렌즈의 조합

허물체의 결상

렌즈가 여러 개 나열되어 있을 때 한 렌즈를 거친 물체의 상이 다음 렌즈의 뒤에 맺히는 경우가 있다. 앞의 렌즈 입장에서 이것은 실상이지만 그 다음 렌즈의 입장에서는 물체로서 허물체( 렌즈가 없었다면 광선이 모여드는 것으로 가상의 물체)가 될 것이다. 이 허물체의 경우에도 렌즈의 결상 작도법이 실물체와 마찬가지로 성립하되 약간 주의할 필요가 있다.

아래 그림은 볼록렌즈 오른편에 허물체가 있을 때 이것의 상을 작도하는 법을 보여주고 있다. 실물체와 마찬가지로 광축에 평행한 광선, 앞초점을 통과하는 광선, 렌즈 중심을 통과하는 광선을 이용하여 작도한다. 아래 그림에서 1번은 광축에 평행한 광선으로 허물체를 향하다가 렌즈를 만나서 뒤초점으로 굴절한다(5번 광선으로). 한편 렌즈의 앞초점을 통과하여 허물체쪽으로 향하던 3번 광선은 렌즈를 통과한 후 평행광선으로 굴절한다(4번 광선으로). 그리고 렌즈의 중심을 통과한 2번 광선은 그대로 직진하므로 상의 위치를 거친 후 허물체로 같이 향하게 될 것이다. ("렌즈의 상" 참조)

_ 렌즈의 결상_ 볼록렌즈_ 실상_ 광축_ 광선

두 렌즈의 조합

아래 그림은 볼록렌즈 두 개를 나란히 두어 두 렌즈를 거친 물체의 상이 맺혀지는 것을 작도하는 과정을 보여주고 있다. 첫 번째 렌즈가 실물체의 상을 실상으로 두 번째 렌즈를 지난 위치에 맺고 있다(중간상으로 표시한 곳). 이 중간상은 두 번째 렌즈에 의해 다시 굴절되어 최종상을 맺는 과정은 앞에서 설명한 그대로의 작도법을 따르되 두 광선만 추적하면 한 점을 결정할 수 있으므로 아래 그림처럼 2차 작도로서 4선과 5번 선을 추가로 그어주면 된다.

위와 같이 물체의 상이 실상으로, 그 실상이 허물체의 입장에서 실상으로 맺혀지는 경우도 있지만 [물체]→[실상:실물체]→[실상], [물체]→[허상:실물체]→[허상] 등 다양한 경우가 생길 수 있을 것이다.

두 렌즈를 조합하여 만든 현미경이나 망원경은 보통 [(실)물체]→[실상:실물체]→[허상] 의 형태가 된다. 이 허상은 다시 우리의 눈이나 카메라로 들어가서는 실물체로 행동하여 실상을 맺게 되어 눈을 통하여 물체를 인식하게 하거나 필름을 감광시켜 형상을 만들어 주게 된다.

수식으로의 전개

위와 같이 작도로 결상지점을 찾을 수도 있으니 이를 식으로 전개하는 것도 필요하다. 즉, 두 렌즈의 초점거리가 각각 $f_1,~f_2$이고, 이들이 $d$만큼 떨어져 있다고 하자. 우선 왼쪽의 첫째 렌즈에서의 결상은 \[ \frac{1}{s_{o1}} + \frac{1}{s_{i1}} = \frac{1}{f_1} \] 인 데 이를 \[ \begin{equation} \label{eq1} s_{i1} = \frac{s_{o1} f_1}{s_{o1}-f_1} \end{equation} \] 으로 표시하는 것도 때로는 유용하다. 이 식에서 $s_{i1}$와 $s_{o1}$를 바꾸어 쓸 수도 있다. 한편, 오른쪽 렌즈의 결상도 위의 식들과 마찬가지어서 \[ \begin{equation} \label{eq2} s_{i2} = \frac{s_{o2} f_2}{s_{o2}-f_2} \end{equation} \] 이다. 이때 왼쪽 렌즈의 상은 오른쪽 렌즈의 물체로 되므로 \[ \begin{equation} \label{eq3} s_{o2} = d - s_{i1} \end{equation} \] 이다. 여기서 물체는 렌즈 왼쪽으로 있을 때를 $+$로 하는 부호의 약속을 고려하였다. 이제 \eqref{eq1} ~ \eqref{eq3}의 세 식으로부터 계산의 중간과정에 필요한 $s_{i1}$과 $s_{o2}$를 소거하여 실제 물체의 위치와 렌즈의 제원과 배치로부터 최종상의 위치를 구하면 \[ \begin{equation} \label{eq4} s_{i2} = \frac{f_2d(s_{o1}-f_1)-f_2s_{o1}f_1} {(d-f_2)(s_{o1}-f_1)-s_{o1}f_1} \end{equation} \] 이 된다.

앞의 결과는 좀 복잡하지만 이것도 둘이 조합되어서 나타낸 초점을 도입하여 비교적 단순하게 해석할 수 있다. 즉, 평행광선이 입사했을 때 한 점에 모이는 지점을 후방초점(back focus)이라 하면, \[ \begin{equation} \label{eq5} \frac{1}{\text{BFL}} = \frac{1}{s_{i2}} \Bigg|_{s_{o1}=\infty} = \frac{d-(f_1+f_2)}{f_2(d-f_1)} \end{equation} \] 이다. 여기서 $\text{BFL}$는 오른쪽 렌즈로부터 상 지점까지의 거리로 후방초점거리(back focal length; BFL)라 한다. 이의 반대의 경우로서 한 점에서 나온 광선이 평행광선으로 나아갈 때의 왼편렌즈로부터의 거리를 전방초점거리(front focal length; FFL)라 하는 데, 이는 \eqref{eq4}에서 1과 2의 역할을 바꾸어서 쉽게 계산할 수 있다. \[ \begin{equation} \label{eq6} \frac{1}{\text{FFL}} = \frac{1}{s_{o1}} \Bigg|_{s_{i2}=\infty} = \frac{d-(f_1+f_2)}{f_1(d-f_2)} \end{equation} \] 만일 $d=0$로 두 렌즈가 밀착되어 있다면, $\text{BFL}$과 $\text{FFL}$이 일치하며 하나의 얇은 렌즈와 대응된다. 조합된 렌즈의 초점거리는 \[ \begin{equation} \label{eq7} \frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} \end{equation} \] 으로 표현된다.

[질문1] \eqref{eq4} 식으로부터 직접적인 방법으로 \eqref{eq6} 식을 검증하라.

[질문2] 셋 이상의 렌즈가 밀착된 경우에 대한 초점거리에 대해 \eqref{eq7}을 일반화해서 표현하라. (단 각각의 렌즈는 $f_1, f_2, \cdots~$의 초점거리를 가진다)

[질문3] 예를 들어 $f_1 = 100~\text{cm}$와 $f_2 = 50~\text{cm}$의 렌즈가 $d=10~\text{cm}$의 거리 떨어져 있다. 이 조합에 대한 후방초점거리와 전방초점거리를 계산하라.

[질문4] 질문3의 렌즈에 $s_{01} = 150~\text{cm}~$, $y = 10~\text{cm}~$의 물체가 있다. 이에 대해 작도법으로 결상위치를 결정하라. 만일 $f_1$과 $f_2$의 렌즈가 교환되어 있다면 결상위치가 어떻게 될까?

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