두꺼운 렌즈

광선행렬

광선추적과 광선행렬

광선은 굴절률이 일정한 공간에서 직진하다가 매질의 경계에서는 굴절의 법칙을 따라서 굴절하는 단순한 행동을 하기 때문에 어떤 광학기구에서나 광선의 행동을 끝까지 추적할 수 있다. 이를 광선추적(ray trace)이라 하는 데 광선이 하나둘이라면 이러한 계산은 그렇게 어려운 일은 아닐 것이다. 그러나 실제로 광선의 집단적으로 여러 위치에, 또 여러 방향으로 향할 때 이를 총체적으로 다루는 것은 고단한 작업이 될 것이다. 보통은 주어진 광학계가 가진 결상능력을 광선추적법으로 컴퓨터로 빠르게 계산한다.

광선추적으로 렌즈나 거울 등의 광학기구들에서의 광선의 행동을 계산하기에 편리한 방법이 여럿 도입되어 있지만 이 중에서 광선행렬법(ray matrix method)이 널리 쓰인다. 이는 광선을 2차원 벡터로 이해하고, 이 광선의 진로를 변화시키는 광학기구를 $2 \times 2$ 행렬로 보는 것으로 이 행렬의 요소가 A, B, C, D의 넷이 있어서 이 기법을 ABCD 행렬법(ABCD matrix method)이라고도 한다.

광축을 공유하면서 직선으로 배열된 렌즈나 거울 등의 광학기구가 놓인 평면에서 움직이는 광선은 언제나 그 평면 위를 이동한다. 평면을 벗어나는 방향으로의 광선, 즉 비축면광선(skew ray)도 있을 수 있으나 이때에는 서로 수직한 두 개의 평면을 도입하여 이 평면에 투영된 두 개의 광선 에 대한 문제로 다룰 수 있다. 따라서 여기서는 일반적으로 자오광선(meridional ray)이라 하는 광선과 광축이 공통평면을 이루는 경우만 고려한다.

그리고 광선이 광축에서 기울어진 각이 반시계방향으로 회전해 있을 때를 + 로 삼고, 아울러 이 각이 0 에 가까운 근축광선을 생각하자. 이제 한 지점에서의 광선은 광축에서 벗어난 거리 $y$와 기울어진 각도 $\theta \approx \sin\theta \approx \tan\theta = y'$으로 완전히 묘사된다.

공간에서 직진하는 빛의 광선행렬 해석

광선이 굴절률이 일정한 공간을 $d$만큼 진행하는 단순한 상황을 생각해보자. 아래 그림에서 알 수 있는 것처럼 광선의 기울기는 변하지 않으므로 $\theta_2 = \theta_1$이나 광축에서의 거리는 $y_2 = y_1 + d \theta_1$으로 변한다. 이 두 관계를 다음과 같이 표현하자. \[ \array{ y_2 &=& 1 \cdot y_1 &+& d \cdot \theta_1, \\ \theta_2 &=& 0 \cdot y_1 &+& 1 \cdot \theta_1. } \] 여기서 수식을 구조적으로 보이기 위해서 $\cdot$와 $0$을 삽입해서 나타낸 것이다.

이제 이 식을 다음과 같이 행렬로 표현하자. \[ \left[\array{ y_2 \\ \theta_2} \right] = \left[\array{ 1 & d \\ 0 & 1 } \right] \left[\array{ y_1 \\ \theta_1 } \right]. \] 이는 비록 직진하는 빛을 표현하는 데 불과하지만 각종 광학기구들은 다음처럼 $A, B, C, D$의 네 요소를 가진 행렬에 의해 같은 형식으로 변환된다. \[ \left[\array{ y_2 \\ \theta_2} \right] = \left[\array{ A & B \\ C & D } \right] \left[\array{ y_1 \\ \theta_1 } \right]. \]

어떤 광학기구를 대표하게 되는 이 2 X 2 행렬을 전달행렬(transfer matrix), ABCD 행렬(ABCD matrix), 혹은 광선행렬(ray matrix)이라 한다.

