사멸 지수'가 0.01인 200개의 방사성동위원소가 선택된다. 이제 '(재)실행'을 누르면 시간이 초 단위로 흘러가면서 붕괴가 시작된다. 이 과정에서 상당한 시간이 경과된 후 각각의 원소가 1/2, 1/4, ... 으로 되는 시간이 위 그래프에서 표시되는 데 이 시간들을 기록해 둔다.

2. '초기상태로' 버튼을 누른 후 위와 같은 실험을 반복수행하여 1/2, 1/4, ... 이 되는 시간을 기록한다. 이렇게 10조 이상의 데이터가 취득되면 이를 표로 만들어서 평균을 내고, 아울러 겹쳐진 그래프를 화면을 캡쳐한 것과 함께 보고서에 첨부한다.

3. 반씩으로 줄어드는 데 걸리는 시간의 평균값들에 어떤 규칙성이 있는지를 찾아보자. 그리고 이 결과를 이론적인 값인 반감기와 비교하라.

4. '붕괴/사멸지수'를 다르게 선택하여 1 ~ 3 의 절차로 실험을 반복한다.

5. '개체수'를 바꾸어 1 ~ 4 의 절차로 실험을 반복한다.

6. '생명체1' 과 '생명체2'의 경우에 대해서도 비슷하게 실험하여 '방사성동위원소'의 경우와 다른 특징들을 찾아보자.



[질문1] 많은 개체수로 실험한 것과 적은 수로 한 것의 본질적인 차이는 무엇인가? 이 분석을 통하여 방사성동위원소에 대해 아보가드로수 정도로 실험하면 그래프가 어떤 모양으로 그려지기를 기대하는가? '생명체1' 과 '생명체2'의 경우는 어떠할까?

[질문2] 방사성동위원소에 대해서 나이라는 개념을 부여할 수 있을까? '생명체1' 과 '생명체2'의 경우는 어떠할까?

[질문3] 방사성동위원소에 대해 붕괴/사멸지수는 1초당 붕괴할 확률이었고, 그래프의 가로축은 시간으로 초를 나타내었다. 만일 1년당 붕괴할 확률이었다면 가로축이 연(year)이 될까? 1초당 붕괴확률과 1년당 붕괴확률 사이의 변환관계는 어떻게 되는가?

[질문4] 생명체1의 경우 사람을 흉내내긴 했으나 결과가 실제의 사람과 다른 듯이 보인다. 사람의 수명을 결정짓는 요인들을 가급적 많이 생각해 보자. 그리고, 이를 프로그램하기 위한 알고리즘을 작성해 보자.

[질문5] 앞의 '생존곡선' 그래프에서 유형II의 히드라는 선형으로 개체수가 감소하였다. 이렇게 되기 위해서는 생존/사멸이 어떤 원리로 이루어졌을까?

[질문6] 생명체2는 거의 밀도에만 의존하게 프로그램 되어 있다. 이처럼 사멸확률이 오직 밀도에만 비례하게 주어진 생명체의 붕괴의 법칙에 대한 방정식을 세워보자. 그리고 이 방정식을 풀이하여 붕괴곡선(생존곡선)의 함수를 구하라.


_ 아보가드로 수_ 핵의 붕괴_ 어미핵_ 보일_ 딸핵


Copyright ⓒ 1999~2025 physica.gnu.ac.kr All rights reserved