강제진동

강제진동

용수철에 매달린 물체를 끌어서 가만히 두게 되면 진동을 계속해서 하게된다. 이렇게 평형상태에서 벗어난 상태에서 그대로 방치하게 되는 경우를 자유진동이라 한다. 한편 그 물체에 또다른 힘을 주게 되면 물체는 진동계와 외부의 힘이 어우러져 진동의 형태가 달라지게 된다. 이렇게 진동계에 다른 힘을 부과하는 것을 강제진동(forced oscillation)이라 한다.

강제진동에서의 외부에서 주어진 힘이 일정할 경우에는 자유진동의 양상과 다를 것이 없지만 그 힘이 주기적으로 주어지는 경우에는 특이한 현상이 나타나게 된다. 예를 들어 높은 고층건물에 주기적으로 바람이 불어오는 경우에 그 주기가 어떤 조건을 충족하게 되면 진동의 범위가 매우 커져서 탄성으로 감당하지 못하고 파국이 오는 경우가 있다. 또한 교량을 행군으로 건너는 경우 군인의 행보가 어떤 규칙을 가지게 된다면 교량이 크게 진동을 하여 교량이 파괴될 가능성이 있다.

_ 감쇠력_ 주기_ 진동_ 저항

강제진동의 운동 해석

강제력이 주기적으로, 특히 sin 함수꼴로 주어질 때에 대한 해석은 물리학에서나 공학에서 매우 중요하다. 힘이 $F_0 \cos \omega t$의 형태로 주어질 때 계의 운동방정식은 \[ m \frac{d^2 x(t)}{dt^2} + b \frac{dx(t)}{dt} + kx(t) = F_0 \cos \omega t \] 이러한 종류의 방정식을 비등차 미분방정식이라 하는 데 이의 해는 등차의 일반해에 이 비등차의 특수해를 더한 것으로 표현된다. 한편 등차의 일반해는 감쇠진동을 하여 시간이 지남에 따라 $x=0$ 으로 가게 되어 시간이 흐른 후의 행동은 위 방정식의 특수해를 해석하는 것으로 충분하다. 이렇게 시간이 지남에 따라 소멸되는 운동을 과도운동(transient overshoot)이라 하고, 외부의 강제력에 의해서 지속적으로 운동하는 것을 정상상태라 한다.

위 방정식의 강제력의 항을 일단 다음과 같이 복소수로 표현하여 풀이하고, 실제의 운동은 이의 실수성분을 추출하여 해석하면 문제에 대한 접근이 보다 쉬워진다. \[ m \frac{d^2 x(t)}{dt^2} + b \frac{dx(t)}{dt} + kx(t) = F_0 e^{i\omega t} \] 추측하는 (특수)해로서 \[ x(t) = x_0 e^{i\omega t} \] 로 놓고 이를 만족하는 $x_0$를 구하여 정리하면, \[ x(t) = \frac{(F_0 /m) e^{i\omega t}}{\omega_0^2 - \omega^2 + 2 i \gamma\omega} \] 이다. 여기서 $\omega_0$ 는 고유진동수, $\gamma$는 감쇠력에 비례하는 항으로 \[ \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \quad\quad \gamma= \frac{b}{2m} \] 이다. 앞에서의 복소수로 표현된 $x(t)$의 실수성분을 추출하면 정상상태의 물체의 운동이 된다. \[ x(t) = \frac{F_0}{k} \frac{\omega_0^2}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\gamma^2\omega^2}} \cos(\omega t + \beta) \] 따라서 강제력과 같은 진동수로 진동을 하는 것을 알 수 있고, 단지 $\beta$만큼 위상이 어긋나게 된다. 이 값은 \[ \tan\beta = \frac{2\gamma\omega}{\omega_0^2-\omega^2} \] 의 관계가 있다. $x(t)$의 진폭항을 보면 알 수 있듯이 $\omega$가 $\omega_0$로 접근하게 되면 진폭이 매우 커지게 된다. 물론 최대의 진폭을 가진 강제진동수는 이 고유진동수의 지점보다 조금 아래에 있지만 이렇게 진동이 극대화 되어 나타나는 현상을 공명(resonance)이라 한다. 만일 계의 감쇠요인이 작다면 이 진폭은 매우 커져서 진동계 자체가 파괴되는 파국이 일어날 수 있다.

_ 감쇠조화진동_ 고유진동수_ 감쇠진동_ 감쇠계수_ 정상상태_ 감쇠력_ 복소수_ 진폭_ 위상_ 주기