광학기구의 수차

수차

렌즈나 거울의 피할 수 없는 장애

한 점에서 나온 빛이 렌즈를 거쳐서 한 점에 모이는 상황은 근축광선의 조건을 만족할 때 뿐이다. 따라서 근축광선이 아닌 경우에는 렌즈를 거친 후에 상당히 넓은 영역으로 퍼져버린다. 이렇게 이상적인 결상관계에서 어긋나는 것을 수차(aberration)라고 한다. 수차는 결상계가 가지고 있는 근본적인 것으로 어느 수준까지 줄일 수는 있지만 없앨 수는 없다. 특히 특정한 상황에 대한 수차를 줄인다면 다른 상황에서는 오히려 크게 나타나는 경우가 많다.

수차는 크게 단색수차(monochromatic aberration)와 색수차(chromatic aberration)로 나눌 수 있는 데 둘 중 색수차는 렌즈의 매질이 가지는 분산 특성에서 비롯되고, 단색수차는 분산에 관계없이 렌즈나 거울의 기하학적인 형태에서 비롯된 것으로 구면수차, 코마수차, 비점수차, 만곡수차, 왜곡수차 등이 있다.

수차는 이 단원에서 서술하는 것처럼 광선의 이상행동으로 이해할 수 있지만 보다 엄밀하게는 파면의 이상행동으로 다루어야 한다. 예를 들어 평면파가 볼록렌즈에 입사했을 때에는 초점을 중심으로 한 구면파로 렌즈를 빠져나와야 한다. 따라서 구면에서 파면이 부분적으로 왜곡된 정도가 수차를 대변하고 이를 파면수차라 한다.

_ 파면수차_ 근축광선_ 볼록렌즈_ 평면파_ 구면파_ 초점_ 거울_ 분산

구면수차

구면수차(spherical aberration)는 광축의 한 점에서 나온 광선들이 렌즈를 거친 후 광축의 한 점에서 만나지 못하는 것을 말한다. 이는 광축에서 나온 빛이 렌즈의 가장자리를 통과하는 경우 근축광선의 조건에서 벗어나기 때문에 생기는 것으로 보통 결상의 지점이 앞으로 당겨지게 된다. 이를 다음 프로그램으로 관찰할 수 있다. 여기서는 물체가 무한히 멀리 있어 렌즈에 평행광선으로 입사해서 이상적으로는 초점에 상이 맺히는 상황이지만 가장자리를 통과한 빛은 렌즈에 가까운 지점으로 점점 당겨져서 만나는 것을 알 수 있다.

렌즈의 중심축, 즉 광축에 대해 서로 대칭점을 통과하는 두 광선은 렌즈를 통과한 후 광축에서 만나기는 하지만 광축에서의 벗어난 정도에 따라서 만나는 점이 다른 것을 알 수 있다. 위 그림에서는 이를 붉은 점으로, 그리고 광축에서의 그 범위를 L·SA 로 나타내었다. 이들 점 중에서 렌즈의 초점이라 불리는 지점은 광축에서 가까운 광선이 만나는 곳으로 볼록렌즈나 오목렌즈를 불문하고 그 범위 중 렌즈에서 가장 먼 곳에 있다. 이제 광축에 수직하게 스크린을 놓아서 상을 관찰한다면 광축상 어느 지점을 선택하더라도 상은 원판의 모양을 가질 것이다. 특히 초점에 스크린을 놓는다면 가장자리를 통과한 광선들이 광축을 교차해서 이미 상당한 수준으로 퍼져버리기 때문에 원판의 크기는 오히려 매우 클 수가 있다. 실제로 이보다 렌즈에 더 가까운 위치에 최소의 반경을 가지는 허리를 가지는 것을 볼 수 있다. 이를 최소혼동원(circle of least confusion: Σ_LC)이라 하는 데 그림에서 Σ_LC로 표시하고 있다. 만일 조리개로 빛을 받아들이는 범위를 줄인다면 최소혼동원의 지점은 초점 쪽으로 물러나서 극단적으로 조리개를 조여진 상황에서는 초점에 이르게 될 것이다. 한편 caustic으로 표시한 곡선은 초점선(caustic curve)인 데, 이는 광선이 광축에 이르면서 형성하는 포락선으로 렌즈의 초점에서 끝난다.

광축에 나란한 평행광선에 대해서라면 렌즈의 곡면을 비구면으로 해서 완벽하게 없앨 수 있을 것이다. 즉, 렌즈의 가장자리에서 굴절이 구면렌즈의 경우보다 더 적은 각으로 일어나게 하면 광축에서 대응된 광선과 만나는 점을 뒤로 보낼 수 있다. 따라서 이러한 비구면렌즈는 가장자리로 갈수록 기울기가 구면에 비해서 완만해지는 모양이 될 것을 쉽게 예상할 수 있다. 그러나 물체가 광축 상 먼 곳으로부터 렌즈쪽으로 접근하게 되면 다시 수차가 나타나서 점점 커지게 될 것이다.

다음 그림은 거울의 구면수차를 보여주고 있다. 앞의 경우와 비교해 보면 비슷한 초점거리에서 거울의 구면수차가 렌즈보다 현저하게 적게 나타나는 것을 알 수 있다.

