감마붕괴

감마붕괴의 양자론

섭동이론으로 감마붕괴의 확률을 계산한다.

'섭동이론' 단원에서 시간의존 섭동이론으로 원자나 핵이 광자를 방출하거나 흡수하는 현상을 다루었다. 핵이 감마붕괴를 하는 것은 이의 들뜬 상태가 더 낮은 상태로 되면서 그 차이에 해당하는 광자, 즉 감마선을 방출하는 것이므로 원자가 긴 파장의 빛을 방출하는 절차와 대동소이하다. 따라서 '원자의 전자기파 방출과 흡수' 절에서 다룬 결과를 그대로 이용할 수 있다. 즉, 핵이 $n$ 상태에서 $m$ 상태로 전이하면서 $\hbar \omega = E_n - E_m$의 광자를 방출하는 경우 단위시간에 대한 방출에너지, 즉 일률은 $$\begin{equation} \label{eq1} P = \frac{4 \mu_0 e^2 \omega^4}{12\pi c} |\langle m |r| n \rangle|^2 \end{equation}$$ 으로 정리되었다. 이 결과는 전기 쌍극자 근사를 이용한 것으로 앞서 고전적으로 유도했던 식 $$P_{\mathrm{avg}} = \frac{\mu_0 e^2 R^2 \omega^4}{12\pi c}$$ 과 비교하면 $R^2 \sim 4 |\langle m |r| n \rangle|^2$ 으로 고전적인 관점과 양자적 관점이 서로 연결되는 것을 알 수 있다.

_ 원자의 전자기파 방출과 흡수_ 시간의존 섭동이론_ 전기 쌍극자 근사_ 감마선_ 전이_ 양자

감마붕괴의 선택규칙

$\eqref{eq1}$ 식으로 주어진 복사일률의 계산을 마무리 하기 위해서는 구체적으로 $T_{mn} = \langle m |\vec{r} | n \rangle$을 계산할 수 있어야 한다. 이를 위해서 파동함수 $\phi_n$와 $\phi_m$를 구체적으로 알아야 하나 그렇지 않더라도 대칭성으로부터 몇 가지 유용한 정보를 이끌어 낼 수 있다. 만일 행렬요소 $T_{mn} = 0$ 이라면 $n\rightarrow m$의 전이는 금지될 것이다. 이렇게 특정한 전이가 허용되는가를 설명하는 규칙을 선택규칙이라 한다.

반전성의 고려

퍼텐셜이 $\vec{r} \rightarrow -\vec{r}$의 공간반전에 대해 대칭이라면 슈뢰딩거방정식을 만족하는 파동함수를 공간반전에 대해 대칭이거나 반대칭으로 선택할 수 있다. 즉 $$U(-\vec{r}) = U(\vec{r})$$ 이라면 $\phi_n(-\vec{r}) = \pm \phi_n(\vec{r})$으로 여기서 $+$인 경우를 짝반전성(even parity), $-$인 경우를 홀반전성(odd parity)을 가진다고 한다. 이러한 해의 성질을 반전성(parity)이라 한다. 공간반전 연산자를 $P$라 하자. 즉, $$Pf(\vec{r}) = f(-\vec{r})$$ 이다. 따라서 짝반전성과 홀반전성은 각각 $P$에 대한 고윳값이 $+1$, $-1$이라는 것을 뜻한다. 한편 계의 해밀토니안($H$)이 $P$와 교환가능하므로 이러한 반전성은 시간이 흘러도 변하지 않는 보존량이 된다.

핵에 있는 입자의 퍼텐셜이 공간반전에 대해 대칭으로 볼 수 있기 때문에 상호작용이 없다면 반전성이 보존될 것이다. 그러나 섭동으로 감마붕괴를 하는 경우 반전성은 보존되지 않을 수 있다. 전이확률이 $\langle m |\vec{r} | n \rangle$과 관련된 근사에서 $n$ 상태와 $m$ 상태의 반전성을 각각 $p_n$와 $p_m$라 하자. $\langle m |\vec{r} | n \rangle$는 전 공간에 대한 적분으로 $P$를 취해도 마찬가지이므로 $$\int \phi^*_m(\vec{r}) \vec{r} \phi_n(\vec{r}) d^3 \vec{r} = - p_m p_n \int \phi^*_m(\vec{r}) \vec{r} \phi_n(\vec{r}) d^3 \vec{r}$$ 이다. $p_m p_n=-1$이 아니라면 $\langle m |\vec{r} | n \rangle=0$이어서 전이가 금지된다는 것을 알 수 있다. 즉 처음 상태와 나중 상태의 반전성이 반대인 경우에만 전이가 일어날 수 있다.

이처럼 전기 쌍극자 근사에서는 반전성이 반대가 되어야 하지만 근사의 수준을 높이면 상황은 달라진다. 예를 들어 전이확률이 $\langle m |\vec{r}^2 | n \rangle$에 의존한다면 반전성이 보존되는 전이만 허용될 것이다. 자기 쌍극자 복사와 전기 사중극자 복사 등이 이러한 예이다.

각운동량의 고려

복사가 일어나는 과정에서도 전체의 각운동량이 보존되어야 한다. $$\vec{J}_n - \vec{J}_m = \vec{J}_\gamma$$ 여기서 $\vec{J}_\gamma$은 감마선의 각운동량으로 이의 양자수는 $+1$이어야 한다. 따라서 각운동량의 합성법칙에 의해 $\vec{J}_n$와 $\vec{J}_m$의 양자수 $j_n, j_m$는 다음 관계를 가져야 한다. $$j_n - j_m = \pm 1, ~\mathrm~ 0 \quad \quad \mathrm{except} \quad j_n = j_m = 0$$ $\vec{J}_n$와 $\vec{J}_m$를 합성하였을 때 이의 각운동량의 양자수가 $|j_n - j_m| \sim j_n + j_m$의 범위로 나타날 수 있는 데 이 값이 $1$이 될 수 있는 경우가 바로 이 관계이다.

_ 전기 쌍극자 근사_ 선택규칙_ 파동함수_ 교환가능_ 슈뢰딩거_ 감마선_ 연산자_ 양자수_ 고윳값_ 전이