정상파와 공명

정상상태의 해석

줄의 정상상태를 수학적으로 해석한다.

양쪽에 매듭이 있는 줄의 경우 그 속에서 뛰노는 파동을 입사파와 매듭, 즉 경계에서 반사하는 파동이 합성된 것으로 이해했다. 그러나 양쪽의 경계에서 수없이 반사하는 파동을 모두 고려한다는 것은 효율적이지 못할뿐만 아니라 앞서의 원형 고무막의 경우처럼 2차원 이상이 되면 이러한 방법을 동원하기가 거의 불가능해진다. 이것을 조직적으로 해석하는 방법은 없을까? 이를 위해서 줄의 정상파를 다시 살펴보자. 우선 줄에서의 파동은 파동방정식을 만족해야 한다. 뿐만 아니라 반사가 일어나는 지점에서의 파동값이 0 이 되도록 반사파가 생기게 된다. 따라서 정상파는 파동방정식을 만족하면서 경계에서 파동값이 0 이 되는 조건을 부과하여 좀더 체계적으로 풀이할 수 있다. 예를 들어 양단이 $x=0, L$인 줄의 파동에서 다음 두 조건을 충족하는 어떠한 파동도 있을 수 있다. $$\begin{equation} \label{eq1} \frac{\partial^2\Psi (x, t)}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2\Psi (x, t)}{\partial t^2}, \end{equation}$$ $$\Psi (0, t) = \Psi (L, t) = 0.$$

이를 모두 만족하는 파동은 일반적으로 정상파는 아니라 정상파가 적절히 합성된 파동일 수 있다. 정상파의 경우 파동이 머무르는 듯이 나타나므로 다음과 같이 파동함수가 $x$와 $t$의 함수로 분리되어야 한다. $$\Psi (x, t) = \psi(x) T(t)$$ 따라서 이를 파동방정식에 대입해서 정리하면 $$\begin{equation} \label{eq4} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = -k^2 \psi(x), \end{equation}$$ $$\begin{equation} \label{eq5} \frac{d^2T(t)}{d t^2} = - v^2 k^2 T(t). \end{equation}$$ 여기서 $k^2$는 임의의 상수로서, 경계에서 파동값이 0 이 되면서 경계에서 벗어난 $x$에 대해 $\psi(x)\neq 0$인 해가 존재하려면 이 값이 + 이어야 한다. 또한 $\omega=vk$로 놓고, $\psi(0)=\psi(L)=0$의 조건을 부과하여 $\eqref{eq4}$와 $\eqref{eq5}$의 해를 구하면, $$\begin{equation} \label{eq6} \psi(x) = A\sin(kx), \quad T(t) = \cos(\omega t + \phi) \end{equation}$$ 으로 $$k = \frac{n\pi}{L}, \quad n = 1, 2, 3, \cdots$$ 의 조건을 만족해야 한다. 이 결과는 앞서 줄의 정상파의 진동 모양에서 그림으로 본 것과 같이 $n$배 진동을 나타낸다.

2차원, 그리고 3차원...

이제 같은 방법을 2차원과 3차원으로 확장해 보자. 여기서는 비교적 다루기 좋은 직사각형 막의 진동을 고려한다. 가로 세로를 각각 $L_x, L_y$이라 하고 이들 방향으로 $x, y$의 좌표계를 도입하여 파동방정식과 경계조건을 정리하면, $$\begin{equation} \label{eq8} \frac{\partial^2\Psi (x, y, t)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\Psi (x, y, t)}{\partial y^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2\Psi (x, y, t)}{\partial t^2}, \end{equation}$$ $$\begin{equation} \label{eq9} \Psi (0, y, t) = \Psi (L_x, y, t) = 0. \end{equation}$$ $$\begin{equation} \label{eq10} \Psi (x, 0, t) = \Psi (x, L_y, t) = 0. \end{equation}$$ 1차원에서와 같이 우선 공간함수 $\psi(x,y)$와 시간함수 $T(t)$로 변수분리하면 $$\frac{\partial^2\psi(x,y)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi(x, y)}{\partial y^2} = -k^2 \psi(x, y)$$ 이고 $T(t)$ 부분은 $\eqref{eq5}$ 식과 같다. $k^2 \gt 0$일 때 $\psi(x,y)$에 대한 위 방정식을 헬름홀츠 방정식(Helmholtz equation)이라 한다. 이 또한 다시 $x$와 $y$에 대한 함수로 변수분리하여 $\eqref{eq9}$와 $\eqref{eq10}$의 경계조건을 적절하게 적용하여 결과를 정리하면 $$\begin{equation} \label{eq12} \Psi(x, y, t) = A\sin(k_x x)\sin(k_y y) \cos(\omega t + \phi) \end{equation}$$ 와 $$k_x = n_x \frac{\pi}{L_x}, \quad k_y = n_y \frac{\pi}{L_y}$$ $$\omega = v\sqrt{k_x^2 + k_y^2} = \pi v \sqrt{ \frac{n_x^2}{L_x^2}+ \frac{n_y^2}{L_y^2}}$$ 이다. 여기서 $n_x,n_y$은 모두 1, 2, 3 등의 임의의 자연수이다.

