정상파와 공명

다음 프로그램은 직사각형 막에서의 두 모드가 같은 크기로 중첩되어 나타나는 진동모양을 보여준다, 직사각형의 가로세로 비를 조절할 수 있으며 두 진동의 상대적인 위상을 변경할 수 있어 다양한 고유진동의 운동을 관찰할 수 있다.

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프로그램 설명

1. 직사각형 막의 이론적인 고유진동 모드 2개가 중첩된 진동의 모양을 다양한 방법으로 보여준다. 막은 그 테두리에서는 진동이 억제되어 있으며, 전체적으로 균일한 장력이 걸려 있다.

2. 'Run(Pause)' 버튼으로 운동을 개시하거나 중지시켜 볼 수 있고, 마우스로 드래그 하면 그림이 회전해서 입체적인 전모를 파악할 수 있도록 하였다.

3. 직사각형의 세로(y축)에 대한 가로(x축)의 길이의 비율을 'x 너비' 슬라이더로 1 ~ 2까지 변경할 수 있다. 따라서 이 값을 1 로 두면 정사각형 막의 진동을 보여주게 된다.

4. 두 진동 모드는 각각의 스피너 컨트롤로 선택할 수 있으며, 선택된 모드에 대한 고유진동수는 기본진동수에 대한 비율로 나타낸다.

5. '상대위상 (도)' 슬라이더로 두 정상파의 상대적인 위상을 변경할 수 있다. 이는 시간함수 $T(t) = \cos(\omega t + \phi)$에서 위상값 $\phi$의 차이를 말한다.

정사각형 막의 고유진동

1. 'x 너비'를 1 로 두고 여러 진동모드에 대해 파동의 진동 모양을 관찰하라.

2. $n_x=1, n_y=2$와 $n_x=2, n_y=1$의 두 정상파는 같은 고유진동수를 가진다. 이 둘이 동일 위상이나 반대 위상으로 중첩되면 여전히 하나의 정상파를 이룬다. 이 상황을 만들어서 파동의 진동 모양을 관찰해 보자.

3. 앞의 예처럼 고유진동수가 동일한 두 상태는 축퇴되어 있어 서로 축퇴상태가 된다. 위 프로그램에서 이렇게 축퇴된 모든 경우를 다 나열해 보자. 그리고 각각의 축퇴상태에 대해 위상값을 변화시키면서 정상파를 이루기 위해 위상 차이가 얼마여야 하는지 찾아보라.

4. 두 진동 모드를 동일하게 놓고 상대위상을 0으로 두면 단일 모드가 관찰된다. 이 경우 정사각형이 마디에 의해 분할되는 도형을 그려라.

5. 축퇴된 두 상태의 상대위상을 0 혹은 180도로 두어서 만든 정상상태의 마디선이 정사각형을 어떻게 분할하는지 도형을 그려보라.

6. 'x 너비'를 2 로 두고 축퇴상태를 찾아보자. 이 경우 중첩된 축퇴상태의 마디선이 만드는 직사각형의 분할 모양을 그려보라. 이를 5의 결과와 비교해 보자.