약간의 이론적 전개

아래 그림은 '구면경계와 렌즈' 단원에서 다룬 구면경계에서 입사하는 빛이 굴절하는 것을 보여준다. 거기서는 $\sin\theta \approx \theta$ 등의 근사를 이용하였기 때문에 $\theta$가 작은 경우에만 성립하는 근사식으로의 결상공식을 이끌어 낼 수 있었다. 즉, 아래 그림에서 $h$가 작은 경우에는 $S$에서 나온 빛이 모두 $P$에 모여들어 상을 형성하였다. 이제 여기서의 수차를 알아보기 위해서 앞서 근사식의 정도를 좀더 정교하게 바꾸어 보도록 한다. 예를 들어 $\sin$함수의 경우 \[ \sin \theta = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots \] 으로 전개되는 데 1차근사에서는 오른편의 첫 항만 고려한 것이다. 이제 그 다음 차수인 $\theta^3$까지 반영하게 되면 3차 수차(third order aberration)가 된다. 이렇게 4차 수차, 5차 수차 등 삼각함수를 전개할 때 각도에 대한 차수를 높이면 더욱 정교하게 수차에 대해 해석할 수 있게 된다.

위 그림에서처럼 매질의 굴절률, 구면경계의 굴절률과 곡률반경이 각각 $n_1, n_2,$와 $R$인 경우를 고려하자. 이제 $S$에서 출발하여 광축에서 $h$만큼 벗어난 지점 $A$를 통과한 광선이 다시 광축과 만나는 $P$ 지점을 찾아야 한다. 즉 $s_o$가 주어질 때, 굴절법칙으로 부터 $s_i$를 $h$의 함수로 나타내어야 하는 단순한 문제이다. 그러나 해석적으로 풀이가 되지 않아서 이를 근사로 다룰 수 밖에 없다. 여기서 근사해석의 절차를 세부적으로 전개하지는 않겠지만 다음의 몇 가지 유용한 관계를 이용하게 된다. 우선 $\triangle SAV$의 삼각형과 $\triangle CAP$의 두 삼각형에서 제2코사인법칙 \[ l_o^2 = (s_o + R)^2 + R^2 - 2R (s_o + R)\cos \phi, \] \[ l_i^2 = R^2 + (s_i - R)^2 + 2R (s_i - R)\cos \phi \] 와 수식의 전개과정에서 나오는 $\arctan$ 함수를 다음의 멱급수 전개하는 등 몇 가지 근사식을 이용한다. \[ \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots. \] 이에 따라 \[ \begin{equation} \label{eq1} \frac{n_1}{s_o} +\frac{n_2}{s_i} \approx \frac{n_2-n_1}{R} + h^2 \left[ \frac{n_1}{2s_o} \left( \frac{1}{s_o} + \frac{1}{R} \right)^2 + \frac{n_2}{2s_i} \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{s_i} \right)^2 \right] + {\scr O}(h^3) + \cdots \end{equation} \] 을 얻게 된다 (질문1). 여기서 $h^2$ 항을 무시하면 앞서 '구면경계와 렌즈' 단원에서 다룬 대로이며, $s_o$와 $s_i$가 오른쪽 항에도 나타난다. 이제 $h^2$까지 다룬다면(3차 수차) 더 정교해지나 $h$에 따라 $s_i$가 달라지기 때문에 광축에서 벗어날수록 상의 위치가 더 이동하여 앞서 모의실험으로 보인 결과를 설명하는 것을 알 수 있다.

3차 수차를 전개하는 과정에서 알 수 있는 것처럼 수차를 이와 같이 광선추적을 기반으로 한 기하학적 문제로 다루는 것은 차수가 올라가면 더욱 난삽해진다. 근본적으로는 기하광학이 빛의 진행을 근사로 다루는 것이기 때문에 파동의 회절이론을 기반으로해서 수차이론을 보다 엄밀하고 체계적으로 다루게 된다. 이러한 이론체계를 수차회절이론이라 하는 데 이는 기하광학이 아닌 파동광학의 영역이다. 이는 뒤의 '빛의 회절' 단원에서 다룬다.

허블 우주망원경의 수차

허블 우주망원경이 처음 발사되어 관측을 시작했을 때 예기치 못하게 큰 수차를 가지고 있는 것을 알았다. 이를 교정하기 위해 몇차에 걸쳐 수리를 해서 지금은 상당한 수준으로 수차가 제거되어 빅뱅을 비롯한 현대 우주론을 검증하는 임무를 잘 수행하고 있다. 아래 그림은 수차가 제거된 효과를 보여주는 관측 사진이다. 이의 왼쪽은 수리하기 전 구면수차를 많이 가지고 있 때의, 오른쪽은 이를 상당수준으로 제거한 이후의 M-100 나선은하를 촬영한 사진이다.

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허블 우주망원경의 구면수차_허블 우주망원경의 수차가 제거되기 전(왼쪽)과 제거된 후(오른쪽) M-100 나선은하를 촬영사진이다.

[질문1] 구면경계에서의 결상공식을 보다 정교하게 유도하면 \eqref{eq1} 식이 되는 것을 보여라.

[질문2] \eqref{eq1} 식에서 볼록구면경계에서 $h$가 커짐에 따라 상초점거리가 줄어들어 점점 렌즈 쪽에 더 가까워지는 것을 설명하라.

[질문3] 오목구면경계에서 $h$가 커질 때 상초점의 위치는 어떻게 이동할까?

[질문4] 구면을 다른 형태의 곡면으로 바꾸어서 구면수차를 줄이려고 한다. 오직 평행광선이 $h$에 무관하게 한 점에서 모이게 하는 목적이라고 하자. $h$ 지점에서의 구면이 변경되어야 할 경향을 설명하라. (즉 곡률이 어떻게 달라져야 할까?) 또 이와 같은 용도로 쓸 수 있는 비구면(aspheric)인 곡면의 방정식은 어떤 형태일까? 이처럼 렌즈의 곡면이 비구면인 렌즈를 비구면렌즈(aspherics lens)라 한다.

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