두꺼운 렌즈

지금까지 다룬 렌즈는 두께를 무시할 수 있는 경우로서 이때에는 비교적 단순한 공식으로 렌즈에서의 광선의 행동을 이해할 수 있었다. 그러나 실제의 렌즈는 두께를 가지고 있을 수 밖에 없고, 특히 볼록렌즈의 경우 가운데가 볼록하므로 곡률반경이 작아지면 광축에서의 두께는 이제 무시할 수 없게 된다. 이를 두꺼운 렌즈(thick lens)라 하여 얇은 렌즈(thin lens)와 구별한다.

렌즈의 두 면에서의 굴절을 주요면 한 면에서의 굴절로 볼 수 있다.

두꺼운 렌즈에서도 한 점에서 나온 빛이 평행광선이 되는 물체초점과 평행광선이 한 점에 모여드는 상초점을 도입할 수 있는 데 일반적으로 이 두 지점은 렌즈의 중심에 대해 대칭의 점이 아니다. 따라서 하나의 초점거리를 도입하기가 어렵게 되는 데 이러한 난점을 해소할 수 있는 방법으로 두 종류의 주요면(principal plane)을 도입한다. 주요면은 렌즈의 앞뒤 표면에서 두 번 굴절하는 것을 한 번의 굴절로 해석할 수 있는 가상적인 면으로 아래 그림들에서 볼 수 있는 것처럼 일반적으로 곡면이다. 주요면으로는 물체초점에서 나온 빛에 대한 것이 제1주요면(first principal plane)이다. 또 다른 하나는 광축에 나란한 평행광선에 대한 것이 제2주요면(second principal plane)이다.

실제로 물체초점에서 나온 빛이 렌즈의 중심에서 멀리 벗어나서 굴절하는 경우 광축에 나란한 평행광선이 되지 않는다. 마찬가지로 평행광선이 입사하더라도 역시 중심에서 벗어난 경우에는 상초점으로 모여들지 않는다. 따라서 일반적으로 두 주요면은 평면이 되지 않고 광축에 대해 회전대칭인 곡면을 이루게 될 것이다.

아래 두 프로그램은 주요면을 광선추적으로 결정하는 방식을 보여준다. '리셋' 버튼으로 임의의 곡률과 두께를 가진 렌즈가 생성되며 각각 물체초점에서 나온 구면파와 평행광선이 렌즈에 입사하여 굴절하며 최종적으로 한 번의 굴절로 볼 수 있는 지점을 결정하여 이를 이어서 곡면을 형성하게 된다. 그림에서는 녹색의 곡선이 주요면이다. 한편 두꺼운 렌즈라 하더라도 근축광선의 행동은 비교적 명확하다. 즉 물체초점에서 나온 빛은 평행광선이 되고, 아울러 평행광선은 상초점에 정확하게 모여든다. 그리고 이 광선에 대한 주요면은 거의 평면이다. 화면에서 이 평면을 푸른 수직의 직선으로 나타내었고, 아울러 그 위치도 표시하고 있다. (그림을 '크게보기'로 하면 주요면이 결정되는 원리를 보다 자세히 살펴볼 수 있다)

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두꺼운 렌즈의 제1주요면_두꺼운 렌즈의 초점에서 나온 빛이 두꺼운 렌즈에 입사해서 평행광선으로 나간다. 렌즈의 굴절률은 1.5, 배경은 1.0으로 고정하였고, '리셋'을 누를 때마다 렌즈의 곡률반경과 두께가 임의의 값으로 바뀌어 지면서 광선의 진행을 볼 수 있다.

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두꺼운 렌즈의 제2주요면_두꺼운 렌즈에 평행광선이 두꺼운 렌즈에 입사해서 초점에 모여든다. 렌즈의 굴절률은 1.5, 배경은 1.0으로 고정하였고, '리셋'을 누를 때마다 렌즈의 곡률반경과 두께가 임의의 값으로 바뀌어 지면서 광선의 진행을 볼 수 있다.

주요면으로부터의 두 초점거리는 동일하게 주어진다.

주요면을 도입한 이유는 무엇일까? 렌즈가 두꺼워지면서 초점거리를 매기는 기준점이 모호해진다. 우선 각 정점 $V_1$과 $V_2$로부터 각 초점까지의 거리를 매길 수 있다. 렌즈의 앞 경계면에서 물체초점까지의 거리가 제1초점거리라 하고, 렌즈의 뒤 경계면에서 상초점까지의 거리를 제2초점거리라 한다. 이들은 각각 두 렌즈의 조합에서와 같이 전방초점거리(front focal length, FFL)와 후방초점거리(back focal length, BFL)라 하기도 한다. 예를들어 후방초점거리는 다음과 같이 조금 복잡한 공식으로 표현된다. \[ \frac{1}{\text{BFL}} = (n-1) \left[ \frac{1}{R_1} \left( \frac{1}{1- \frac{n-1}{n} \frac{d}{R_1}} \right) - \frac{1}{R_2} \right] \] 이는 '렌즈에서의 빛의 굴절'의 $s_{01}$와 $s_{i2}$의 관계식에서 $s_{o1} = \infty$와 $s_{i2}=\text{BFL}$로 놓은 것이다. 한편 $R_1 \rightarrow -R_2$, $R_2 \rightarrow -R_1$로 하면 대칭성에 의해 FFL에 대한 관계로 될 것이다.

