원형구멍 회절

광학기구와 분해능

점광원이 결상광학계에서 에어리 원판의 상으로 맺힌다.

사진기로 점광원에서 나오는 빛의 상을 필름면에 맺게 하는 경우를 생각해 보자. 결상시키는 광학계는 조리개나 렌즈의 유한한 크기 때문에 원형으로 유한한 영역만 열려 있어서 이의 회절무늬가 필름에 형성된다고 생각할 수 있다. 따라서 점의 실상이 점이 아닌 에어리 원판으로 만들어져서 무수한 점이 모여서 형성되었다고 볼 수 있는 복잡한 물체의 영상이 흐려지는 것을 피할 수 없다.

이러한 것은 사진기뿐만 아니라 우리의 눈, 현미경, 망원경 등 상을 맺는 거의 모든 광학기구에 해당되는 것으로 영상이 흐려지는 정도를 나타내기 위하여 광학기기의 분해능을 정의한다. 이 분해능은 두 개의 점광원이 얼마나 가까이 있더라도 두 개로 분리된 광원으로 보이는가 하는 것을 나타낸다.

모든 광학기구는 회절한계로 불완전하게 작동한다.

사진기처럼 물체의 실상이 필름이나 스크린 상에 형성되는 경우에 이의 상이 원형구멍의 회절무늬와 어떻게 관련되어 있는가를 아래의 그림으로 설명하고 있다. 결상시키는 대물렌즈의 군(群: group)을 그림에서 처럼 두 개의 볼록렌즈로 역할을 달리하여 나누어 보면 가운데의 조리개를 통과하는 평행광선이 바로 프라운호퍼 회절상황이 됨을 보여주고 있다. 이때 조리개의 열려있는 부분이 대체로 원형을 이루고 있으므로 이의 회절무늬가 렌즈2의 초점면에 있는 필름에 형성된다. 경우에 따라서 대물렌즈가 단일 볼록렌즈로 되어 있는 경우가 있는 데 이때에는 하나의 볼록렌즈를 두 개의 볼록렌즈가 합성된 것으로 이해할 수 있을 것이다. 또한 망원경이나 현미경의 경우처럼 우리 눈으로 관찰하는 경우에는 대물렌즈가 만드는 1차의 실상이 분해능에 중요하게 영향을 미치게 된다.

_ 프라운호퍼 회절_ 대물렌즈_ 볼록렌즈_ 조리개_ 망원경_ 현미경_ 초점_ 실상

분해조건과 레일리 기준

두 원판이 겹치더라도 반경보다 멀리 떨어지면 둘로 인식된다.

아래의 프로그램을 운용해 보자. 프로그램에서는 조리개의 직경, 빛의 파장, 두 점광원이 이루는 시차를 각각 조절할 수 있다. 이에 따라 필름면에는 두 개의 에어리 원판이 나타나고, 이때 점광원이 시차가 줄어들면 두 원판이 크게 겹쳐져서 두 개의 점광원에서 나온 것인지 하나에서 나온 것인지 분간할 수 없는 상황이 나타난다.

에어리 원판은 위 그림에서 상징적으로 나타낸 것 처럼 경계가 뚜렷한 원판이 아니라 실제로는 중앙으로 갈수록 밝아지고, 주변에서는 서서히 어두워져서 가장자리에서는 광량이 0 이 된다. 따라서 분해가능과 분해불가능을 뚜렷하게 판단할 근거가 모호해지는 데 이의 기준으로서 대체로 레일리가 도입한 것을 따른다.

레일리 기준(Rayleigh's criterion)은 두 개의 에어리 원판이 떨어진 거리가 원판의 반경과 같을 때를 겨우 분해 된것으로 한다. 이런 조건을 충족하는 두 점광원이 이루는 시각차를 분해한계각이라 한다. 이는 바로 에어리 원판의 각반경과 같다. \[ \begin{equation} \label{eq1} \Delta\phi_{\mathrm{min}}= \Delta \theta = 1.22 ~\frac{\lambda}{D} \end{equation} \]

분해능은 보편적으로 이 값의 역수로 나타내어 분해능이 높은 경우에는 분해한계각이 작은 것을 말한다. 분해능을 높여서 선명한 영상을 얻기 위해서는 관측하는 빛의 파장을 줄이는 것도 한 방법이 된다. 그러나 가시광선을 사용하는 광학기구의 경우에는 파장이 제한되어 있기 때문에 조리개, 혹은 렌즈의 직경을 크게 할 필요가 있다. 직경이 커지면 받아들이는 광량도 커질 뿐만 아니라 에어리 원판의 크기도 줄어들어 보다 선명한 상을 얻을 수 있다.

