양자통계의 응용

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찬드라세카(S. Chandrasekhar: 1910~1995)_ 인도 태생의 미국의 천체물리학자로 '찬드라세카 한계'라고 부르는 백색왜성으로 될 수 있는 한계질량을 약관 19세(1930년)에 계산했다. 이 질량을 넘는 백색왜성은 축퇴압력이 중력에 의한 수축을 막을 수 없어서 이어진 핵반응을 거치고 중성자별 등으로 변하게 된다는 것을 밝혔다. 이 한계의 질량은 태양 질량의 약 1.39 배이다. 찬드라세카는 이 업적으로 1983년 노벨물리학상을 수상했다.

페르미 입자의 배타율에 의한 압력이 별을 지탱한다.

중성자별(neutron star)은 별이 진화를 거쳐서 마지막에 이르게 되는 상태로 전부 중성자로 채워진 별이다. 매우 무거운 별의 경우, 내부의 핵연료가 핵융합에 의해 연료를 소진하게 되면 이제까지 그 부피를 유지하게 하던 복사에 의한 압력이 줄어들어서 서서히 붕괴하게 된다. 처음 출발 때의 질량이 태양보다 10 배 이상이었다면 최종적으로 전자와 양성자가 역베타 붕괴에 의해 중성자로 변해서 전체가 중성자로 가득찬 별, 즉 중성자별로 될 것이다.

중성자별은 페르미온인 중성자가 금속에서의 자유전자처럼 배타율에 의한 압력으로 중력에 의해 더 이상 수축되지 않도록 지탱하게 되는 데 이는 백색왜성의 경우도 비슷하다. 백색왜성(white dwarf; 백색잔별)은 태양 정도의 별이 진화하는 거의 마지막 단계로서 이 경우는 전자가 수축되지 않도록 한다. 이렇게 중성자나 전자처럼 페르미온이 페르미 온도보다 낮은 온도에서 각각의 양자상태를 차곡차곡 채우는 것을 축퇴(degenerate)되어 있다고 하고, 이렇게 고도로 축퇴되어 있는 물질을 축퇴물질(degenerate matter)이라 한다. 또한 이 상황에서 나타나는 압력을 축퇴압력(degenerate pressure)라고 한다. (여기서의 '축퇴'는 같은 에너지의 서로 다른 상태를 뜻하는 양자역학의 축퇴와 다른 개념으로 '졸아들어 있는'을 뜻한다)

중성자별은 중성자 만으로 된 별로 페르미 기체모형으로 해석할 수 있다.

중성자 별의 경우는 앞서 다룬 금속과는 달리 $+$이온이 없으므로 중성자의 자체적인 인력에 의한 음의 압력과 평형을 이루게 된다. 중력에 의해 반경 $R$의 구로 되었을 때의 형성에너지는 \[ E_g = -\frac{3}{5} \frac{GM^2}{R} = -\frac{3}{5} GM^2 \left( \frac{4\pi}{3V} \right)^{1/3} \] 여기서 $M$은 중성자별의 질량이고 $G$는 만유인력상수이다. 이 식으로부터 중력에 의한 압력을 계산하면, \[ P_g = -\frac{dE_g}{dV} = - \frac{GM^2}{5} \left( \frac{4\pi}{3} \right)^{1/3} V^{-4/3} \] 이다. 여기서 압력이 음$(-)$인 것은 중력이 내부로 중성자들을 끌어 당기기 때문이다. 이제 중성자기체의 압력$(P_n)$과 중력의 압력이 평형을 이루게 되므로 \[ P_n + P_g = 0 \] 이 되어야 한다. 여기서 $P_n$은 앞에서 다루었던 '자유전자 기체'에서 유도한 결과식을 이용하면 된다.

반경 $R$ 속에 $N$개의 중성자가 있다고 하여 평형조건을 별의 반경을 그 질량 $M(=m_n N)$으로 정리할 수 있다. \[ \begin{equation} \label{eq1} R = \left( \frac{3\sqrt\pi}{2} \right)^{4/3} \left( \frac{\hbar^6}{G^3 m_n^8} \right)^{1/3} M^{-1/3}. \end{equation} \] 여기서 $m_n$는 중성자의 질량이다. 이 결과는 중성자별에 중성자가 추가되면 반경이 줄어들어 밀도가 커지는 것을 말한다. 만일 별의 질량이 태양 질량의 1.5배 정도라면 이 반경은 $10.75~\text{km}$, 서로 비기는 두 압력의 크기는 $2 \times 10^{33}~\text{Pa}~$이 되고, 밀도는 \[ \rho = 5.75 \times 10^{17} ~\text{kg/m}^3 \] 이다. 이 값은 핵의 밀도와 비견할만 값으로 중성자별도 핵의 경우처럼 중성자가 빈틈없이 쌓여 있는 것으로 볼 수 있다.

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중성자 별의 내부구조_ 별의 진화에서 마지막에 해당하는 중성자별의 내부 구조를 나타낸다.

[질문1] 질량이 태양의 1.5배인 중성자별에서의 반경과 압력, 밀도가 앞서 예시한 값임을 확인하라.

[질문2] 질문1의 중성자별의 중성자의 페르미 에너지를 추정하라.

[질문3] 중성자 기체의 축퇴압력과 중력압력이 평형을 이룬다는 조건을 이용하여 \eqref{eq1} 식을 유도하라.

[질문4] 백색왜성은 중성자별에서의 중성자기체의 압력과 중력에 의한 압력이 비기는 것처럼 전자의 기체가 압력을 행사하는 것으로 볼 수 있다. 그러나 중성자별과는 달리 백색왜성에는 전자보다 훨씬 무거운 핵자(양성자와 중성자)로 된 핵도 같이 존재해서 중력은 주로 핵이 만들게 된다. 이 경우 핵자는 보통의 원자와 마찬가지로 전자의 2배 정도 존재하는 것으로 볼 수 있다. 전자 기체의 축퇴에 의한 압력과 핵자의 중력에 의한 압력이 서로 비기는 조건으로부터 백색왜성의 반경이 다음과 같이 표현되는 것을 보여라. \[ R = \left( \frac{3\sqrt\pi}{2^{9/4}} \right)^{4/3} \left( \frac{\hbar^6}{G^3 m_e^3 m_n^5} \right)^{1/3} M^{-1/3}. \] 이 식에서 $m_e, ~m_n$는 각각 전자와 핵자의 질량이다. (전자와 같은 수 만큼 존재하는 양성자에 의해 전체적으로 전자기력은 상쇄된다고 볼 수 있어서 전자끼리의 반발력은 고려할 필요가 없다)

[질문5] 태양의 구성물질이 전부 백색왜성으로 된다면 평형을 이루는 반경이 얼마나 될까? 태양은 약 $10^{57}$개의 핵자가 있는 것으로 볼 수 있다. 이 경우 전자의 페르미 에너지는 얼마일까? 이 결과는 여기서의 방식대로 전자 기체를 비상대론적으로 취급해도 된다는 것일지 판단하라.