감마붕괴

감마붕괴의 고전론

가속 전하가 전자기파를 방사한다.

감마붕괴는 핵에서 전자기파의 일종인 감마선이 방출되는 현상이므로 고전전자기의 전자기파 방사현상으로 어느 정도 이해할 수 있다. 고전론에서는 점전하가 가속도 $a$로 가속운동을 할 때 다음과 같은 일률로 에너지를 방출한다. \[ P = \frac{dE}{dt} = \frac{\mu_0 e^2 a^2 \gamma^6}{6\pi c} = \frac{e^2 a^2 \gamma^6}{6\pi \varepsilon_0 c^3} \] 여기서 $\gamma$는 로렌츠 인수로서 이 경우는 진동하는 핵의 양성자가 광속에 비해서 훨씬 느려서 1로 둘 수 있다. $\gamma = 1$인 비상대론적인 영역에서의 관계식은 1897년 라모(J. J. Larmor)가 유도하여 이를 라모 공식(Larmor formula)이라 한다. 위 공식은 라모 공식을 상대론을 고려하여 리에나르(A. Lienard)가 일반화시킨 것이다. 이는 퍼져있는 전하의 분포에서는 맞지 않는 데 각 부위에서 방사된 전자기파가 서로 간섭하는 것이 고려되어야 하기 때문이다.

이제 핵 속의 양성자가 특정한 진동수 $\omega$, 진폭은 핵의 반경으로 진동한다고 하자. 즉, \[ r(t) = R \cos \omega t \] 따라서 \[ a(t) = -R\omega^2 \cos \omega t \] 이다. 이렇게 단진동하는 양성자가 방출하는 일률의 평균값은 \[ P_{\mathrm{avg}} = \frac{\mu_0 e^2 R^2 \omega^4}{12\pi c} \] 으로 여기서 $\cos^2 \omega t$의 시간평균이 $\frac12$이라는 것을 이용하였다.

핵에서 방출되는 감마선은 전자기파이기도 하지만 한편으로는 이의 양자, 즉 광자로 방출된다. 각각의 광자는 이 과정의 평균수명인 $T_{\mathrm{avg}}$에 방출이 이루어지는 것으로 생각할 수 있다. 따라서 \[ \frac{dE}{dt} \approx \frac{\hbar \omega}{T_{\mathrm{avg}}} \] 으로 볼 수 있다. 이를 고전론의 $P$와 관련시켜서 붕괴상수를 계산하면 \[ \lambda_\gamma = \frac{1}{T_{\mathrm{avg}}} \approx \frac{\mu_0 e^2 \omega^3}{12 \pi c \hbar} R^2 = \frac{\mu_0 e^2 E^3}{12 \pi c \hbar^4} R^2 \] 이다. 이 식의 오른쪽의 $E$는 방출되는 광자의 에너지이다.

원자에서 빛이 방출될 때

이 결과를 $R \sim 0.1~\mathrm{nm}$의 규모인 원자에서 1 eV 정도의 광자가 방출된다고 하자. 이 경우 붕괴상수는 \[ \lambda_\gamma \approx \frac{(4\pi \times 10^{-7})(1.602 \times 10^{-19})^2 (1.602 \times 10^{-19})^3 } {12\pi (2.998 \times 10^{8}) (1.055 \times 10^{-34})^4} (0.1 \times 10^{-9})^2 ~ \mathrm{sec}^{-1} \sim 10^6 ~ \mathrm{sec}^{-1} \] 이고 따라서 평균수명은 10^-6 sec 정도이다.

핵에서 빛(감마선)이 방출될 때.

한편, 이 과정이 10 fm의 핵 속에서 1 MeV의 광자를 방출하는 것이라면 붕괴상수는 \[ \lambda_\gamma \approx \frac{(4\pi \times 10^{-7})(1.602 \times 10^{-19})^2 (1.602 \times 10^{-13})^3 } {12\pi (2.998 \times 10^{8}) (1.055 \times 10^{-34})^4} (10 \times 10^{-15})^2 ~ \mathrm{sec}^{-1} \sim 10^{16} ~ \mathrm{sec}^{-1} \] 으로 평균수명은 10^-16 sec 정도가 된다. 이 두 결과를 놓고 보면 핵에서 감마선의 방출이 훨씬 빠르게 일어나는 것을 알 수 있다. 그러나 실제의 감마붕괴는 이러한 추정에 맞는 것도 많지만 감마붕괴의 평균수명이 이보다 훨씬 긴 경우도 있다. 이 현상을 완전하게 이해하려면 계의 대칭성을 반영해서 양자역학으로 다루어야 할 것이다.

_ 로렌츠 인수_ 전자기파_ 붕괴상수_ 평균수명_ 양자역학_ 양성자_ 감마선_ 진동수_ 간섭_ 전하_ 진폭