물질파

보어의 가설 재해석

보어는 1913년 그의 원자모형에서 정상상태의 가설과 진동수 가설을 이용하여 수소원자의 스펙트럼과 에너지 준위를 정확하게 계산할 수 있었다. 전자의 각운동량이 $h/2\pi$ 의 정수 배의 값을 갖는다는 정상상태의 가설은 드브로이의 물질파 이론으로 다음과 같이 해석할 수 있다.

드브로이의 물질파를 수소의 전자에 적용시켜보면 원궤도를 파동으로서의 전자가 돌고 있는 경우로 생각할 수 있다. 이렇게 갇힌 파동은 그 조건에 걸맞은 정상파의 상태로 있을 수 있다는 파동의 일반적인 성질에 따르게 되어 원궤도의 경우에는 원주가 파장의 정수 배인 모드만 허용된다. 이에 따라 \[ 2\pi r=n\lambda \] 의 조건을 부과하면 \[ 2\pi r = n \frac{h}{mv} \] 으로 이는 바로 보어의 정상상태 가설이다.

위 프로그램은 드브로이의 물질파를 보어의 모형에 적용한 그림이다. 그림 위에 마우스를 클릭해 보자. 그 지점의 원궤도로 전자가 존재할 수 있는지를 평가하게 된다. 우선 그 반경에 해당하는 회전속력을 계산하고, 그로부터 전자의 운동량, 물질파 파장을 차례로 구하게 된다.

원주가 파장의 정수 배가 되는 조건이 되면 그림에서 파동이 잘 닫혀진 상태로 보이게 된다. 모든 가능한 상태를 다 찾아서 파동이 뛰노는 모습을 살펴보도록 하자.

[질문1] '물질파와 수소원자' 그림에서는 $n=1$의 고유진동, 즉 기본진동은 나타내지 않았다. 이의 진동 모양을 그림으로 나타내 보아라.

[질문2] 수소원자의 전자가 원형 고리가 만드는 정상파 형태로 존재한다고 해석할 때, 각 진동 모드가 홀수 개의 마디를 가지지 못하고 반드시 짝수 개의 마디를 가지는 이유를 설명하라.

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