¾Õ¿¡¼ µµÀÔÇÑ ¸Æ½ºÀ£-º¼Ã÷¸¸(MB), º¸½º-¾ÆÀν´Å¸ÀÎ(BE), Æ丣¹Ì-µð·¢(FD)ÀÇ ¼¼ ºÐÆ÷ÇÔ¼ö´Â ÁÖ¾îÁø ¿Âµµ $T$¿Í $\alpha$¿¡ ´ëÇØ $\varepsilon$ÀÇ ¿¡³ÊÁö¸¦ °¡Áø »óÅ¿¡ ³õÀÏ »ó´ëÀûÀÎ È®·üÀ» ³ªÅ¸³½´Ù. $\alpha$´Â º¸Åë $T$ÀÇ ÇÔ¼ö·Î¼ °èÀÇ ¿¡³ÊÁö¿Í ÀÔÀÚ¼ö°¡ °íÁ¤µÇ¾î ÀÖ´Ù¸é Àüü È®·üÀÇ ÇÕÀÌ 1 ÀÌ µÇ°Ô ÇÏ´Â Á¶°Ç¿¡¼ Á¤ÇØÁø´Ù.
¾Æ·¡ ±×·¡ÇÁ´Â ÀÌµé ¼¼ ÇÔ¼öÀÇ ÇൿÀ» º¸ÀÌ´Â ±×·¡ÇÁ·Î¼ µ¿ÀÏÇÑ $T$¿Í $\alpha$¿¡¼ ¾ðÁ¦³ª BE, MB, FDÀÇ ¼øÀ¸·Î ¸ðµç ¿µ¿ª¿¡¼ ÇÔ¼ý°ªÀÌ Å©°Ô ÁÖ¾îÁø´Ù. ¶Ç, $\varepsilon \gg kT$ÀÎ ±ØÇÑ¿¡¼´Â ¸ðµÎ MB¿¡ Á¢±ÙÇÏ¿© °íÀüÀûÀÎ °Åµ¿À» º¸ÀÌ´Â °ÍÀ» ¾Ë ¼ö ÀÖ´Ù.
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¼¼ ºÐÆ÷ÇÔ¼öÀÇ ºñ±³_ µ¿ÀÏÇÑ $T$¿Í $\alpha$¿¡¼ ¼¼ ÇÔ¼ö¸¦ ³ª¶õÈ÷ º¸¿©ÁÖ´Â ±×·¡ÇÁ·Î ¾î´À ¿µ¿ª¿¡¼³ª BE ÇÔ¼ö°¡ Á¦ÀÏ Å©°í, ±× ´ÙÀ½ÀÌ MB ÇÔ¼ö, FD ÇÔ¼ö°¡ Á¦ÀÏ ³·Àº °ªÀ» °¡Áø´Ù. ¸ðµç ºÐÆ÷ÇÔ¼ö´Â $\varepsilon/kT$¿¡¸¸ ÀÇÁ¸ÇϹǷΠ°¡·ÎÃàÀÇ ¿¡³ÊÁö¿Í ¿ÂµµÁ¶Àý ½½¶óÀÌ´õÀÇ $kT$´Â °°Àº ´ÜÀ§·Î º¸¸é µÈ´Ù. ±×¸²¿¡¼
¡ß
Ç¥½ÄÀº $kT$¸¦ ³ªÅ¸³½´Ù.
