두꺼운 렌즈

광학기구의 조합과 광선행렬

광학기구의 조합은 전달행렬의 곱으로 나타낼 수 있다.

다음 그림처럼 다양한 광학기구가 조합되어 있을 때에는 이들 각각의 전달행렬을 곱해서 나타낼 수 있다. 즉 빛이 진행하는 경로로부터 $T_1, T_2, T_3, ..., T_N$의 순서대로 광학기구나 빈 공간이 놓여 있으면 이들 전체의 전달행렬은 \[ T = T_N ... T_3 T_2 T_1 \] 처럼 행렬의 곱으로 표현된다.

거리 d 떨어진 렌즈

위 그림과 같이 경로 $d$ 만큼 떨어진 위치에 초점거리 $f$의 볼록렌즈가 놓여 있으면 이에 대한 전달행렬은 \[ T = \left[\array{ 1 & 0 \\ -\frac{1}{f} & 1 } \right] \left[\array{ 1 & d \\ 0 & 1 } \right] = \left[\array{ 1 & d \\ -\frac{1}{f} & 1 -\frac{d}{f} } \right] \] 이다.

두 렌즈의 조합

위 그림처럼 초점거리가 $f_1, f_2$인 두 렌즈가 $d$ 만큼 떨어져 있는 경우라면 \[ T = \left[\array{ 1 & d \\ -\frac{1}{f_2} & 1 -\frac{d}{f_2} } \right] \left[\array{ 1 & 0 \\ -\frac{1}{f_1} & 1 } \right] = \left[\array{ 1 - \frac{d}{f_1} & d \\ -\left( \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} \right) + \frac{d}{f_1 f_2} & 1 - \frac{d}{f_2} } \right] \] 이다. 여기서 두 렌즈가 붙어 있다면 $d=0$ 이므로 $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$을 만족하는 $f$의 초점거리를 갖는 단일렌즈와 같다는 것을 확인할 수 있다.

[질문1] 공기 중에서 굴절률이 $n$인 유리가 양쪽 곡률반경 $R_1$, $R_2$으로 중심에서의 두께 $d$로 렌즈를 형성하고 있다. 이 렌즈의 전달행렬을 계산하라. 그리고 이로부터 $d=0$인 극한에서 전달행렬을 구해서 얇은 렌즈의 전달행렬과 비교하고, 이것이 렌즈의 제작자 공식이 되는 것을 보여라.

[질문2] $d_1$ 떨어진 지점에 초점거리 $f$인 볼록렌즈가 있다. 이로부터 $d_2$ 지점까지의 전달행렬을 구하라. 만일 $d_1$ 및 $d_2$가 다음 조건을 만족한다면 입사면의 한 점에서 나온 광선이 입사각에 관계없이 모두 다시 한 점으로 모여드는 것을 검증하라. \[ \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f} \]

[질문3] 초점거리 $f$인 볼록렌즈와 $-f$인 오목렌즈가 $d$ 만큼 떨어져 있을 때 이들을 합성한 전달행렬을 구하라. 이 전달행렬로부터 복합렌즈가 상을 맺는 특성을 논의하라.

[질문4] 굴절률이 $n_1$인 매질에 두께 $d$이고, 굴절률 $n_2$인 평면이 놓여 있을 때 이의 전달행렬을 구하라.

[질문5] 광학기구가 여럿 조합되어 있고, 입사하는 매질의 굴절률을 $n_1$, 최종 매질의 굴절률이 $n_2$이라 하자. 조합된 전체 광학기구의 전달행렬의 행렬식(determinent)이 \[ \det T = \frac{n_1}{n_2} \] 으로 주어지는 것을 검증하라.

_ 렌즈의 제작자 공식_ 얇은 렌즈_ 볼록렌즈_ 오목렌즈_ 초점거리_ 입사면_ 굴절률_ 거울_ 광선