파동의 회절

프레넬-키르히호프 회절이론

호이헨스 원리를 엄밀히 검증한다.

어떤 폐곡면을 생각했을 때 그 폐곡면을 통과하는 파동함수를 알고 있다면 폐곡면 내부에 형성되는 파동의 분포는 원칙적으로 계산해 낼 수 있을 것이다. 이는 하나의 경계값 문제로서 폐곡면을 통하여 유입된 파동이 내부에서 하나의 파동형태를 결정하는 것이다.

이러한 접근방법을 통하여 프레넬, 키르히호프 등은 파동의 회절현상을 완전하게 이해할 수 있었다. 즉 파동이 일정한 영역이 열려있는 창을 통하여 통과하였을 때 창 너머의 임의의 점에서의 파동함수의 형태를 계산하는 회절공식을 유도하였고 이를 빛의 여러 회절현상에 적용하여 그 적합성을 확인할 수 있었다.

아래의 파동방정식을 만족하는 파동함수 $\Psi$와 $\Phi$가 있다고 하자. \[ \nabla^2 \Psi = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}. \] $\Psi$와 $\Phi$는 다 같이 $e^{\pm i \omega t}$의 인자를 가지고 있을 때 이 파동방정식은 다음과 같은 헬름홀츠 방정식을 만족한다. \[ \nabla^2 \Psi = -\frac{\omega^2}{v^2}\Psi. \] 그린의 적분정리(Green Theorem)를 이들 두 파동함수에 적용하면 \[ \begin{equation} \label{eq3} \oint_A (\Phi \vec{\nabla}\Psi -\Psi \vec{\nabla}\Phi) \cdot d \vec{A} = \int_V (\Phi \nabla^2 \Psi - \Psi \nabla^2 \Phi) dv \end{equation} \] 인 데 오른쪽의 두 항이 상쇄되어 0 이 된다. 다음의 $\Phi$는 파동방정식을 만족하므로 이를 \eqref{eq3} 식에 적용할 수 있다. \[ \Phi=\Phi_0 \frac{e^{i(kr+\omega t)}}{r}. \] 따라서 \[ \oint_A \left[ \frac{e^{ikr}}{r} \vec{\nabla} \Psi - \Psi \vec{\nabla} \frac{e^{ikr}}{r} \right] \cdot d \vec{A} = 0 \] 이다. 여기서 $\Phi$는 $r=0$, 즉 P에서 정의되지 않기 때문에 이를 제외해야 한다. 따라서 폐곡면 $A$로서 파동의 정보를 알고 있는 전체의 폐곡면과 그 속의 P를 감싸고 있는 반경이 0 의 극한으로가는 구면을 합한 것으로 삼도록 하자. P를 감싼 작은 구면에 대한 적분의 부분은 다음과 같이 계산된다. \[ \oint_{\mathrm{\rho ~ sphere}} \left[ \frac{e^{ikr}}{r} \frac{\partial \Psi}{\partial r} - \Psi \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{e^{ikr}}{r} \right) \right] \rho^2 d \Omega ~ \underset{\rho \to 0}{\Longrightarrow} ~ 4\pi \Psi_P. \] 이를 이용하면 P 점에서의 파동량은 다음과 같이 바깥 폐곡면에서의 파동량을 다음과 같이 적분하여 구할 수 있다. \[ \Psi_P = \frac{1}{4\pi} \oint \left[ \frac{e^{ikr}}{r} \vec{\nabla} \Psi - \Psi \vec{\nabla} \frac{e^{ikr}}{r} \right] \cdot d \vec{A} \] 이것이 키르히호프 적분정리(Kirchhoff integral theorem)로서 이는 폐곡면에서의 파동함수로부터 내부의 아무 곳에서나 파동함수를 계산하게 한다.

이제 이 정리를 위 그림과 같이 점 파원에서 나온 파동이 제한된 창을 통하여 내부의 P 점에 이를 때에 대하여 적용해 보자. 그림에서처럼 폐곡면의 일정한 평면의 영역이 열려있어 이를 통하여 파원 S에서 발생된 파동이 P점에 도달하게 된다. 이때 S로부터 나온 파동이 창에 도달할 때의 파형은 \[ \Psi = \Psi_0 \frac{e^{i(kr'-\omega t)}}{r'} \] 이다. 이를 위 식에 대입하여 정리하면, P점에서의 파동량은 다음과 같이 표현된다. \[ \begin{equation} \label{eq9} \Psi_P = \frac{ik \Psi_0 e^{-i \omega t}}{2\pi} \int_{\mathrm{window}} \frac{e^{ik(r+r')}}{rr'} \left[\frac{\hat{n} \cdot \hat{r}' - \hat{n} \cdot \hat{r}}{2}\right] dA. \end{equation} \] 여기서 적분식의 괄호 속의 값은 경사인자(inclination factor)라 한다. 이 표현을 프레넬-키르히호프 회절식이라 하고, 이것은 17세기 호이헨스 원리를 정밀하게 표현한 것으로 호이헨스-프레넬-키르히호프 원리 혹은 프레넬-키르히호프 원리라고도 한다.

