감마붕괴

물질에서의 방사선의 감쇠

물질에서 방사선은 점차 에너지를 잃어 감쇠된다.

감마선 등의 방사선이 물질 속에 들어가면 여러 물리적인 반응에 의해 점차 그 에너지를 잃어 결국 소멸하게 된다. 이렇게 물질 속을 진입하면서 원래의 세기는 점점 줄어든다. 이때 에너지가 흡수되는 비율은 다음과 같이 물질의 두께 $dx~$에 비례한다. \[ \frac{dI}{I} = - \mu dx \] 여기서 $\mu~$는 감쇠계수(attenuation coefficient)로 단위길이에 대한 감쇠율이다. 방사선의 세기 $I~$를 침투한 거리 $x~$의 함수로 보면 이는 \[ I(x) = I_0 e^{-\mu x} \] 이다. 이러한 감쇠는 고전적으로 전자기파가 전도성의 물질로 진입하면서 점차 감쇠되는 경우와 같은 형태이다. 이때 표피깊이(skin depth)는 파의 세기가 $\frac1e$로 되는 깊이로 정의하여 \[ d_s = \frac{1}{\mu} \] 가 된다. 방사선을 다룰 때 수명보다 반감기를 실용적으로 많이 쓰는 것처럼 세기가 반으로 줄어드는 반감두께(half thickness)를 정의한다. \[ d_{\frac12} = \frac{\ln 2}{\mu} = \frac{0.693}{\mu} \]

감마선의 경우 물질과 상호작용하는 방식은 쌍생성, 콤프턴 효과, 광전효과 등으로 이들이 독립적으로 입사하는 감마선을 감쇠시킨다. 각각의 감쇠계수 $\mu_{P}, ~\mu_{C}, ~\mu_{E}$를 한다면 이들이 모두 합해져서 전체 감쇠계수가 될 것이다. 즉, \[ \mu = \mu_{P} + \mu_{C} +\mu_{E} \] 이다.

흡수단면적

방사선의 감쇠가 일어나는 것은 방사선의 입자가 개별 원자와 충돌하여 에너지를 잃어버리는 것이다. 이에 따라 한 원자가 광자를 흡수하는 정도를 그 원자의 흡수단면적(absorption cross section)으로 정의한다. 입자 원자와 충돌했을 때 반드시 흡수되는 범위를 말한다. 이는 원자가 평면 상에 차지하는 실제의 면적과는 다른, 일종의 가상적인 개념이지만 산란이나 흡수를 다룰 때 편리하다. 흡수단면적이 $\sigma$인 원자가 넓이 $A$이고 $dx$의 얇은 두께를 가진 물질에 진입한다고 하자. 이때는 두께가 얇아서 각각의 원자가 가진 단면은 서로 포개지지 않은 것으로 생각할 수 있을 것이다. 단위부피의 원자수를 $n$이라 한다면 그 속의 전체 원자수는 $nAdx$개이고, 전체의 흡수단면적은 $nA\sigma dx$가 될 것이다. 따라서 하나의 광자가 이 판에 흡수될 확률은 \[ P = \frac{nA\sigma dx}{A} = n \sigma dx \] 이다. 만일 $I$의 세기를 가진 광자의 집합이 판에 진입한다면 전체적으로 잃어버리는 세기는 \[ -dI = I n \sigma dx \] 으로 되어 흡수단면적이 감쇠계수와 다음과 같이 관련되는 것을 확인할 수 있다. \[ \mu = n \sigma \]

감쇠계수는 이처럼 물질의 단위부피당 원자수에 비례한다. 따라서 (질량)밀도에도 비례하기 때문에 감쇠계수를 밀도 $\rho$로 나누어 질량감쇠계수(mass attenuation coefficient)를 정의하기도 한다.

산란단면적

실제로 방사선이 원자와 충돌했을 때 모든 에너지를 잃고 소멸하는 경우도 있지만 그 진로가 꺾여서 산란하는 경우도 있다. 이때에는 한 원자가 방사선을 산란시키는 정도를 산란단면적(scattering cross section)으로 정의한다. 방사선이 원자의 중심에서의 거리, 즉 충격변수 $b$로 진입해서 $\theta$로 산란한다고 할 때 우선 다음과 같이 미분단면적(differential cross section) $d\sigma$를 정의한다. \[ \frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{I_S}{I_0} \] 여기서 충돌하는 방사선의 단위시간당 단위면적당 개수를 $I_0$로, 또한 이것이 단위시간당 단위입체각당 산란하는 방사선의 개수를 $I_S$로 두었다. 입체각은 차원이 없는 양이므로 $d\sigma$은 결국 면적의 차원을 가질 것이다. 이제 $d\sigma$을 공간의 모든 방향에 대해 적분하면 다음과 같다. \[ \sigma_t = \int \sigma d\Omega = \frac{1}{I_0} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi I_s \sin\theta d\theta \] 이는 총단면적(total cross section)으로 특정 원자핵이 방사선을 산란시키는 영역을 총제적으로 나타낸 유효면적의 의미를 가진다.

[질문1] 0.2 MeV와 2 MeV의 감마선에 대한 Cu의 감쇠계수는 각각 130.9 m^-1, 37.2 m^-1 이다. 이들 각각의 감마선을 1/2 로 감쇠시킬려면 두께 얼마의 Cu 판을 통과시켜야 할까?

[질문2] Cu 원자는 질량이 $63.55 ~u$ 이고, 밀도는 약 $8.96 \times 10^3 ~\mathrm{kg/m^3}$이다. 0.2 MeV와 2 MeV의 감마선에 대한 각각의 흡수단면적은 얼마인가? 또한 이의 질량감쇠계수는 얼마인가? 앞 질문의 데이터를 활용하라.

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