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두꺼운 렌즈의 주요면_두꺼운 렌즈의 두 주요면을 작도로 보여준다. 아래 위는 모두 동일한 렌즈로 위 그림에서 제2주요면을, 아래 그림에서 제1주요면을 작도하고 있다. 따라서 위의 상은 상초점을, 아래의 상은 물체초점의 위치를 보여준다. 편의상 아래 그림을 생성할 때에는 오른쪽에서 왼쪽으로 진행하는 광선으로 하였으나 실제로는 반대 방향으로 진행하는 빛으로 이해하면 된다. 이 그림으로 제1주요면과 상초점까지의 거리와 제2주요면과 물체초점과의 거리가 항상 거의 같게 계산되는 것을 알 수 있다.

이와 같이 두 초점거리가 서로 다른데 초점거리를 주요면과의 거리로부터 매긴다면 두 초점과의 거리가 일치하는 흥미로운 결과가 나온다. 즉 제1주요면으로부터 물체초점과의 거리와 제2주요면과 상초점까지의 거리가 같아지는 것이다. 따라서 이를 그저 초점거리라고 부를 수 있게 되는 데 이는 다음과 같이 주어진다. \[ \frac{1}{f} = (n-1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} + \frac{(n-1)d}{n R_1 R_2} \right] \]

이제 제1주요면에서 물체까지의 거리를 $s_o$, 제2주요면에서 상까지의 거리를 $s_i$라 한다면 두 거리에 대한 관계는 다시 가우스 렌즈공식으로 돌아간다. \[ \begin{equation} \label{eq3} \frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i} = \frac{1}{f} \end{equation} \]

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두꺼운 렌즈의 결상_두꺼운 렌즈에서 물체의 결상에 대한 도해이다. 그림에서 두꺼운 렌즈의 중요한 지점, 거리 등의 기호를 보여주고 있으며, 왼쪽 물체에서 나온 세 가닥의 광선이 상을 맺는 것을 결정하는 과정을 보여준다. 기하광학에서 부호의 약속을 따라서 음양의 부호를 매기되 $h_1, h_2$는 모두 각 정점 $V_1, V_2$의 오른편에 있을 때를 양으로 삼도록 한다.

위 그림은 두꺼운 렌즈에서 물체의 상을 작도하는 방법과 각각의 거리에 대해 기호로 표시하는 방법을 보여준다. 두꺼운 렌즈가 가지고 있는 특별한 점으로 물체초점($F_o$), 상초점($F_i$)이 있고, 또한 주요면이 광축과 만나는 주요점(principal point)이 있다. 주요점은 제1주요면과 만나는 제1주요점($H_1$)과 제2주요면과 만나든 제2주요점($H_2$)이 있다. 한편 렌즈의 광심을 통과하는 광선은 입사광선과 나란한 방향으로 나가게 되는 데 입사광선과 출사광선을 연정한 선이 광축과 만나는 두 개의 점이 마디점(nodal point)이다. 렌즈를 공기 중에서 사용하는 보통의 경우처럼 렌즈의 앞뒤 매질의 굴절률이 같은 경우에는 이 두 마디점이 두 주요점과 일치하게 된다. 따라서 주요면의 성질, 광심의 성질 등을 이용하면 얇은 렌즈에서와 비슷하게 세 광선으로 상이 맺는 지점을 정할 수 있다.

1. 광축에 나란한 광선은 제2주요면에서 굴절해서 상초점($F_i$)으로 향한다.

2. 물체초점($F_o$)을 지난 광선은 제1주요면에서 굴절해서 광축에 나란하게 진행한다.

3. 제1주요점($H_1$)으로 입사한 광선은 제2주요점($H_2$)에서 그 방향이 변하지 않고 진행한다.

[질문1] 상초점거리를 제2주요면에서, 물체초점거리를 제1주요면에서 재면 두 값이 일치하는 것을 보여라.

[질문2] 얇은 렌즈는 렌즈의 위치와 두 주요면이 일치하는 것을 설명하라.

[질문3] 상과 물체초점거리를 $f$라고 했을 때 결상관계가 \eqref{eq3} 식으로 주어지는 것을 검증하라.