정상파와 공명

물방울의 공명

물 등의 액체 방울은 그것의 표면장력에 의해 특별한 모양으로 진동을 한다. 이때 고유진동모드는 대체로 구면조화함수(spherical harmonics) $Y_{lm}(\theta, \phi)$의 형태를 하게 된다. 즉, 물방울의 중심에서 표면까지의 거리는 다음 식처럼 방향과 시간의 함수로 표현된다. \[ R(\theta, \phi; t) = R_{0} + \sum^{\infty}_{l=0} \sum^{l}_{m=-l} \alpha_{lm}(t) Y_{lm} (\theta, \phi) \] 여기서 $R_0$은 방울의 평형상태에서의 반경을 나타낸다. 또한 $l$은 진동의 기본 모드수(mode number)로 0, 1, 2 등의 자연수 값을 가지고, $m$은 하부 모드수로 $-l \sim l$의 정수값을 가진다. 표면장력상수를 $\alpha$, 밀도를 $\rho$라 할 때 고유진동수는 \[ \omega_l = \sqrt{\frac{\alpha l(l-1)(l+2)}{\rho R_0^3}} \] 이다. 따라서 고유진동수(eigenfrequency)는 오직 모드수 $l$에만 의존하여 $2l+1$ 개의 진동이 같은 고유진동수를 가져서 축퇴(degenernation)되어 있다. 여기서 $l=0$의 경우는 방사상으로의 진동으로 물처럼 비압축성 유체의 경우는 이 진동이 배제되고, 또한 $l=1$의 경우는 액체 방울이 한 방향으로 병진운동을 하는 것이므로 이 또한 배제된다. 따라서 물방울은 $l=2$의 진동이 최저진동수를 갖는 기본진동이 된다.

아래 그림은 어느 순간의 물방울의 진동을 입체적으로 관찰하게 한다. 양자수 $l$과 $m$을 변경해서 진동 모양이 어떻게 달라지는지 잘 살펴보자.

_ 구면조화함수_ 표면장력_ 양자수_ 유체_ 진동_ 축퇴_ 액체