ÁÙÀÇ Á¤»ó»óŸ¦ ¼öÇÐÀûÀ¸·Î Çؼ®ÇÑ´Ù.
¾çÂÊ¿¡ ¸ÅµìÀÌ ÀÖ´Â ÁÙÀÇ °æ¿ì ±× ¼Ó¿¡¼ ¶Ù³ë´Â Æĵ¿À» ÀÔ»çÆÄ¿Í ¸Åµì, Áï °æ°è¿¡¼ ¹Ý»çÇÏ´Â Æĵ¿ÀÌ ÇÕ¼ºµÈ °ÍÀ¸·Î ÀÌÇØÇß´Ù. ±×·¯³ª ¾çÂÊÀÇ °æ°è¿¡¼ ¼ö¾øÀÌ ¹Ý»çÇÏ´Â Æĵ¿À» ¸ðµÎ °í·ÁÇÑ´Ù´Â °ÍÀº È¿À²ÀûÀÌÁö ¸øÇÒ»Ó¸¸ ¾Æ´Ï¶ó ¾Õ¼ÀÇ ¿øÇü °í¹«¸·ÀÇ °æ¿ìó·³ 2Â÷¿ø ÀÌ»óÀÌ µÇ¸é ÀÌ·¯ÇÑ ¹æ¹ýÀ» µ¿¿øÇϱⰡ °ÅÀÇ ºÒ°¡´ÉÇØÁø´Ù. ÀÌ°ÍÀ» Á¶Á÷ÀûÀ¸·Î Çؼ®ÇÏ´Â ¹æ¹ýÀº ¾øÀ»±î? À̸¦ À§Çؼ ÁÙÀÇ Á¤»óÆĸ¦ ´Ù½Ã »ìÆ캸ÀÚ. ¿ì¼± ÁÙ¿¡¼ÀÇ Æĵ¿Àº Æĵ¿¹æÁ¤½ÄÀ» ¸¸Á·ÇØ¾ß ÇÑ´Ù. »Ó¸¸ ¾Æ´Ï¶ó ¹Ý»ç°¡ ÀϾ´Â ÁöÁ¡¿¡¼ÀÇ Æĵ¿°ªÀÌ 0 ÀÌ µÇµµ·Ï ¹Ý»çÆÄ°¡ »ý±â°Ô µÈ´Ù. µû¶ó¼ Á¤»óÆÄ´Â Æĵ¿¹æÁ¤½ÄÀ» ¸¸Á·ÇÏ¸é¼ °æ°è¿¡¼ Æĵ¿°ªÀÌ 0 ÀÌ µÇ´Â Á¶°ÇÀ» ºÎ°úÇÏ¿© Á»´õ ü°èÀûÀ¸·Î Ç®ÀÌÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù. ¿¹¸¦ µé¾î ¾ç´ÜÀÌ $x=0, L$ÀÎ ÁÙÀÇ Æĵ¿¿¡¼ ´ÙÀ½ µÎ Á¶°ÇÀ» ÃæÁ·ÇÏ´Â ¾î¶°ÇÑ Æĵ¿µµ ÀÖÀ» ¼ö ÀÖ´Ù. \[ \begin{equation} \label{eq1} \frac{\partial^2\Psi (x, t)}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2\Psi (x, t)}{\partial t^2}, \end{equation} \] \[ \Psi (0, t) = \Psi (L, t) = 0. \]
À̸¦ ¸ðµÎ ¸¸Á·ÇÏ´Â Æĵ¿Àº ÀϹÝÀûÀ¸·Î Á¤»óÆÄ´Â ¾Æ´Ï¶ó Á¤»óÆÄ°¡ ÀûÀýÈ÷ ÇÕ¼ºµÈ Æĵ¿ÀÏ ¼ö ÀÖ´Ù. Á¤»óÆÄÀÇ °æ¿ì Æĵ¿ÀÌ ¸Ó¹«¸£´Â µíÀÌ ³ªÅ¸³ª¹Ç·Î ´ÙÀ½°ú °°ÀÌ Æĵ¿ÇÔ¼ö°¡ $x$¿Í $t$ÀÇ ÇÔ¼ö·Î ºÐ¸®µÇ¾î¾ß ÇÑ´Ù. \[ \Psi (x, t) = \psi(x) T(t) \] µû¶ó¼ À̸¦ Æĵ¿¹æÁ¤½Ä¿¡ ´ëÀÔÇؼ Á¤¸®Çϸé \[ \begin{equation} \label{eq4} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = -k^2 \psi(x), \end{equation} \] \[ \begin{equation} \label{eq5} \frac{d^2T(t)}{d t^2} = - v^2 k^2 T(t). \end{equation} \] ¿©±â¼ $k^2$´Â ÀÓÀÇÀÇ »ó¼ö·Î¼, °æ°è¿¡¼ Æĵ¿°ªÀÌ 0 ÀÌ µÇ¸é¼ °æ°è¿¡¼ ¹þ¾î³ $x$¿¡ ´ëÇØ $\psi(x)\neq 0$ÀÎ ÇØ°¡ Á¸ÀçÇÏ·Á¸é ÀÌ °ªÀÌ + À̾î¾ß ÇÑ´Ù. ¶ÇÇÑ $\omega=vk$·Î ³õ°í, $\psi(0)=\psi(L)=0$ÀÇ Á¶°ÇÀ» ºÎ°úÇÏ¿© \eqref{eq4}¿Í \eqref{eq5}ÀÇ Çظ¦ ±¸Çϸé, \[ \begin{equation} \label{eq6} \psi(x) = A\sin(kx), \quad T(t) = \cos(\omega t + \phi) \end{equation} \] À¸·Î \[ k = \frac{n\pi}{L}, \quad n = 1, 2, 3, \cdots \] ÀÇ Á¶°ÇÀ» ¸¸Á·ÇØ¾ß ÇÑ´Ù. ÀÌ °á°ú´Â ¾Õ¼ ÁÙÀÇ Á¤»óÆÄÀÇ Áøµ¿ ¸ð¾ç¿¡¼ ±×¸²À¸·Î º» °Í°ú °°ÀÌ $n$¹è Áøµ¿À» ³ªÅ¸³½´Ù.
2Â÷¿ø, ±×¸®°í 3Â÷¿ø...
ÀÌÁ¦ °°Àº ¹æ¹ýÀ» 2Â÷¿ø°ú 3Â÷¿øÀ¸·Î È®ÀåÇØ º¸ÀÚ. ¿©±â¼´Â ºñ±³Àû ´Ù·ç±â ÁÁÀº Á÷»ç°¢Çü ¸·ÀÇ Áøµ¿À» °í·ÁÇÑ´Ù. °¡·Î ¼¼·Î¸¦ °¢°¢ $L_x, L_y$À̶ó ÇÏ°í ÀÌµé ¹æÇâÀ¸·Î $x, y$ÀÇ ÁÂÇ¥°è¸¦ µµÀÔÇÏ¿© Æĵ¿¹æÁ¤½Ä°ú °æ°èÁ¶°ÇÀ» Á¤¸®Çϸé, \[ \begin{equation} \label{eq8} \frac{\partial^2\Psi (x, y, t)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\Psi (x, y, t)}{\partial y^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2\Psi (x, y, t)}{\partial t^2}, \end{equation} \] \[ \begin{equation} \label{eq9} \Psi (0, y, t) = \Psi (L_x, y, t) = 0. \end{equation} \] \[ \begin{equation} \label{eq10} \Psi (x, 0, t) = \Psi (x, L_y, t) = 0. \end{equation} \] 1Â÷¿ø¿¡¼¿Í °°ÀÌ ¿ì¼± °ø°£ÇÔ¼ö $\psi(x,y)$¿Í ½Ã°£ÇÔ¼ö $T(t)$·Î º¯¼öºÐ¸®Çϸé \[ \frac{\partial^2\psi(x,y)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi(x, y)}{\partial y^2} = -k^2 \psi(x, y) \] ÀÌ°í $T(t)$ ºÎºÐÀº \eqref{eq5} ½Ä°ú °°´Ù. $k^2 \gt 0$ÀÏ ¶§ $\psi(x,y)$¿¡ ´ëÇÑ À§ ¹æÁ¤½ÄÀ» Ç︧ȦÃ÷ ¹æÁ¤½Ä(Helmholtz equation)À̶ó ÇÑ´Ù. ÀÌ ¶ÇÇÑ ´Ù½Ã $x$¿Í $y$¿¡ ´ëÇÑ ÇÔ¼ö·Î º¯¼öºÐ¸®ÇÏ¿© \eqref{eq9}¿Í \eqref{eq10}ÀÇ °æ°èÁ¶°ÇÀ» ÀûÀýÇÏ°Ô Àû¿ëÇÏ¿© °á°ú¸¦ Á¤¸®Çϸé \[ \begin{equation} \label{eq12} \Psi(x, y, t) = A\sin(k_x x)\sin(k_y y) \cos(\omega t + \phi) \end{equation} \] ¿Í \[ k_x = n_x \frac{\pi}{L_x}, \quad k_y = n_y \frac{\pi}{L_y} \] \[ \omega = v\sqrt{k_x^2 + k_y^2} = \pi v \sqrt{ \frac{n_x^2}{L_x^2}+ \frac{n_y^2}{L_y^2}} \] ÀÌ´Ù. ¿©±â¼ $n_x,n_y$Àº ¸ðµÎ 1, 2, 3 µîÀÇ ÀÓÀÇÀÇ ÀÚ¿¬¼öÀÌ´Ù.
´ÙÀ½ ±×¸²Àº 'x ¸ðµå'·Î Ç¥½ÃÇÑ $n_x$°ú 'y ¸ðµå'·Î Ç¥½ÃÇÑ $n_y$À» ´Þ¸®ÇÏ¿´À» ¶§ÀÇ Á¤»ó»óŸ¦ º¸¿©ÁØ´Ù.
graphic |
|
Á÷»ç°¢Çü ¸·ÀÇ Áøµ¿¸ðµå_ °¡·Î¿Í ¼¼·ÎÀÇ ºñ°¡ 1.5:1ÀÎ Á÷»ç°¢Çü ¸·ÀÇ °íÀ¯Áøµ¿ÀÇ ¿îµ¿¸ð¾çÀ» ³ªÅ¸³½´Ù. 'x ¸ðµå'¿Í 'y ¸ðµå'ÀÇ ½ºÇÉ ÄÁÆ®·Ñ·Î $n_x$¿Í $n_y$¸¦ º¯°æÇÒ ¼ö ÀÖÀ¸¸ç, ÀÌ¿¡ µû¸¥ Áøµ¿¼ö¸¦ ±âº»Áøµ¿¼ö¿ÍÀÇ ºñ·Î ³ªÅ¸³»°í ÀÖ´Ù. 'level color', 'contour'ÀÇ Ã¼Å©¹Ú½º·Î Áøµ¿À» ³ªÅ¸³»´Â ¸ð¾çÀ» ¹Ù²Ù¾î º¼ ¼ö ÀÖ´Ù.
|
ÀÌ·¸°Ô Á¦ÇÑµÈ °ø°£¿¡ °¤ÇôÀÖ´Â Á¤»óÆÄ´Â ÀÌ¿¡ ´ëÇÑ ÀûÀýÇÑ °æ°èÁ¶°ÇÀ» ÃæÁ·ÇÏ´Â Æĵ¿¹æÁ¤½ÄÀÇ Çظ¦ ±¸ÇÏ´Â ÀÏÀÌ µÈ´Ù. Á÷À°¸éü »óÀÚ¿¡¼ Çü¼ºµÇ´Â À½ÆÄ¿Í °°ÀÌ 3Â÷¿øÀÇ Á¤»óÆĵµ À§¿Í °°ÀÌ Á÷±³ÁÂÇ¥°è¿¡¼ Æĵ¿ÇÔ¼ö¸¦ º¯¼öºÐ¸®ÇÏ´Â °úÁ¤À» °ÅÃļ ±¸ÇÒ ¼ö ÀÖ´Ù.
