방사성 계열

4개의 자연 방사성 계열

지구상에는 여러 가지 방사성 동위원소의 광물질이 발견되고 있다. 반감기가 긴 것뿐만 아니라 짧은 것도 발견되는 데 이들은 어떻게 아직까지 살아남은 것일까?

그들 중 칼륨의 동위원소 $^{40}\mathrm{K}$의 반감기는 $1.25\times 10^9$년, 우라늄의 동위원소 $^{238}\mathrm{U}$의 반감기는 $4.46\times 10^9$년이다. 이러한 동위원소는 지구의 나이에 비견할 수 있을 정도로 긴 반감기를 가지고 있어 지구가 생겨났을 때 만들어진 것이 다 붕괴하지 않고 아직 남아 있을 가능성이 있다. 그러나 이와 함께 반감기가 훨씬 적어 수년 이내인 동위원소도 발견되는 경우가 있다. 이는 C-14처럼 우주선에 의해 N-14로부터 계속해서 만들어 지는 것도 있지만 어떤 것은 반감기가 긴 동위원소가 계속해서 붕괴를 하는 중간 산물로서 존재하기도 한다.

우라늄(U)을 비롯하여 자연에서 발견되는 방사성 원소들은 거의가 4가지의 붕괴계열을 따라서 안정된 원자핵인 납(Pb)이나 비스무트(Bi)로 가게 된다. 이렇게 4가지로 나누어지는 이유는 알파붕괴를 거치는 경우 질량수($A$)가 4 감소하고 베타붕괴에서는 질량수가 변함이 없어서, 질량수가 4로 나눈 나머지가 얼마냐에 따라 다른 길을 가기 때문이다. 따라서 $A=4n$, $A=4n+1$, $A=4n+2$, $A=4n+3$ 의 네 가지 계열로 나누어지게 된다. 알파붕괴에서는 몫인 $n$의 값이 1 줄어들지만 베타붕괴나 역베타붕괴에서는 $n$이 변하지 않는다.

이 네 가지 계열은 출발 원자핵이나 붕괴의 중간 단계로부터 토륨 계열(thorium series), 넵투늄 계열(neptunium series), 우라늄 계열(uranium series), 악티늄 계열(actinium series)이라 불린다. 아래 그래프에 이들 각 계열에서 원자핵이 단계별로 변하는 것을 나타내었다. 어떤 경우에는 알파붕괴와 베타붕괴가 동시에 일어나서 가지가 둘로 나누어지기도 하는 데 토륨 계열중 비스무트(Bi)는 66.3%의 확률로 베타붕괴하고 나머지 확률로 알파붕괴를 하게 된다. 둘 다 그 다음 단계에서 순서를 바꾸므로 결국 납(Pb)으로 가게 된다.

위 표의 각각의 계열에 속하는 핵중에서 중간단계에 속하는 것은 그 반감기가 매우 짧은 것들이 많다. 특히 각 계열의 출발 어미핵은 반감기가 수억 년 이상으로 크고 중간단계의 핵들은 길어도 수천 년, 짧으면 수 분 정도로 어미핵에 비하여 상대적으로 짧은 반감기를 가지고 있다. 따라서 지구가 만들어지고 어느 정도 시간이 지난 지금의 시점에서는 중간단계의 핵이 그의 어미로부터 만들어지고, 또한 그 자신이 붕괴하여 없어지는 수가 같아서 거의 그 구성비가 변하지 않는 평형상태를 이루고 있다.

_ 방사성 동위원소_ 역베타붕괴_ 알파붕괴_ 어미핵_ 반감기_ 중성자

갈래 붕괴

자연 방사성붕괴의 예에서 보듯이 어떤 핵종은 하나 이상의 양식을 따라서 붕괴하는 경우가 있다. 이를 갈래 붕괴(branched decay)라 하는 데 예를 들어 U-238 계열의 $^{218}_{~~84}\mathrm{Po}$는 $^{214}_{~~82}\mathrm{Pb}$와 $^{218}_{~~85}\mathrm{At}$으로 각각 알파와 베타붕괴를 한다. 다른 예로서 U-235 계열(악티늄 계열)의 $^{227}_{~~89}\mathrm{Ac}$도 $^{223}_{~~87}\mathrm{Fr}$와 $^{227}_{~~90}\mathrm{Th}$으로 각각 알파와 베타붕괴를 한다.

어미핵이 $\alpha$와 $\beta$의 두 방식으로 붕괴한다고 하자. 각 방식으로 1초에 붕괴할 확률, 즉 붕괴상수가 $\lambda_\alpha$와 $\lambda_\beta$라면 전체의 붕괴상수는 \[ \boxed{~~ \lambda = \lambda_\alpha +\lambda_\beta ~~} \] 이다. 이때 갈래비(branching ratio)는 \[ \text{BR}_\alpha = \frac{\lambda_\alpha}{\lambda_\alpha+\lambda_\beta} \] \[ \text{BR}_\beta = \frac{\lambda_\beta}{\lambda_\alpha+\lambda_\beta} \] 으로 이는 어미핵이 한 과정으로 붕괴할 확률이다.

이렇게 두 갈래로 붕괴하는 경우 붕괴방정식은 \[ \frac{dN(t)}{dt} = -\lambda N(t) = -(\lambda_\alpha+\lambda_\beta) N(t) \] 이 되어 \[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} = N_0 e^{-\lambda_\alpha t}e^{-\lambda_\beta t} \] 이다. 그리고 평균수명은 \[ \tau = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda_\alpha+\lambda_\beta} \] 이다. 각각에 대한 평균수명으로 이를 나타내면, \[ \frac{1}{\tau} = \frac{1}{\tau_\alpha} + \frac{1}{\tau_\beta} \] 이다. 여기서 $\tau_\alpha$나 $\tau_\beta$는 각각의 붕괴만 일어난다고 가정했을 때의 평균수명으로 실제로 관찰되는 것은 아니고, 단지 갈래비나 붕괴이론으로부터 계산되는 양이다.

[질문1] U-238 계열의 Po-218의 갈래비는 알파붕괴가 99.980 %, 베타붕괴가 0.020 % 이다. 또한 이의 평균수명이 268 s 이다. 알파붕괴와 베타붕괴 각각의 붕괴상수와 평균수명은 얼마일까?

[질문2] U-235 계열의 Ac-227의 갈래비는 알파붕괴가 1.38 %, 베타붕괴가 98.62 % 이다. 또한 이의 평균수명이 31.41 년이다. 알파붕괴와 베타붕괴 각각의 붕괴상수와 평균수명은 얼마일까?

_ 방사성붕괴_ 붕괴상수_ 평균수명_ 알파붕괴_ 베타붕괴_ 어미핵