물질파

물질파의 정상파 상태

상자 속에 갇혀 있는 입자

핵의 원궤도를 돌고 있는 전자는 실제로 파동으로 행동하므로 닫혀있는 경로에 정상파의 형태로 존재하는 것을 알았다. 이와 같은 해석을 양쪽 끝이 막혀있는 1차원 선상(이를 1차원 상자라고 부른다)으로 움직이는 물체의 경우에다가 적용해 보자. 이러한 상황은 아주 좁고 긴 당구대에 당구공을 굴렸을 때 양쪽 끝에서 되튀어서 왕복운동을 하는 경우와 비교해볼 수 있다. 이상적인 상황에서는 마찰이 없는 경우이므로 처음 굴려준 속도를 가지고 끝없이 왕복운동을 거듭할 것이다.

우리가 일상생활에서 관측할 수 있는 것은 고전역학에서 설명하는 대로 아래와 같이 물체는 아무 속력 값이나 가질 수 있고, 따라서 아무 에너지 값이나 가질 수 있다는 점이다.

아래 그림 위를 마우스로 클릭하면 공이 새로운 속력 값을 가지게 된다.

위 그림에서 관측되는 것이 비록 우리가 주변에서 관측할 수 있는 운동의 모습이기는 하지만 근본적으로는 물체가 파동의 속성을 가지고 있으므로 아래 그림처럼 정상파의 형태로만 존재할 수 있다. 현악기를 퉁길 때 일정한 진동만 가능한 것과 본질적으로 다르지 않다.

역시 위 그림 위에 마우스로 클릭하면 새로운 모드로 물질파가 진동하는 것을 볼 수 있다.

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에너지 준위_ 1차원 상자 속에 있는 물체의 에너지 준위로서 바닥상태는 맨 아래의 흰 선이다.

1차원 상자의 길이를 $L$이라 할 때 이 속에 놀 수 있는 정상파의 파장은 \[ \lambda =\frac{2L}{n} \] 이다. 여기서 $n=1,2,3, ...$이다. 운동량과 속력은 각각 다음과 같이 $n$에 비례하게 주어진다. \[ p=\frac{h}{\lambda}=\frac{hn}{2L} \] \[ v = \frac{p}{m} = \frac{hn}{2Lm} \] 이로부터 에너지 값을 구해보면, \[ E_n = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{p^2}{2m} = \frac{h^2 n^2}{8mL^2} \] 수소원자의 경우와는 다르게 여기서는 에너지 준위가 양자수의 제곱, 즉 $n^2$에 따르기 때문에 높은 준위로 올라갈수록 간격이 넓어진다.

[질문1] 반경 $r$인 원형의 좁은 관 속에 전자가 정상파 형태로 존재한다고 하자. 기본진동부터 5개의 정상파의 진동 형태를 그림으로 그려라. 이때 전자가 가질 수 있는 운동량, 에너지를 모드 수 $n$으로 표현해 보라. 이 결과와 '1차원의 갇힌 물질파'의 결과와 비교해 보라. 또한 원형궤도를 도는 것을 가정한 수소원자에서 전자의 경우와 이 경우는 어떤 차이가 있는지 설명하라.

[질문2] 1차원의 상자 속에 갇혀 있는 다음 각각의 상황에서 바닥상태 에너지를 구해보라. (a) 너비가 1 nm의 상자 속에 있는 전자, (b) 너비가 10 nm의 상자 속에 있는 전자, (c) 너비가 10 nm의 상자 속에 있는 양성자, (d) 너비가 0.1 m인 상자 속에 있는 질량 1 kg의 구슬

[질문3] 위 문제에서 (a) ~ (d) 각각 첫 번째 들뜬 상태 ($n=2$)에서 바닥상태로 전이하면서 그 에너지에 해당하는 빛을 낸다고 하자. 이들 빛의 파장은 각각 얼마인가?

_ 퍼텐셜 장벽_ 에너지 준위_ 기본진동_ 바닥상태_ 운동량_ 정상파_ 양성자_ 양자수_ 현악기_ 전이_ 공명_ 파동

물질파의 고전적 극한

대응원리 - 에너지가 높은 정상상태는 고전론으로 회기한다.

상자속의 입자가 띄엄띄엄한 에너지를 가지고 있다는 드브로이의 물질파 개념도 양자수가 커짐에 따라 에너지가 연속적으로 주어진다는 고전론과 배치되지 않는다는 대응원리가 성립하는지 알아보자. 일상생활에서의 상자속의 입자의 경우 그 입자가 파동으로 보이지 않고, 입자 그 자체로 보이는 점 , 갇혀있는 물체의 에너지가 특별히 띄엄띄엄한 것 같지 않은 점 등이 혼란스럽게 하는 부분이다.

이렇게 모순처럼 보이는 현상을 약간이라도 해소하기 위해서 위 상자 속의 물체에 대한 해석을 다음 두 상황에 적용해 보도록 하자.

1. 1 kg의 당구공을 1m 폭을 가진 상자 속에 놓아 왕복운동시킨다.

2. 10^-30 kg로 전자 정도의 질량을 가진 소립자를 10nm의 상자 속에 넣어 왕복운동시킨다.

표에서 볼 수 있는 바와 같이 당구공의 경우 일상생활에서 경험하는 에너지 규모 (~J) 에서는 양자수 n = 10³⁴ 정도로, 이에 해당하는 물질파의 파장은 거의 10^-33nm 이다. 이 때문에 파동의 효과를 거의 관측할 수 없는 것이다. 또한 이때 에너지 준위 사이의 간격도 10^-34 J 정도로서 에너지 준위가 불연속적으로 존재하는 지를 판별할 방법이 없다.

그러나 소립자의 경우에는 바닥상태에 가까운 에너지도 그 입자의 규모에 대해서는 상당한 에너지에 해당하여 적은 양자수 n 값에서 존재하게 되고, 또한 에너지 준위의 간격도 커서 불연속의 효과가 크게 나타난다.

_ 에너지 준위_ 바닥상태_ 대응원리_ 양자수_ 파동