파동의 회절

아래 그림은 파동이 회절에 의해 장벽을 넘어가는 것을 보여주고 있다. 계산은 앞에서 다루었던 프레넬-키르히호프 회절이론을 2차원에서 적용한 전개한 결과를 이용한다. 파장이나 파원의 위치 등 다양한 조건으로 회절된 것을 살펴 볼 수 있다.

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장벽에서의 회절_ 파원에서 나온 파동이 화면의 중앙점 아래로 있는 장벽을 만나서 회절된다. 파원을 마우스로 옮길 수 있으며, 파원의 좌표값은 화면의 중앙을 원점으로 해서 나타내고 있다. 아래 '파장' 슬라이더로 파장을 10 ~ 200의 범위에서 변경할 수 있다. 오른쪽에는 파동의 세기를 그래프로 나타내며, '진폭보기'를 선택하면 진폭의 그래프로 바뀐다. 한편 'Copy Data' 버튼을 클릭하면 보다 정교한 결과가 클립보드에 복사된다.

프로그램 설명

1. 2차원에서의 회절이론을 적용하여 장벽을 넘어가는 파동의 진폭이나 세기의 분포를 계산한다. 이때 '진폭보기'를 선택하면 진폭의 데이터를, 선택하지 않으면 파동의 세기를 그래프로 나타낸다. 클립보드로 복사되는 데이터나 한 지점의 데이터도 마찬가지로 이 선택에 따른다.

2. 화면의 중앙점을 $(x, y)$ 좌표의 원점으로 하고 있으며, $x\geq 50$의 영역에서 $x=50, 100, \cdots$의 직선에 형성되는 파동의 진폭이나 세기를 붉은 색의 그래프로 나타내고 있다.

3. 'Copy Data'로서 보다 정교하게 계산한 결과를 클립보드로 복사한다. 이를 엑셀(Excel) 등 계산표(spreadsheet) 프로그램에 붙여넣어서 활용할 수 있다. 이때 복사되는 데이터는 화면 오른편의 푸른 색조의 영역에 대한 것이다.

4. 거리에 대한 단위는 특별히 나타내지 않았으나 회절원리는 축척에 무관하므로 아무 단위나 붙여도 된다. 즉 단위를 m로 한다면 수면파나 음파 등에 해당하고 nm 처럼 아주 작은 단위를 붙이면 빛 등의 파동에 해당한다.

5. 파원에서 발생된 구면파가 $x=0, y\geq 0$의 각 지점에서 새로운 파원을 형성하여 $x \gt 0$의 영역에 도달하는 전체 파동량을 계산한다. 장벽이 끝나는 지점은 $x=0$으로 $y$ 축의 $+$ 방향으로 무한히 열려 있으나 $y \leq 500$으로 계산을 제한하였다.

6. 파원은 화면 왼쪽 붉은 색조의 영역 위에서 마우스를 끌어서 이동할 수 있으며, 이의 좌표값은 화면 왼쪽 위에 표시된다. 또한 파장은 10 ~ 200 의 범위로 조절할 수 있다.

7. 오른쪽 영역의 원형 표식을 마우스로 끌어서 이동하면 그 지점의 좌표와 진폭이나 세기가 화면 위에 표시된다. 따라서 지점을 고정하고 파장을 변화시키면 파장에 따른 회절 양상의 변화를 볼 수 있다.

8. 화면의 전체 규모는 720 x 360 이다. 따라서 회절영역은 360 x 360 이다.

2차원 회절이론

1. 앞의 '프레넬-키르히호프 회절이론'은 3차원에 대한 이론으로 이것을 2차원에 대한 것으로 다시 정리할 수 있다. 즉, $(r, \theta)$의 2차원 공간에서의 파동에 대한 회절이론을 구성하면 된다. 이 절차는 3차원에 대한 전개 절차와 동일하다. 즉, 한 파원에서 발생한 파동이 관측점 $P$에 들어가는 총체적인 효과를 계산하는 데 이 점을 둘러싼 폐곡선에 대한 정보를 이용하게 된다.