Á¤»ó»óÅÂÀÇ Áßø
\eqref{eq1} À̳ª \eqref{eq8}ÀÇ Æĵ¿¹æÁ¤½ÄÀº ¼±Çü¹ÌºÐ¹æÁ¤½ÄÀ¸·Î À̵éÀÇ ÇØ´Â ÁßøÀÇ ¿ø¸®°¡ ¸¸Á·µÈ´Ù. µû¶ó¼ Á¤»óÆĸ¦ ÀûÀýÈ÷ Áßø½ÃÄѵµ ¿ª½Ã Æĵ¿¹æÁ¤½Ä°ú °æ°èÁ¶°ÇÀ» ÃæÁ·ÇÑ´Ù. ºÏ°ú °°Àº Ÿ¾Ç±â´Â ±× Á¾·ù¿Í ä·Î Ÿ°ÝÇÏ´Â ÇüÅ¿¡ µû¶ó ´Ù¾çÇÑ Áøµ¿¸ðµå°¡ ÁßøµÇ¾î ±× ¾Ç±â ³ª¸§´ë·ÎÀÇ °íÀ¯ÇÑ À½»öÀ¸·Î µé¸°´Ù.
´ÙÀ½ ±×¸²Àº ¾Õ¼ÀÇ Á÷»ç°¢Çü Áøµ¿¸ðµå µÎ °³°¡ °°Àº Å©±â·Î ÁßøµÈ Æĵ¿À¸·Î ¸¶µð¼±ÀÌ ÇÑ °÷¿¡ ¸Ó¹°Áö ¾ÊÀ¸¹Ç·Î Á¤»ó»óÅ°¡ ¾Æ´Ï´Ù. °¡ÀåÀÚ¸®´Â Áøµ¿ÀÌ ¾ïÁ¦µÇ¾î °íÁ¤µÈ ¸¶µð¸¦ ÀÌ·çÁö¸¸ ³»ºÎÀÇ ¸¶µð¼±Àº °è¼ÓÇؼ ¿òÁ÷ÀÌ´Â °ÍÀ» ¾Ë ¼ö ÀÖ´Ù.
graphic |
|
Á÷»ç°¢Çü ¸·ÀÇ ÁßøµÈ Áøµ¿¸ðµå_ °¡·Î¿Í ¼¼·ÎÀÇ ºñ°¡ 1.5:1ÀÎ Á÷»ç°¢Çü °í¹«¸·ÀÇ °íÀ¯Áøµ¿ µÑÀÌ ÁßøµÈ ¿îµ¿¸ð¾çÀ» º¸¿©ÁØ´Ù. ÀÌ°æ¿ì´Â °íÁ¤µÈ ¸¶µð°¡ ¾ø¾î¼ Á¤»óÆÄ°¡ ¾Æ´Ñ °ÍÀ» ¾Ë ¼ö ÀÖ´Ù. ¸¶µð¸¦ Àß »ìÆ캸·Á¸é 'contour'¸¦ ¼±ÅÃÇؼ µî°í¼±À» ³ªÅ¸³ª°Ô ÇÏ°í ȸéÀ» ȸÀü½ÃÄѶó.
|
[Áú¹®1]
\eqref{eq1} ½ÄÀ» º¯¼öºÐ¸®Çϸé \eqref{eq4}¿Í \eqref{eq5} ½ÄÀÌ µÇ´Â °ÍÀ» º¸ÀÌ°í, À̵éÀÇ ÇØ°¡ \eqref{eq6} ½ÄÀ¸·Î ÁÖ¾îÁö´Â °ÍÀ» º¸¿©¶ó.
[Áú¹®2]
Á÷»ç°¢ÇüÀÇ Á¤»óÆÄ°¡ \eqref{eq12} ½ÄÀ¸·Î ÁÖ¾îÁö´Â °ÍÀ» º¸¿©¶ó.
