전자기파 복사

금속에서의 전자기파

줄 발열에 의해 전자기파의 진폭이 감쇠한다.

금속은 내부에 거의 마음대로 움직일 수 있는 자유전자가 있어서 이것이 전기장에 의해 힘을 받아서 전류를 만들게 된다. 따라서 진공에서나 유전체에서 파동이 진행하는 양상과 달라진다. 앞서 진공이나 유전체에서의 $\mathbf{J}=0$이라는 가정을 쓰지않고 파동방정식을 다시 유도하도록 한다. 도체에서의 맥스웰 방정식은, \[ \eqalign{ \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E}&=& 0 \\ \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B}&=& 0 \\ \mathbf{\nabla} \times \mathbf{E}&=& -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B}&=& \mu \varepsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \mu \frac{\partial \mathbf{J}}{\partial t} } \] 이고, 옴의 법칙 \[ \begin{equation} \label{eq0} \mathbf{J} = \sigma \mathbf{E} \end{equation} \] 을 만족한다. 여기서 $\sigma$는 전기전도도이다. $\mathbf{E}$에 대한 파동방정식으로 정리한다. \[ \nabla^2 \mathbf{E} = \varepsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} + \mu \sigma \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \] 이 식에는 유전체의 파동방정식에서 오른쪽 마지막 항, 즉 시간에 대한 1차 미분이 추가되어 있다. 이는 __'감쇠조화진동자의 해석'__에서처럼 감쇠력이 작용하는 조화진동자의 모형과 유사하다. 도체의 경우에도 전자기파가 가진 전기장에 의해 전류가 흐르고, 이 전류에 의한 발열로 파의 에너지가 열로 바뀐다.

이제 도체에서 특정한 진동수의 평면파가 $y$ 방향으로 전파하는 다음의 파동을 생각하자. \[ \mathbf{E} (\mathbf{r}, t) = \mathbf{E}_0 e^{i({\cal K}y-\omega t)} \] 이를 위의 파동방정식에 대입하면 \[ \begin{equation} \label{eq1} {\cal K}^2 = \varepsilon \mu \omega + i \mu \sigma \omega \end{equation} \] 으로 $\sigma$ 항이 있어서 파수의 항처럼 도입한 ${\cal K}$가 실수가 아니다. 이의 의미를 더 살펴보기 위해서 \[ {\cal K} = \sqrt{\varepsilon \mu \omega + i \mu \sigma \omega} = k + i \alpha \] 로 놓으면, \[ \begin{equation} \label{eq2} \mathbf{E} (\mathbf{r}, t) = \mathbf{E}_0 e^{-\alpha y} e^{i(ky-\omega t)} \end{equation} \] 이 된다. ${\cal K}$의 실수값 $k$은 보통의 파수의 의미를 가지지만 $\alpha$의 항은 소멸파에서처럼 진폭이 지수함수로 줄어드는 것을 나타낸다. 즉, 도체에서의 파동이 진행함에 따라 \[ \begin{equation} \label{eq3} I(y) = I_0 e^{-2\alpha y} \end{equation} \] 로 감쇠하면서 진행한다. 여기서 $2\alpha$는 흡수계수(absorption coefficient)라도 한다. 파의 세기는 $y = 1/2\alpha$ 진행하면 $e^{-1} \approx 0.368$ 비율로 줄어들어 이를 표피깊이(skin depth) 혹은 침투깊이(penetration depth)라 한다.

\eqref{eq0} 식은 전기장이 시간에 따라 천천히 변할 때 성립한다. 가시광선과 같이 진동수가 높을 때는 이러한 가정이 수정되어야 하는 데 자유전자의 움직임이 완전히 자유롭지는 못하여 충돌에 의해 마찰력이 작용하는 경우로 볼 수 있는 것이 그중 하나이다. 또한 원자에 속박된 전자가 주기적인 전기장으로 강제진동하는 것도 고려해야 한다.

[질문1] 전기전도도가 큰 좋은 도체는 $\sigma \gg \varepsilon \omega$이다. (특히 낮은 진동수의 영역에서) 이 경우 \[ k \approx \alpha \approx \sqrt{\frac{\mu\sigma\omega}{2}} = \sqrt{\pi \nu \mu \sigma} \] 가 되는 것을 보여라. 여기서 $\nu$는 전자기파의 진동수이다.

[질문2] 구리는 전기전도도가 $5.96 \times 10^7 \text{S/m}$으로 질문 1의 결과를 적용할 수 있다. 이의 $\nu =$ 60 Hz의 전자기파에 대한 표피깊이는 얼마일까? (구리의 $\varepsilon$과 $\mu$는 진공의 경우와 거의 같다. 또한 전도도의 단위 $\text{S/m}$의 $\text{S}$는 $\Omega$의 역인 siemens이다. 이를 $\mho$처럼 $\Omega$를 뒤집어서 표기하여 mho라고 읽기도 한다)

[질문3] \eqref{eq2} 식을 검증하라.

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