다음 그림은 'x 모드'로 표시한 $n_x$과 'y 모드'로 표시한 $n_y$을 달리하였을 때의 정상상태를 보여준다.

이렇게 제한된 공간에 갇혀있는 정상파는 이에 대한 적절한 경계조건을 충족하는 파동방정식의 해를 구하는 일이 된다. 직육면체 상자에서 형성되는 음파와 같이 3차원의 정상파도 위와 같이 직교좌표계에서 파동함수를 변수분리하는 과정을 거쳐서 구할 수 있다.

정상상태의 중첩

$\eqref{eq1}$ 이나 $\eqref{eq8}$의 파동방정식은 선형미분방정식으로 이들의 해는 중첩의 원리가 만족된다. 따라서 정상파를 적절히 중첩시켜도 역시 파동방정식과 경계조건을 충족한다. 북과 같은 타악기는 그 종류와 채로 타격하는 형태에 따라 다양한 진동모드가 중첩되어 그 악기 나름대로의 고유한 음색으로 들린다.

다음 그림은 앞서의 직사각형 진동모드 두 개가 같은 크기로 중첩된 파동으로 마디선이 한 곳에 머물지 않으므로 정상상태가 아니다. 가장자리는 진동이 억제되어 고정된 마디를 이루지만 내부의 마디선은 계속해서 움직이는 것을 알 수 있다.

[질문1] $\eqref{eq1}$ 식을 변수분리하면 $\eqref{eq4}$와 $\eqref{eq5}$ 식이 되는 것을 보이고, 이들의 해가 $\eqref{eq6}$ 식으로 주어지는 것을 보여라.

[질문2] 직사각형의 정상파가 $\eqref{eq12}$ 식으로 주어지는 것을 보여라.

[질문3] '정상상태의 중첩' 프로그램에서 일반적으로 정상파가 중첩된 고유진동은 마디가 일정한 위치에 있지 않다. 이는 파동함수가 공간과 시간의 함수의 곱으로 주어지지 않기 때문이다. 그러나 예를 들어 $n_x = 3, n_y= 4$와 $n_x = 6, n_y= 2$처럼 진동수가 (우연히) 일치하고 둘이 서로 같은 위상으로나 반대 위상으로 중첩되면 역시 마디가 일정하게 유지되는 정상파를 이루게 된다. 이 조건으로 설정해서 진동모양을 관찰해 보자. 또 이렇게 되는 이유가 무엇인지 파동함수로부터 설명하라. 이 경우 직사각형의 가로세로 길이 비가 1.5:1이기 때문으로 이렇게 서로 다른 진동 모드의 고유진동수가 일치하는 것을 축퇴(degeneracy: 겹침)라 한다.

[질문4] '정상상태의 중첩' 프로그램에서 예를 들어 $n_x = 1, n_y= 2$와 $n_x = 2, n_y= 4$처럼 진동수가 2배의 차이가 나면 움직이지 않는 마디선이 존재한다. 이 경우에 대한 파동함수를 계산해서 마디선의 위치를 예측하고 실제와 비교해 보라.

[질문5] 변의 길이가 1:2인 직사각형 막의 고유진동수가 낮은 순서로 5개를 모드 수와 짝지워서 나열해 보라. 여기서 고유진동수는 기본진동수의 배수로 표현하라.

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