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ÀÌ ±×·¡ÇÁ¿¡¼ ¿Âµµ¸¦ $kT$¸¦ ´ÜÀ§·Î ÇßÁö¸¸, ºÐÀÚ³ª ¿øÀÚ¿¡ ÀûÀýÇÏ°Ô ¿¡³ÊÁö¸¦ eV ·Î, ¿Âµµ¸¦ Àý´ë¿Âµµ, Áï K ·Î ³ªÅ¸³»¸é \[ kT = 8.617 \times 10^{-5} T \quad \quad \mathrm{(eV)} \] ÀÌ´Ù. µû¶ó¼ À§ ±×·¡ÇÁ¿¡¼ $kT=1$Àº ¿Âµµ°¡ ¾à 11600 K ÀÌ°í, °¡·ÎÃàÀÇ ¿¡³ÊÁö ´ÜÀ§´Â eV·Î º¸¸é µÈ´Ù. ½ÇÁ¦·Î ¸ðµç ºÐÆ÷ÇÔ¼öÀÇ ¿¡³ÊÁö ÀÇÁ¸ÀÌ $\varepsilon/kT$ÀÇ ÇüÅÂÀ̱⠶§¹®¿¡ $\alpha$°¡ ¿Âµµ¿¡ µû¶ó º¯ÇÏÁö ¾Ê´Â´Ù¸é ¿ÂµµÀÇ º¯È´Â ±×·¡ÇÁÀÇ °¡·ÎÃàôÀ» º¯ÇÏ°Ô ÇÒ »ÓÀÌ´Ù.
¾Æ·¡ ±×·¡ÇÁ´Â $\alpha = -2 \sim 2$ ¿¡¼ÀÇ $\varepsilon$À» $kT$¸¦ ´ÜÀ§·Î ÇÏ¿© ±×¸° ±×¸²ÀÌ´Ù. ¼¼ ÇÔ¼ö´Â ¸ðµÎ $\varepsilon \gg kT$ÀÏ ¶§ ÀÏÄ¡µÈ °á°ú¸¦ º¸¿©ÁÖ¾î¼ ¾çÀÚºÐÆ÷¿Í °íÀüºÐÆ÷ÀÇ Â÷ÀÌ°¡ ¾ø´Ù´Â °ÍÀ» È®ÀÎÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù. À̶§¿¡´Â $f \ll 1$ÀÎ µ¥ ÀÌ¿¡ µû¶ó ÀÔÀÚµéÀÌ µ¿ÀÏ»óÅ¿¡ ÀÖÀ» °¡´É¼ºÀÌ °ÅÀÇ ¾ø°í, ÀÔÀÚÀÇ µ¿ÀϼºÀÌ °ÅÀÇ µå·¯³ªÁö ¾Ê±â ¶§¹®¿¡ ¾çÀÚÈ¿°ú°¡ ³ªÅ¸³ªÁö ¾Ê´Â °ÍÀÌ´Ù. ±×·¯³ª ±× ¹Ý´ëÀÇ ¿µ¿ª, Áï $\varepsilon \ll kT$ ¿¡¼´Â µ¿ÀÏ»óÅ¿¡ °ãÃÄÁö´Â °æÇâÀÌ ¸Å¿ì Ä¿Áö¹Ç·Î ¾çÀÚÈ¿°ú°¡ Áö¹èÀûÀÌ µÈ´Ù. µû¶ó¼ º¸¼ÕÀÌ³Ä Æ丣¹Ì¿ÂÀ̳Ŀ¡ µû¶ó ±× °á°ú°¡ Å©°Ô Â÷À̳ª´Â °ÍÀÌ´Ù.
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¼¼ ºÐÆ÷ÇÔ¼öÀÇ ºñ±³2_ ¾ÕÀÇ ±×¸²¿¡¼ ¿¡³ÊÁö¸¦ $kT$¸¦ ´ÜÀ§·Î ÇÏ¿© ±×¸° °ÍÀ¸·Î $\alpha$¸¦ º¯°æÇÏ¸é ±×·¡ÇÁ´Â Á¿ì·Î ÆòÇàÀ̵¿ÇÏ´Â ÇüŸ¦ º¸ÀδÙ. Áï $\alpha$¸¦ 1 ¸¸Å ÁÙÀÌ¸é ±×·¡ÇÁ°¡ ¿ÞÂÊÀ¸·Î 1 ´ÜÀ§ À̵¿½ÃŲ ±×·¡ÇÁ¿Í ÀÏÄ¡ÇÏ°Ô µÈ´Ù.