렌즈의 전달행렬

이제 얇은 렌즈의 전달행렬을 찾아보자. 위 그림처럼 렌즈의 앞 $s_o$ 떨어진 지점에서 렌즈를 통과한 광선이 렌즈 뒤 $s_i$에 도달한다. 이때 광선이 렌즈를 막 통과한 순간의 $(y, \theta)$의 변환을 고려하므로 $y_2 = y_1$이고, 또한 그림에서 식으로 나타낸 것처럼 $\theta_2 = - \frac{y_1}{f} + \theta_1 $ 이므로 \[ \array{ y_2 &=& 1 \cdot y_1 &+& 0 \cdot \theta_1, \\ \theta_2 &=& -\frac{1}{f} \cdot y_1 &+& 1 \cdot \theta_1 } \] 이다. 따라서 초점거리 $f$인 얇은 렌즈의 전달행렬은 \[ T = \left[\array{ 1 & 0 \\ -\frac{1}{f} & 1 } \right] \] 이 된다.

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여러 광학기구의 전달행렬

매질의 경계의 전달행렬

굴절률이 $n_1$와 $n_2$인 매질이 광축에 대해 수직의 경계를 이루고 있다면 스넬의 법칙에 의해 $n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$이고, 이는 근축광선의 근사에 의해 $n_1 \theta_1 = n_2 \theta_2$, 즉 $\theta_2 = \frac{n_1}{n_2} \theta_1$ 이다. 따라서 \[ \begin{equation} \label{eq1} T = \left[\array{ 1 & 0 \\ 0 & \frac{n_1}{n_2} } \right] \end{equation} \] 이다.

구면경계의 전달행렬

곡률반경이 $R$이고 굴절률이 $n_1$와 $n_2$으로 경계를 이루는 경우 \[ \begin{equation} \label{eq2} T = \left[\array{ 1 & 0 \\ -\frac{n_2-n_1}{n_2R} & \frac{n_1}{n_2} } \right] = \left[\array{ 1 & 0 \\ -\frac{{\scr D}}{n_2} & \frac{n_1}{n_2} } \right] \end{equation} \] 이다. 여기서 \[ {\scr D}=\frac{n_2-n_1}{R} \] 는 이 구면경계에 대한 굴절능(dioptric power)이다.

한편, 구면의 경계이든 아니든 매질이 달라지는 영역을 진입하는 경우는 언제나 \[ \det T = \frac{n_1}{n_2} \] 인 것이 특기할만 하다. 따라서 동일한 굴절률의 매질 속에서 작동하는 광학기구는 언제나 $\det T =1$이 된다.

평면거울의 전달행렬

거울이 광축에 수직으로 되어 있다면, 위치 $y$은 변하지 않지만 진행 방향이 바뀐다. 여기서 $z$축을 정의할 때 광축에 나란하면서 광선이 나아가는 쪽으로 $+$ 방향으로 삼는 약속을 하자. 그러면 거울은 $z$축을 반대로 바꾸지만 이 새로운 축에 대해서 보면 진행 방향이 바뀌지 않는 것이 된다. 기하광학 단원의 '기하광학에서 부호의 약속'에서 설명한 것처럼 이 경우에도 여전히 $y$의 $+$ 방향을 위 쪽으로 삼는다. 따라서 오른쪽으로 진행할 때와는 달리 왼쪽으로 진행할 때는 시계방향으로 회전한 각을 $+$가 되도록 한다. 이렇게 하면 평면거울은 결국 광선에 대해 아무것도 하지 않은 것으로 되어 다루기가 편하고, 아울러 오목거울이나 볼록거울도 볼록렌즈와 오목렌즈와 같이 취급할 수 있게 된다.

이제 거울의 전달행렬은 \[ T = \left[\array{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } \right] \] 이다.

구면거울의 전달행렬

앞서 평면거울은 $z$축을 반대로 바꾸는 것으로 했다. 이러한 약속에서 오목거울의 전달행렬은 볼록렌즈와 같이 표현된다. 이를 곡률반경 $R$로 표현한다면, \[ T = \left[\array{ 1 & 0 \\ \frac{2}{R} & 1 } \right] \] 이다. 오목거울의 경우 부호의 약속에 따라 $R$은 음의 값이고, $f=-\frac{R}{2}$이다.

[질문1] 매질의 경계는 구면경계의 한 예로 생각할 수 있다. 즉 \eqref{eq1} 식은 \eqref{eq2} 식의 특별한 조건에서 성립하는 데 이를 설명하라.

[질문2] 앞에서와 같이 광선의 상태를 $\left[\array{ y \\ \theta} \right]$으로 나타내는 대신 그 지점의 굴절률($n$)을 포함시켜서 $\left[\array{ y \\ n\theta} \right]$으로 나타내기도 한다. 이 표기법으로 구면경계의 전달행렬을 표현해보라.

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