만일 아래 그림처럼 창의 면을 광원으로부터 구면으로 퍼져나가는 한 파면과 같이 설정한다면 경사인자는 \[ K(\theta) = \frac{1+\cos\theta}{2} \] 이 된다.

위 그림에서처럼 점광원 S로부터 일정한 거리의 창을 도입하면 앞의 회절공식을 다음과 같이 보다 간결한 형태로 쓸 수 있다. 이때 광원에서 창의 모든 지점까지의 거리 $r'$이 일정하여 적분에 무관하게 된다. \[ \Psi_P = - \frac{ik}{2\pi} \int_{\mathrm{window}} \frac{\Psi_A e^{i(kr-\omega t)}}{r} K(\theta) dA. \] 여기서 $\Psi_A$는 $\Psi_0 \frac{e^{ikr'}}{r'}$으로서 적분에 대해 상수이다. 이 식은 아주 오래 전의 호이헨스 원리를 수정하여 정확하게 수식으로 표현한 것이 된다.

_ 헬름홀츠 방정식_ 파동방정식_ 파동함수_ 파동량_ 회절_ 파면

프라운호퍼 회절과 프레넬 회절

프라운호퍼 회절(Fraunhofer diffraction)은 창을 통한 입사파와 투과파 모두를 평면파로 볼 수 있는 회절로 파원과 관측점이 파장에 비해서 먼 경우에 해당한다. 가깝더라도 창의 양쪽에 빛에 대해서 볼록렌즈 처럼 구면파를 평면파로 만들거나 평면파를 한 점으로 집속할 수 있는 장치가 설치된 경우도 마찬가지로 볼 수 있다. 빛의 경우라면 파장이 극히 짧을 뿐더러 구면파와 평면파를 바꾸는 볼록렌즈로부터 이러한 상황을 쉽게 만들 수 있다. \eqref{eq9} 식에서 $r$과 $r'$의 변화가 미미하여 분모에서는 그 기여를 무시할 수 있다. 또한 이 식의 [...]의 벡터는 창의 전 영역에서 일정하게 주어진다. 특히 파원이 만드는 평면파가 창의 면과 나란하게 도착하여 통과한다면 $r'$의 기여는 아예 없어져서 프레넬-키르히호프 회절식은 다음과 같이 매우 간단한 식으로 정리된다. \[ \Psi_P = C \int_{\mathrm{window}} e^{ikr} dA \] 이를 프라운호퍼 회절식이라 한다. 여기서 $r$은 $dA$의 작은 면을 통하여 스크린까지 가는 거리로서 파동의 전파속도가 다른 영역을 통과한다면 기준지역에서의 파동의 진행거리로 환산한 경로이다. 빛의 경우 이를 광경로(optical path)라 한다.

만일 파원이나 관측점이 창에 가까이 있는 보다 일반적인 상황이 되면 회절양상은 좀더 복잡해진다. 이러한 조건에서의 회절을 프레넬 회절(Fresnel diffraction)이라 한다. 프레넬 회절은 프라운호퍼 회절과 달리 회절 결과의 규칙성이 덜하고, 또한 수학적으로도 다루기가 어렵다.

여기서는 \eqref{eq9} 식에서 경사인자 $K(\theta)$를 무시하고 아울러 광원과 창과의 거리 $r'$과 창과 스크린과의 거리 $r$도 창의 각 지점에 따라 크게 변하지 않는다고 보자. 회절공식의 적분에서 이러한 값 자체의 변동의 정도는 $e^{ik(r'+r)}$ 인자에서의 변동에 비하여 훨씬 적어서 무시해도 무난한 경우가 많다. 이러한 근사조건이 성립된다면 창의 각 지점에 대한 경로 $r'+r$에 대한 위상지연효과가 누적된 형태로 회절식이 정리된다. 즉, \[ \Psi_P = C \int_{\mathrm{window}} e^{ik(r'+r)} dA \] 이다.

_ 볼록렌즈_ 평면파_ 구면파_ 광경로_ 위상_ 회절_ 파동