슈뢰딩거 파동방정식

선형성과 중첩성

여느 파동처럼 중첩의 원리가 성립된다.

슈뢰딩거 방정식은 보통의 파동처럼 중첩의 원리가 성립된다. 이는 슈뢰딩거 방정식이 선형(linear)이기 때문이다. 즉 파동함수 $\Psi_1$과 $\Psi_2$가 각각 슈뢰딩거 방정식을 만족한다면 다음과 같이 이 둘을 선형결합한 파동함수도 슈뢰딩거 방정식을 만족한다. $$\begin{equation} \label{eq1} \Psi = c_1 \Psi_1 + c_2 \Psi_2 \end{equation}$$ 여기서 $c_1$과 $c_2$는 복소수 상수이다. 즉 두 개의 파동이 공존하고 있으면 이들 파동함수를 단순히 더한 (중첩한) 파동함수가 실제의 파동함수이다. 이는 파동의 중요한 성질인 중첩성으로 '파동'의 '중첩의 원리' 단원에서 다루었다. 따라서 여느 파동처럼 중첩의 원리로부터 파생되는 여러 가지 파동의 특질을 그대로 가지고 있다.

전자는 동시에 두 슬릿을 통과한다

중첩의 원리로부터 파동 두 개 이상이 어우러졌을 때의 간섭현상을 설명할 수 있다. 다음 그림처럼 두 개의 슬릿의 왼편에서 오른편으로 전자가 쬐는 상황을 고려해 보자. 전자는 슬릿 중 열린 곳을 통과하여 오른편의 스크린에 도달하여 사진건판에 흔적을 남긴다. (이와 비슷한 상황을 파동의 '수면파의 간섭' 단원과 빛의 '이중슬릿 간섭'에서 취급하였다)

'위 슬릿만 열기'만 선택하면 위 슬릿이 열리고 아래는 닫힌다. 이때 스크린 위치에서의 파동함수를 $\Psi_1$이라 하자. 또한 '아래 슬릿만 열기'를 선택하면 반대로 되어 파동함수는 $\Psi_2$이 된다. 각각에 대해 스크린의 각 지점에서의 입자를 발견할 확률은 $$P_1 = |\Psi_1|^2$$ $$P_2 = |\Psi_2|^2$$ 이다.

슬릿 둘 다 열린다면 어떻게 될까? 위 그림에서 '빔발사' 버튼을 눌러서 실험을 해 보자. 이때 전자가 슬릿을 통과할 때 어느 슬릿을 통과하는지 알 수 없게 전자가 보이지 않도록 감추었다. 여기서 전자를 조그마한 입자로 표현한 것은 단지 효과를 보이기 위한 것으로 실제로는 상당히 넓은 범위에 걸쳐있는 파동묶음으로 존재한다. 따라서 전자가 어느 슬릿을 통과하는지를 다른 방법으로 측정해 버린다면 스크린에서의 간섭의 효과는 사라지게 될 것이다.

'슬릿 모두 열기'에서 파동함수는 각각의 슬릿이 열렸을 때의 파동함수의 중첩으로 다음과 같이 선형결합된 상태이다. $$\Psi = \Psi_1 + \Psi_2$$ 따라서 스크린에서의 전자가 발견되는 확률은 $$\eqalign{ P &=& |\Psi|^2 = |\Psi_1 + \Psi_2|^2 = (\Psi_1^* + \Psi_2^*)( \Psi_1 + \Psi_2) \\ &=& \Psi_1^*\Psi_1 + \Psi_2^*\Psi_2 + \Psi_1^*\Psi_2 + \Psi_2^*\Psi_1 \\ &=& P_1 + P_2 + 2\Re(\Psi_2^*\Psi_1 ) }$$ 마지막 식에서 단지 $P_1 + P_2$만 나타난다면 특이할 것이 없는 고전역학의 상황이다. 그러나 $2\Re(\Psi_2^*\Psi_1)$이 있어서 스크린에서의 간섭무늬가 나타나는 것이 설명된다. 즉, 슬릿이 둘 다 열렸을 때는 각각이 열린 경우의 확률함수 $P_1$과 $P_2$가 합해지는 것이 아니라 각각의 파동함수가 합해져서 이로부터 확률이 계산되어야 하는 것이다. 이에 따라 확률은 각각이 양(+)의 값을 가짐에도 불구하고, 0 이 될 수도 있는 것이다.

[질문1] 슈뢰딩거 방정식이 선형이라는 것을 증명하라. 즉, 1차원 슈뢰딩거 방정식을 만족하는 $\Psi_1$과 $\Psi_2$가 있을 때 이들을 선형결합한 파동함수인 $\eqref{eq1}$ 식도 역시 1차원 슈뢰딩거 방정식을 만족하는 것을 확인하면 된다.

[질문2] 입자의 행동은 슈뢰딩거 방정식을 만족하고, 이는 미분방정식이므로 어떤 주어진 시간의 파동에 대한 완전한 정보를 가지고 있다면 시간에 따라 파동함수가 변하는 양상을 완전하게 추정할 수 있다. 이것이 불확정성원리와 배치되는가?

[질문3] 이중슬릿이 만드는 간섭을 수면파에 대해서는 '물결통 실험의 모의실험' 단원에서 빛에 대해서는 '이중슬릿 간섭' 단원에서 다루었다. 기존 파동과 물질파의 간섭이 가지고 있는 비슷한 점과 차이점을 비교해 보자.

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