[Áú¹®3]
'Á¤»ó»óÅÂÀÇ Áßø' ÇÁ·Î±×·¥¿¡¼ ÀϹÝÀûÀ¸·Î Á¤»óÆÄ°¡ ÁßøµÈ °íÀ¯Áøµ¿Àº ¸¶µð°¡ ÀÏÁ¤ÇÑ À§Ä¡¿¡ ÀÖÁö ¾Ê´Ù. ÀÌ´Â Æĵ¿ÇÔ¼ö°¡ °ø°£°ú ½Ã°£ÀÇ ÇÔ¼öÀÇ °öÀ¸·Î ÁÖ¾îÁöÁö ¾Ê±â ¶§¹®ÀÌ´Ù. ±×·¯³ª ¿¹¸¦ µé¾î $n_x = 3, n_y= 4$¿Í $n_x = 6, n_y= 2$ó·³ Áøµ¿¼ö°¡ (¿ì¿¬È÷) ÀÏÄ¡ÇÏ°í µÑÀÌ ¼·Î °°Àº À§»óÀ¸·Î³ª ¹Ý´ë À§»óÀ¸·Î ÁßøµÇ¸é ¿ª½Ã ¸¶µð°¡ ÀÏÁ¤ÇÏ°Ô À¯ÁöµÇ´Â Á¤»óÆĸ¦ ÀÌ·ç°Ô µÈ´Ù. ÀÌ Á¶°ÇÀ¸·Î ¼³Á¤Çؼ Áøµ¿¸ð¾çÀ» °üÂûÇØ º¸ÀÚ. ¶Ç ÀÌ·¸°Ô µÇ´Â ÀÌÀ¯°¡ ¹«¾ùÀÎÁö Æĵ¿ÇÔ¼ö·ÎºÎÅÍ ¼³¸íÇ϶ó. ÀÌ °æ¿ì Á÷»ç°¢ÇüÀÇ °¡·Î¼¼·Î ±æÀÌ ºñ°¡ 1.5:1À̱⠶§¹®À¸·Î ÀÌ·¸°Ô ¼·Î ´Ù¸¥ Áøµ¿ ¸ðµåÀÇ °íÀ¯Áøµ¿¼ö°¡ ÀÏÄ¡ÇÏ´Â °ÍÀ» ÃàÅð(degeneracy: °ãħ)¶ó ÇÑ´Ù.
[Áú¹®4]
'Á¤»ó»óÅÂÀÇ Áßø' ÇÁ·Î±×·¥¿¡¼ ¿¹¸¦ µé¾î $n_x = 1, n_y= 2$¿Í $n_x = 2, n_y= 4$ó·³ Áøµ¿¼ö°¡ 2¹èÀÇ Â÷ÀÌ°¡ ³ª¸é ¿òÁ÷ÀÌÁö ¾Ê´Â ¸¶µð¼±ÀÌ Á¸ÀçÇÑ´Ù. ÀÌ °æ¿ì¿¡ ´ëÇÑ Æĵ¿ÇÔ¼ö¸¦ °è»êÇؼ ¸¶µð¼±ÀÇ À§Ä¡¸¦ ¿¹ÃøÇÏ°í ½ÇÁ¦¿Í ºñ±³ÇØ º¸¶ó.
[Áú¹®5]
º¯ÀÇ ±æÀÌ°¡ 1:2ÀÎ Á÷»ç°¢Çü ¸·ÀÇ °íÀ¯Áøµ¿¼ö°¡ ³·Àº ¼ø¼·Î 5°³¸¦ ¸ðµå ¼ö¿Í ¦Áö¿ö¼ ³ª¿ÇØ º¸¶ó. ¿©±â¼ °íÀ¯Áøµ¿¼ö´Â ±âº»Áøµ¿¼öÀÇ ¹è¼ö·Î Ç¥ÇöÇ϶ó.
_ Æĵ¿¹æÁ¤½ÄÀÇ ÇØ_ Á¤»ó»óÅÂÀÇ Áßø_ ÁßøÀÇ ¿ø¸®_ Æĵ¿ÇÔ¼ö_ °æ°èÁ¶°Ç_ Áøµ¿¼ö_ Ÿ¾Ç±â_ À§»ó_ À½ÆÄ_ ÃàÅð_ ½ºÇÉ
|