정상상태

정상상태의 풀이 방법

정상상태의 파동함수의 해를 조합한 것이 시간에 의존하는 원형의 슈뢰딩거 방정식의 일반해가 되기 때문에 정상상태는 수학적으로 하나의 특수해에 불과하다. 그러나 앞서 비정상상태를 살펴본 것처럼 에너지가 다른 두 상태를 조합하면 입자의 확률밀도함수가 진동을 하여 낮은 상태로 곧 전이해버린다. 따라서 안정된 역학적 계는 정상상태에 있다고 볼 수 있다.

정상상태를 구하게 하는 '시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식'은 에너지에 대한 고유방정식으로 해가 존재할 수 있는 $E$가 '특별한' 값이어야 한다. 이것을 에너지 고윳값, 혹은 고유에너지라 하는 데 연속인 값일 수 있고, 앞서 살펴본 상자 속의 입자에서처럼 불연속인 값일 수도 있다.

퍼텐셜이 주어지게 되면 정상상태들이 결정되는 데 이들 사이에 어떤 관계가 있는지 알아본다.

퍼텐셜이 일정한 구간에서는 정현파의 해를 가진다.

퍼텐셜이 어떤 영역에서 일정한 값 $U_0$를 가지면 파동방정식은 다음과 같이 단순한 형태가 된다. $$- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = (E-U_0) \psi(x)$$ 여기서 $$k = \frac{\sqrt{2m(E-U_0)}}{\hbar}$$ 으로 상숫값이다. 이를 이용해서 파동방정식을 다시 쓰면 $$\begin{equation} \label{eq3} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = - k^2 \psi(x). \end{equation}$$

이 방정식의 해는 $$\psi(x) = e^{ikx} \quad \text{and} \quad e^{-ikx}$$ 여기서 처음의 것은 시간에 의존하는 항 $e^{-i\omega t}$를 고려하면 오른쪽으로 흐르는 파동이고 뒤의 것은 왼쪽으로 흐르는 것임을 알 수 있다.

다음 그림은 각각의 방향으로 흐르는 파동함수의 움직임을 보여주고 있다. 두 방향으로의 파동함수는 모두 동일한 에너지를 고윳값으로 가지고 있으므로 축퇴되어 있는 상황인 데 따라서 이 둘이 결합된 상태도 역시 정상상태이다.

한편, 만일 $E \lt U_0$이면 $k$는 허수가 된다. 이 경우 다음처럼 실수 계수 $\kappa$를 도입하여 해석하자. $$\kappa = \frac{\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hbar}$$ 이 경우 방정식과 해는 각각 $$\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = \kappa^2 \psi(x)$$ $$\psi(x) = e^{\kappa x} \quad \text{and} \quad e^{-\kappa x}$$ 이는 $\kappa^2 = -k^2$으로 둔 것과 같다. 이 해는 파동함수가 지수함수적으로 증가하거나 감소하는 형태이다.

퍼텐셜이 불연속인 지점에서도 파동함수는 연속, 미분연속이어야 한다.

공간의 한 지점에서 파동함수는 하나의 값으로 주어져야 하므로 파동함수는 당연히 연속인 함수이어야 한다. 그뿐만 아니라 비록 퍼텐셜이 불연속이라도 미분연속도 되어야 한다. 이는 다음처럼 퍼텐셜의 불연속이 있는 $a$의 주위에 대해서 다음과 같은 적분으로 확인할 수 있다. 즉 $\eqref{eq3}$ 식을 $a - \epsilon \sim a + \epsilon$에 대해 적분하면 $$\left(\frac{d\psi}{dx}\right)_{a+\epsilon} - \left(\frac{d\psi}{dx}\right)_{a-\epsilon} = - \int_{a-\epsilon}^{a+\epsilon} k^2 dx$$ 여기서 $\epsilon$이 0 으로 접근하게 되면 비록 퍼텐셜이 불연속이라도 오른편의 적분값은 0 으로 간다. 한편 왼편 항은 $x=a$를 경계로 한 양쪽에서 함수의 미분값의 차이이므로 다음처럼 미분연속임을 알 수 있다. $$\left(\frac{d\psi}{dx}\right)_{a+\epsilon} = \left(\frac{d\psi}{dx}\right)_{a-\epsilon}$$ 이는 퍼텐셜의 불연속이 유한한 경우에 한한다. 만일 $\delta(x)$나 무한 퍼텐셜장벽이 있는 경우라면 앞의 적분이 0 이 되지 않아서 미분은 일정한 불연속을 가진다. 앞서 상자 속의 입자의 경우 $x=0$과 $x=L$에서 이를 확인할 수 있다.

에너지는 퍼텐셜의 최솟값보다 큰 값을 가진다.

모든 지점에서 퍼텐셜보다 작은 에너지를 가진다면 파동함수가 지수적으로 감소하거나 증가해야 한다. 이러면서 $x$의 무한대의 가장자리에서 이를 충족시킬 수 있는 방법은 없다.

이밖에도 정상상태에 대한 여러 성질들이 있는 데 '정상상태의 수치해석' 단원의 '정상상태의 일반적인 성질'에서 보다 자세하게 다룬다.

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