정상파와 공명

원형 막의 정상파 해석

원형의 테두리에서 진동이 억제되어 있는 막의 경우도 앞서 직사각형 막의 경우와 비슷하게 파동방정식과 경계조건으로 정상파에 대한 해를 구할 수 있다. 원형의 반경이 $a$라 하고, 중심을 원점으로 하는 극좌표로 파동방정식과 경계조건을 정리하면, \[ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial \Psi (r, \theta, t)}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2\Psi (r, \theta, t)}{\partial \theta^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2\Psi (r, \theta, t)}{\partial t^2}, \] 와 \[ \Psi (0, \theta, t) = 0 \] 이다. 이제 이를 공간좌표 $(r, \theta)$와 시간좌표 $t$로 분리하면, \[ \begin{equation} \label{eq3} \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(r \frac{\partial \psi (r, \theta)}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2\psi (r, \theta)}{\partial \theta^2} = -k^2 \psi(r, \theta) \end{equation} \] 가 된다. 여기서의 시간 부분은 앞에서와 같다. 이는 극좌표로 표현한 2차원 헬름홀츠 방정식으로서 다시 $r$과 $\theta$에 대한 함수로 변수분리하여 풀이하면 해는 다음과 같이 표현된다. \[ \psi(r, \theta) = A \cos(m\theta + \varepsilon) J_m(kr) \] 여기서 $r$부분의 함수 $J_m$은 $m$차 베셀 함수(Bessel function)로서 이 함수의 특성으로 부터 정상파의 조건이 결정된다. 즉, $\psi(a, \theta)=0$인 경계조건은 $J_m(ka)=0$으로 되므로 특정한 $k$값에서만 파동이 존재할 수 있고 이로부터 고유진동수가 일정한 값을 가지는 것으로 제한된다.

베셀 함수 $J_m$은 기본적으로는 $r$에 대한 $m$차 다항식이다. 여기서는 이 함수에 대한 구체적인 표현은 생략하고, 아래에 몇몇 $m$의 차수에 대해 그래프로 나타낸다.

위 그래프에서 보는 것처럼 $J_m(r)$은 진동하는 함수로서 $m=0$인 경우 순차적으로 2.405, 5.520, 8.654, 11.792, 14.931의 근을, $m=1$인 경우는 3.832, 7.016, 10.174, 13.324, 16.471의 근을 가지고 있다. 따라서 $m=0$의 경우 $ka=$2.405인 $k$값을 가지면 원형 테두리에서 진동이 억제되고, 이 경우의 $k$값이 가능한 모든 고유진동 중에서 최솟값을 가지므로 진동수가 최소인 기본진동을 이룬다. 각각의 $m$에 대해서 근을 순서대로 해서 각각의 근이 원형 테두리의 가장자리에 해당하게 두어 $n$ 번째 근의 고유상태를 $[m,n]$으로 표현하자. 또 $[m,n]$ 상태에 대한 고유진동수는 $\omega_{mn}=k_{mn} v$ 표현하자. 예를 들어 기본진동수 바로 위의 고유진동수는 $[1,1]$ 모드로서 $\omega_{11}=1.593\omega_{01}$이 될 것이다.

아래 그림은 원형 막의 진동모양을 보여준다. 여기서 기본진동수 $\omega_{01}$에 대한 상대진동수를 보여주고, 이 값에 걸맞는 속도로 진동하는 것을 움직임으로 나타낸다.

[질문1] \eqref{eq3} 식을 $r$과 $\theta$에 대한 두 함수로 변수분하여 표현하라. 그리고, 이 중에서 $\theta$에 대한 방정식의 경우 $\theta$가 $2\pi$의 주기성을 가지는 것으로부터 해가 쉽게 구해진다. 이 과정을 보여라.

[질문2] 앞 '원형 막의 정상파' 절에서 원형을 분할해서 마디선과 푸른 색조와 붉은 색조로 반대 위상인 영역을 나타내었다. 위 '원형 막의 진동모드'에서 $m=4, n=5$까지 모두에 대해서 이러한 그림을 그려라. 아울러 그리고 이 분할에서의 규칙성을 찾아 보아라.

_ 파동방정식_ 경계조건_ 진동수_ 위상_ 주기_ 스핀