광양자설

콤프턴 효과

빛으로 당구를 치다.

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콤프턴(A. Compton: 1892~1962)_ 미국의 물리학자로서 X선을 산란시켰을 때 그 파장이 길어진다는 현상을 발견하고 이를 빛의 양자론으로 설명할 수 있었다. 이는 빛이 온전한 입자로서 행동한다는 것을 확인한 실험으로 이 업적으로 1927년 노벨물리학상을 받았다.

고전전자기 이론에 의하면 에너지가 $E$인 빛의 운동량은 $p=E/c$ 이어야 하고, 또한 아인슈타인의 광양자설에 의하면 $E=h\nu$ 이므로 광양자의 운동량 $p=h\nu /c=h/\lambda$의 관계가 성립한다. 따라서 빛도 입자로서 파장에 반비례하는 운동량을 가지고 있는 것이다.아인슈타인의 광양자설이 맞다면 빛의 입자, 즉 광자를 충돌시켜 이 운동량 관계가 성립되는지 확인할 수 있을 것이다. 광전효과에서처럼 광자를 금속에 충돌(흡수)시키는 경우라면 광자의 운동량이 너무 작아서 금속에 전달된 운동량을 측정할 수 없을 것이다. 그러나 광자를 자유전자와 충돌시키면 자유전자는 그 자신의 질량이 작으므로 운동량을 받은 정도를 쉽게 관측할 수 있을 것이다.

1923년 콤프턴(A. Compton)은 이 실험을 통하여 빛의 광양자설을 직접적인 방법으로 확인 할 수 있었다. 이것은 마치 빛으로 당구를 치는 것과 유사하다. 콤프턴은 빛으로서 큰 운동량을 가지고 있는 X선을 이용하였는 데 X선의 광자가 정지해 있는 전자와 충돌하여 그 전자를 튀어 내고, 그 결과로 자신도 운동량과 방향이 꺾어져서 나오는 것을 관측할 수 있었다.

산란된 광자의 파장을 입사할 때의 광자의 파장과 산란각 $\theta$로 계산해 보자. 처음에는 운동량 $p$, 에너지 $E_0 = pc = h\nu $인 광자가 운동량 0, 정지에너지 $m_0 c^2$인 정지상태의 전자에 충돌한다. 충돌한 후 광자는 위 그림의 최종 화면에서 나타나는 것처럼 산란각 $\theta$인 방향으로 운동량 $p'$을 가지고 튀어 나간다. 한편 되튀는 전자는 운동량 $p_e'$와 에너지 $E_e'$를 갖는다. 전자는 빛의 속도에 가까울 수 있기 때문에 상대론을 적용해야 한다. 에너지보존법칙을 먼저 적용하면 \[ pc+m_0 c^2=p'c+E_e' \] \[ \begin{equation} \label{eq1} (p-p'+m_0 c)^2=\left( \frac{E_e'}{c} \right)^2 \end{equation} \]

운동량보존법칙에 의하면 \[ \vec{p} - \vec{p}' = \vec{p}_e' \] 이고, 이를 제곱하면, \[ p^2 + p'^2 - 2pp' \cos\theta = p_e'^2 \] \eqref{eq1} 식에서 윗식을 빼면, \[ m_0^2c^2 -2pp'+2pm_0 c-2p'm_0 c+2pp'\cos\theta = \frac{E_e'^2}{c^2}-p_e'^2 \] 정리하면, \[ m_0^2c^2 -2p'(p+m_0 c-p\cos\theta) + 2pm_0 c = m_0^2c^2 \] \[ p' = \frac{p}{1+\frac{p}{m_0 c}(1-\cos\theta)} \]

광자의 파장과 운동량관계 $p=h/\lambda$를 이용하여 이 식을 실험에서 결정되는 파장과 산란각 등의 관계로 다시 정리하면 \[ \frac{1}{\lambda'} = \frac{1}{\lambda+\frac{h}{m_0 c}(1-\cos\theta)} \] \[ \lambda'-\lambda = \frac{h}{m_0 c} (1-\cos\theta) = 0.002\,426 ~ (1-\cos\theta) ~(\text{nm}) \]

콤프턴은 파장을 알고 있는 X선 광자를 써서 산란된 광자가 이 식에 맞게 파장이 길어지는 것을 관측하였다. 여기서 $\frac{h}{m_0 c}(=2.426\text{pm})$인자는 콤프턴 파장(Compoton wavelength)으로 파장의 이동량 $\lambda'-\lambda$은 콤프턴 파장의 두 배까지 될 수 있다.

광전효과, 콤프턴 효과 등 원자의 규모에서 이루어진 여러 실험들을 통하여 빛이 입자처럼 행동하는 것을 확인할 수 있었고, 이는 이후 입자도 파동처럼 행동한다는 물질파의 개념을 이끌어내어 양자역학이라는 새로운 세계로 점점 빠져들게 되었다.

[질문1] 전자의 되튄각 $\phi$가 광자의 되튄각 $\theta$와 다음 관계를 가지는 것을 보여라. \[ \cot \phi = (1+\alpha) \tan \theta/2 \] 여기서와 계속되는 문제에서 $\alpha = E_0 /m_0 c^2$로 전자의 정지질량에너지에 대한 입사 광자의 에너지의 비이다. $E_0=h\nu$를 MeV로 나타내면 $\alpha = h\nu/0.511$이다.

[질문2] 콤프턴 효과에서 100 keV의 광자가 전자와 충돌하여 90도로 산란하였다. 충돌 후의 광자의 에너지, 전자의 되튐운동에너지, 전자의 되튐방향을 계산하라.

[질문3] 콤프턴 효과에서 되튀는 전자의 운동에너지($K$)가 입사하는 광자의 에너지($E_0$)로 다음과 같이 되는 표현되는 것을 보여라. \[ K = \frac{(1-\cos \theta) E_0}{1-\cos \theta + mc^2/E_0} = E_0 \frac{\alpha (1-\cos\theta)}{1+\alpha (1-\cos\theta)} \]

[질문4] 전자에 최대의 운동에너지가 전달되는 경우가 $\theta=\pi$, $\phi=0$인 경우인 것을 보여라. 이 경우의 전자가 가지게 되는 운동에너지가 \[ K_\text{max} = h\nu \frac{2\alpha}{1+2\alpha} \] 인 것을 보여라. 또한 이 경우가 되튄 광자의 에너지는 최소값으로 \[ h\nu'_\text{min} = h\nu \frac{1}{1+2\alpha} \] 인 것을 보여라. 여기서는 입사 광자의 에너지 $E_0$를 $h\nu$로 표시하였다.

[질문5] 전자의 되튄각 $\phi$을 $\lambda$와 $\lambda'$으로 표현하라.

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