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FDÀÇ °æ¿ì 0KÀÇ ±ØÇÑ¿¡¼ °æ°èÀÇ ¿¡³ÊÁö°¡ Á¸ÀçÇÑ´Ù.
´ÙÀ½ÀÇ Æ丣¹Ì-µð·¢ ºÐÆ÷ÇÔ¼ö \[ f_{FD}(\varepsilon) = \frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT}+1} \] ´Â $\varepsilon = \mu$ÀÏ ¶§ ÀÔÀÚ°¡ 50%ÀÇ È®·ü·Î ä¿öÁ®¼ Á¡À¯¼ö°¡ $\frac{1}{2}$ÀÌ µÈ´Ù. »Ó¸¸ ¾Æ´Ï¶ó ´ÙÀ½ ±×¸²¿¡¼ º¸µíÀÌ ÀÌ ÁÂÇ¥Á¡ $(\varepsilon, f_{FD}) = (\mu, \frac{1}{2})$À» Áß½ÉÀ¸·Î ÇÔ¼ö°¡ ¹Ý´ëĪÀûÀÌ´Ù.
Æ丣¹Ì-µð·¢ ºÐÆ÷ÇÔ¼ö¸¦ µû¸£´Â Æ丣¹Ì¿ÂÀº Àý´ë¿Âµµ 0ÀÇ ±ØÇÑ¿¡¼´Â ¾î¶² ƯÁ¤ÇÑ ¿¡³ÊÁö ÀÌÇÏÀÇ »óÅ¿¡¸¸ ÀÔÀÚ°¡ Á¸ÀçÇÏ°í, ±×º¸´Ù ³ôÀº ¿¡³ÊÁöÀÇ »óÅ¿¡´Â ¸ðµÎ ºñ¾î ÀÖ°Ô µÈ´Ù. ÀÌ °æ°èÀÇ ¿¡³ÊÁö¸¦ Æ丣¹Ì ¿¡³ÊÁö(Fermi energy)¶ó ÇÏ´Â µ¥ ÀÌ´Â Àý´ë¿Âµµ 0ÀÏ ¶§ÀÇ ÈÇÐÆÛÅÙ¼È $\mu$¿Í °°´Ù. Áï, \[ \varepsilon_F = \mu ~~~\text{for} ~~~ T=0 \] ½ÇÁ¦·Î ÈÇÐÆÛÅÙ¼È $\mu$´Â ¿ÂµµÀÇ ÇÔ¼öÀÎ µ¥ ÀÌ´Â °èÀÇ ¾çÀÚ»óÅ°¡ ¾î¶² ¿¡³ÊÁö ÁØÀ§µéÀ» °¡Áö´À³Ä¿¡ µû¶ó ´Ù¸£´Ù. Æ丣¹Ì¿ÂÀ¸·Î ±¸¼ºµÈ °èÀÇ ´ëºÎºÐÀº $\mu \approx \varepsilon_F$À̱⠶§¹®¿¡ \[ \begin{equation} \label{eq1} f_{FD}(\varepsilon) \cong \frac{1}{e^{(\varepsilon - \varepsilon_F)/kT}+1} \end{equation} \] À¸·Î Ç¥ÇöÇÏ´Â °ÍÀÌ Å©°Ô ¹«¸®°¡ ¾ø´Ù.
´ÙÀ½ ±×¸²Àº FD ºÐÆ÷ÇÔ¼ö¸¦ $\varepsilon_F$ÀÇ º¯È¿¡ ´ëÇØ »ìÆ캸°Ô Ç¥ÇöÇÑ ±×·¡ÇÁ·Î¼ ÀÌ·¯ÇÑ ÃëÁö¿¡¼ FD ºÐÆ÷ÇÔ¼ö¸¦ Æ丣¹Ì ºÐÆ÷ÇÔ¼ö¶ó°íµµ ÇÑ´Ù.