2. 여기서는 앞에서의 구면파의 해 $\Phi=\Phi_0 \frac{e^{i(kr+\omega t)}}{r}$ 대신 원형파의 해 \[ \begin{equation} \label{eq1} \Phi=\Phi_0 \frac{e^{i(kr+\omega t)}}{\sqrt{r}} \end{equation} \] 를 이용한다. 이는 2차원 파동방정식의 엄밀한 해는 아니고 $r$이 클 때의 근사해이다. 실제로 3차원의 구면파처럼 2차원에서 원형파의 해는 베셀 함수로 표현된다. 위 프로그램에서는 이 해를 이용하였으므로 $r$이 파장에 비해서 큰 값을 가질 때 보다 정확해진다.

3. 앞 페이지에서의 $\Psi_P$에서와 유사하게 \[ \Psi_P \sim \sqrt{k} e^{-i \omega t} \int_{\mathrm{window}} \frac{e^{ik(r+r')}}{\sqrt{rr'}} \left[\frac{\hat{n} \cdot \hat{r}' - \hat{n} \cdot \hat{r}}{2}\right] dl \] 으로 다시 정리된다. 여기서 적분은 열려있는 구간에 대한 선적분이다. 위 프로그램은 이 식을 이용한다. 여기서 $\hat{n} = - \hat{x}$이고, 따라서 대괄호 속의 경사인자는 광원과 스크린에서 바라본 창의 한 지점에 대한 방향 cos의 평균값이다.

4. 2차원의 회절은 수면파, 막의 파동 등에 해당한다. 그러나 3차원이라도 $z$ 축에 무관한 경우라면 이 이론을 적용할 수 있다. 예를 들어 무한히 긴 직선의 파원에서 나오는 원통파가 슬릿과 같이 길게 이어진 틈을 통과하는 경우도 이러한 상황이다. 빛의 경우에서의 단일슬릿 회절이나 칼날의 프레넬 회절 등이 이에 해당된다.

관찰 사항

1. 정교한 데이터는 'Copy Data'로 얻을 수 있다. 이를 Excel 등에 복사해서 회절 결과를 3D 그래프나 등고선 그래프로 그려보라.

2. 처음 주어진 조건에서 파장을 줄이면 장벽에 가려지지 않은 부분의 진폭이 세고 약한 지점이 교대로 분포되는 것을 볼 수 있을 것이다. 이 간격과 파장이 어떤 관련이 있는가? 또한 파원과 장벽사이의 거리와 이 간격 사이에는 어떤 관련이 있는지 알아보자.

3. 일반적으로 파동의 회절을 장애물을 돌아서 통과하는 현상으로 설명하기도 한다. 장벽 뒤로 전달되는 파동의 진폭을 살펴서 이러한 성질이 파장에 어떻게 의존하는 지를 조사하라. 이를 위해 장벽에 의해 가려진 공간의 몇몇 지점을 택하고, 파장별로 진폭을 조사한 그래프와 지점별로 진폭을 조사하여 오른쪽의 표에 기록하고, 이를 그래프를 나타내어라.

[질문1] 이 프로그램에서 결과는 진폭이나 세기로 나타내었다. 이 경우 파장이나 공간의 길이를 같은 비율로 크게 하거나 작게 하여도 결과는 같다. 즉 축척에 무관하다. 이를 회절이론으로부터 검증하라. 그렇다면 파동의 속도나 진동수와 같이 시간에 연동된 물리량은 어떻게 변경해야 할까? 파동방정식이 변환에 대한 불변성을 가지기 위해서 공간 축척과 시간 축척을 어떻게 연동시켜야 할까?

[질문2] \eqref{eq1} 식이 2차원 파동방정식의 근사해가 되는 것을 검증하라.

[질문3] 장벽의 두께가 변화한다면 진폭의 크기가 어떻게 변화하겠는가? 혹은 막대형 장벽이 아닌 곡선형 장벽의 경우 회절의 모양은 어떻게 변화하는지 예상하라.