양자통계

분포함수의 비교

앞에서 도입한 맥스웰-볼츠만(MB), 보스-아인슈타인(BE), 페르미-디랙(FD)의 세 분포함수는 주어진 온도 $T$와 $\alpha$에 대해 $\varepsilon$의 에너지를 가진 상태에 놓일 상대적인 확률을 나타낸다. $\alpha$는 보통 $T$의 함수로서 계의 에너지와 입자수가 고정되어 있다면 전체 확률의 합이 1 이 되게 하는 조건에서 정해진다.

아래 그래프는 이들 세 함수의 행동을 보이는 그래프로서 동일한 $T$와 $\alpha$에서 언제나 BE, MB, FD의 순으로 모든 영역에서 함숫값이 크게 주어진다. 또, $\varepsilon \gg kT$인 극한에서는 모두 MB에 접근하여 고전적인 거동을 보이는 것을 알 수 있다.

이 그래프에서 온도를 $kT$를 단위로 했지만, 분자나 원자에 적절하게 에너지를 eV 로, 온도를 절대온도, 즉 K 로 나타내면 $$kT = 8.617 \times 10^{-5} T \quad \quad \mathrm{(eV)}$$ 이다. 따라서 위 그래프에서 $kT=1$은 온도가 약 11600 K 이고, 가로축의 에너지 단위는 eV로 보면 된다. 실제로 모든 분포함수의 에너지 의존이 $\varepsilon/kT$의 형태이기 때문에 $\alpha$가 온도에 따라 변하지 않는다면 온도의 변화는 그래프의 가로축척을 변하게 할 뿐이다.

아래 그래프는 $\alpha = -2 \sim 2$ 에서의 $\varepsilon$을 $kT$를 단위로 하여 그린 그림이다. 세 함수는 모두 $\varepsilon \gg kT$일 때 일치된 결과를 보여주어서 양자분포와 고전분포의 차이가 없다는 것을 확인할 수 있다. 이때에는 $f \ll 1$인 데 이에 따라 입자들이 동일상태에 있을 가능성이 거의 없고, 입자의 동일성이 거의 드러나지 않기 때문에 양자효과가 나타나지 않는 것이다. 그러나 그 반대의 영역, 즉 $\varepsilon \ll kT$ 에서는 동일상태에 겹쳐지는 경향이 매우 커지므로 양자효과가 지배적이 된다. 따라서 보손이냐 페르미온이냐에 따라 그 결과가 크게 차이나는 것이다.

FD의 경우 0K의 극한에서 경계의 에너지가 존재한다.

다음의 페르미-디랙 분포함수 $$f_{FD}(\varepsilon) = \frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT}+1}$$ 는 $\varepsilon = \mu$일 때 입자가 50%의 확률로 채워져서 점유수가 $\frac{1}{2}$이 된다. 뿐만 아니라 다음 그림에서 보듯이 이 좌표점 $(\varepsilon, f_{FD}) = (\mu, \frac{1}{2})$을 중심으로 함수가 반대칭적이다.

페르미-디랙 분포함수를 따르는 페르미온은 절대온도 0의 극한에서는 어떤 특정한 에너지 이하의 상태에만 입자가 존재하고, 그보다 높은 에너지의 상태에는 모두 비어 있게 된다. 이 경계의 에너지를 페르미 에너지(Fermi energy)라 하는 데 이는 절대온도 0일 때의 화학퍼텐셜 $\mu$와 같다. 즉, $$\varepsilon_F = \mu ~~~\text{for} ~~~ T=0$$ 실제로 화학퍼텐셜 $\mu$는 온도의 함수인 데 이는 계의 양자상태가 어떤 에너지 준위들을 가지느냐에 따라 다르다. 페르미온으로 구성된 계의 대부분은 $\mu \approx \varepsilon_F$이기 때문에 $$\begin{equation} \label{eq1} f_{FD}(\varepsilon) \cong \frac{1}{e^{(\varepsilon - \varepsilon_F)/kT}+1} \end{equation}$$ 으로 표현하는 것이 크게 무리가 없다.

다음 그림은 FD 분포함수를 $\varepsilon_F$의 변화에 대해 살펴보게 표현한 그래프로서 이러한 취지에서 FD 분포함수를 페르미 분포함수라고도 한다.

[질문1] 페르미-디랙 분포에서 $T=0$일때 $\varepsilon \le \varepsilon_F$일때 $f_{FD}(\varepsilon)=1$이고, $\varepsilon \gt \varepsilon_F$일때 $f_{FD}(\varepsilon)=0$임을 보여라.

[질문2] 페르미-디랙 분포함수가 $(\varepsilon, f_{FD}) = (\mu, \frac{1}{2})$인 점을 중심으로 반대칭적인 것을 보여라. (즉 함수 $f_{FD}-\frac{1}{2}$가 $\varepsilon = \mu$를 중심으로 기함수인 것을 보인다)

[질문3] $\eqref{eq1}$ 식으로부터 (a) 다음을 보여라. $$\int_0^{\varepsilon_F} f_{FD}(\varepsilon) d\varepsilon = kT\ln[(1+e^{\varepsilon_F/kT})/2]$$ (b) $T\to 0$의 극한에서 (a)가 $\varepsilon_F$가 되는 것을 밝혀라.
(c) 다음을 보여라. $$\int_{\varepsilon_F}^\infty f_{FD}(\varepsilon) d\varepsilon = kT\ln2$$ (d) 이들 결과로부터 [질문1]의 물음에 답하라.

_ 에너지 준위_ 페르미온_ 상태밀도_ 맥스웰_ 온도_ 전이_ 보손_ 보스_ 양자