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Æ丣¹Ì ºÐÆ÷ÇÔ¼ö_ FD ºÐÆ÷ÇÔ¼ö¸¦ Æ丣¹Ì ¿¡³ÊÁö $\varepsilon_F$À¸·Î ³ªÅ¸³½ ±×·¡ÇÁÀÌ´Ù. Àý´ë¿Âµµ 0 ¿¡¼´Â $\varepsilon_F$ ÀÌÇÏ¿¡¼¸¸ ÀÔÀÚ°¡ Á¸ÀçÇϳª ¿Âµµ°¡ ¿Ã¶ó°¡¸é Á¡Â÷ ³ôÀº ¿¡³ÊÁö·ÎÀÇ ÀüÀÌ°¡ ÀϾ ¼ö ÀÖ´Â °ÍÀ» ¾Ë ¼ö ÀÖ´Ù. ºÓÀº »öÁ¶ÀÇ °¡´Â ±×·¡ÇÁ´Â ÁÖ¾îÁø Æ丣¹Ì ¿¡³ÊÁö¿¡¼ °¢°¢ ¿Âµµ°¡ 0, 2000, 4000, 6000, 8000, 10000 K ÀÏ ¶§ÀÌ´Ù. ±×¸²¿¡¼
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Ç¥½ÄÀº $kT$¸¦,
¡ß
´Â $\varepsilon_F$¸¦ ³ªÅ¸³½´Ù. ±×¸®°í ±×·¡ÇÁ Áß°£ÀÇ µÎ
¡ß
´Â ÀÌ °£°ÝÀÌ $kT$·Î¼ »óŹеµÀÇ º¯È°¡ Å« ¿µ¿ªÀÌ´Ù. (¿©±â¼ ÈÇÐÆÛÅÙ¼È $\mu$°¡ ¿Âµµ¿¡ µû¶ó °ÅÀÇ º¯ÇÏÁö ¾ÊÀº °ÍÀ¸·Î ÇÏ¿´´Ù)
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[Áú¹®1]
Æ丣¹Ì-µð·¢ ºÐÆ÷¿¡¼ $T=0$À϶§ $\varepsilon \le \varepsilon_F$À϶§ $f_{FD}(\varepsilon)=1$ÀÌ°í, $\varepsilon \gt \varepsilon_F$À϶§ $f_{FD}(\varepsilon)=0$ÀÓÀ» º¸¿©¶ó.
[Áú¹®2] Æ丣¹Ì-µð·¢ ºÐÆ÷ÇÔ¼ö°¡ $(\varepsilon, f_{FD}) = (\mu, \frac{1}{2})$ÀÎ Á¡À» Áß½ÉÀ¸·Î ¹Ý´ëĪÀûÀÎ °ÍÀ» º¸¿©¶ó. (Áï ÇÔ¼ö $f_{FD}-\frac{1}{2}$°¡ $\varepsilon = \mu$¸¦ Áß½ÉÀ¸·Î ±âÇÔ¼öÀÎ °ÍÀ» º¸ÀδÙ)
[Áú¹®3]
\eqref{eq1} ½ÄÀ¸·ÎºÎÅÍ (a) ´ÙÀ½À» º¸¿©¶ó. \[ \int_0^{\varepsilon_F} f_{FD}(\varepsilon) d\varepsilon = kT\ln[(1+e^{\varepsilon_F/kT})/2] \] (b) $T\to 0$ÀÇ ±ØÇÑ¿¡¼ (a)°¡ $\varepsilon_F$°¡ µÇ´Â °ÍÀ» ¹àÇô¶ó. (c) ´ÙÀ½À» º¸¿©¶ó. \[ \int_{\varepsilon_F}^\infty f_{FD}(\varepsilon) d\varepsilon = kT\ln2 \] (d) ÀÌµé °á°ú·ÎºÎÅÍ [Áú¹®1]ÀÇ ¹°À½¿¡ ´äÇ϶ó.
_ ¿¡³ÊÁö ÁØÀ§_ Æ丣¹Ì¿Â_ »óŹеµ_ ¸Æ½ºÀ£_ ¿Âµµ_ ÀüÀÌ_ º¸¼Õ_ º¸½º_ ¾çÀÚ
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