카메라의 분해능

초점거리 $f$인 카메라로 멀리 있는 물체를 촬영하는 상황을 생각하자. 두 물체가 분해한계각의 시차를 가지고 있다면 이들의 영상은 필름(CCD)에서 두 개의 에어리 원판이 서로 원판의 반경만큼 겹쳐진채로 만날 것이다. 이때 필름 위에서 두 상의 거리가 $d$라면 \[ \frac{d}{f} = 1.22 ~\frac{\lambda}{D} \] 이다. \[ d = 1.22 ~ \lambda \left(\frac{f}{D} \right) \] 여기서 $\frac{f}{D}$는 카메라의 f-수로 대체로 2 ~ 20 정도의 범위에서 조절할 수 있게 되어 있다. 따라서 f-수가 작을수록 분해가능한 거리도 더 작아지는 것을 알 수 있다. 예를 들어 디지털 카메라를 하한값인 f-3.5로 동작한다고 했을 때 500nm의 파장에 대해 $d \approx 2.14 ~\mu \text{m}$이다. 이의 CCD의 화소간의 간격이 이보다 작게 하더라도 화질이 썩 좋아지지는 않을 것이다.

[질문1] 사람 눈의 동공의 지름은 약 2mm이다. 파장을 500nm를 선택했을 때 분해한계각이 얼마인가? 또한 10m 떨어진 위치에서의 분해가능 거리는 얼마인가? (오직 원형구멍의 회절에만 제한 받는다고 가정하자)

[질문2] 질문 1의 결과로부터 4m 떨어진 지점에 있는 HD(1920x1080 픽셀) 텔레비전의 각 픽셀을 분해할 수 있기 위한 화면의 대각선 길이의 최솟값이 얼마인지 계산해 보라. 관측 빛의 파장은 500nm으로 하고, 아울러 텔레비전의 각각의 픽셀은 정사각형이라고 가정한다.

[질문3] 사람 눈의 f-수(f-number)는 2.1 정도 된다. 막막에서의 시세포의 간격이 얼마까지 의미가 있을까? 실제 사람 눈의 시세포와 비교해 보라. (실제로는 구면수차 등 다른 광학적 특성과 관련되어 있다)

[질문4] 100km 상공의 정찰위성이 지상의 물체를 500nm의 파장의 빛으로 촬영한다. 이때 지상의 10cm를 식별하기 위해 사용해야 할 카메라 렌즈의 지름은 최소한 얼마 이상이어야 하는가? 만일 100nm의 자외선으로 동일한 효과를 보기 위한다면 이 자외선 카메라에 사용해야하는 렌즈의 지름은?

[질문5] f-수가 1.8인 어떤 스마트폰이 있다. CCD 면에서 분해가능한 거리 $d$는 얼마일까? 만일 CCD가 1mm에 600개의 화소를 가지고 있다면 분해능 측면에서 f-수 1.8이 충분히 성능을 발휘할까? (f-수 1.8은 스마트폰의 카메라로는 고성능으로 분해능 외에도 집광능력, 심도 등 다른 성능과도 관련되어 있다)

[질문6] 허블 우주망원경은 반사경의 직경이 2.4m으로 근적외선, 가시광선, 근자외선을 관찰한다. 500nm의 가시광선을 기준으로 했을 때 시차가 얼마 벌어진 두 항성을 분해할 수 있을까?

_ 허블 우주망원경_ 눈_ 가시광선_ 볼록렌즈_ 구면수차_ 초점거리_ 레일리_ 조리개_ 회절_ 심도