두꺼운 렌즈

두꺼운 렌즈의 전달행렬

다음은 두꺼운 렌즈에서 광선이 행동하는 것을 광선행렬로 해석하는 그림이다. 물체점에서 출발한 광선은 $T_o,T_1,T_d,T_2,T_i$의 전달행렬을 순서대로 통과하여 상점에 도달한다.

렌즈에 입사하는 광선이 처음에 렌즈의 왼쪽 곡면을 만나서 굴절하여 다시 수평거리 $d$를 진행하여 렌즈의 오른쪽 곡면에서 굴절하는 순수한 렌즈의 효과를 먼저 계산하자. 자유공간의 굴절률을 $1$, 렌즈의 굴절률을 $n$으로 두고, 또 렌즈의 왼쪽 구면의 곡률반경을 $R_1$, 오른쪽 구면의 곡률반경을 $R_2$로면 각각의 경계면의 굴절능은 다음과 같다. \[ {\scr D_1} = \frac{n-1}{R_1}, ~~~ {\scr D_2} = \frac{1-n}{R_2} \] 이에 두꺼운 렌즈의 총체적인 효과는 다음과 같이 렌즈의 두께 $d$, 렌즈의 굴절률 $n$과 위의 두 굴절능으로 다음과 같이 정리할 수 있다. \[ \begin{equation} \label{eq1} T_\text{lens} = T_2 T_d T_1 = \left[\array{ 1 & 0 \\ -{\scr D_2} & n } \right] \left[\array{ 1 & d \\ 0 & 1 } \right] \left[\array{ 1 & 0 \\ -\frac{{\scr D_1}}{n} & \frac{1}{n} } \right] = \left[\array{ 1 - \frac{{\scr D_1} d}{n} & \frac{d}{n} \\ -{\scr D_1}-{\scr D_2} + \frac{{\scr D_1 D_2} d}{n} & 1 - \frac{{\scr D_2} d}{n} } \right] \end{equation} \] 이다.

이제 두꺼운 렌즈 앞에서 $d_o$ 떨어진 물체점에서 나온 광선이 렌즈 뒤 $d_i$ 떨어진 지점에 도달하는 것을 계산하는 전체의 전달행렬은 자유공간을 이 거리들 만큼 진행하는 것을 반영하여, \[ T_\text{oi} = \left[\array{ 1 & d_i \\ 0 & 1 } \right] \left[\array{ 1 - \frac{{\scr D_1} d}{n} & \frac{d}{n} \\ -{\scr D_1}-{\scr D_2} + \frac{{\scr D_1 D_2} d}{n} & 1 - \frac{{\scr D_2} d}{n} } \right] \left[\array{ 1 & d_o \\ 0 & 1 } \right] \] 를 계산하면 된다. 그러나 이 계산은 더욱 지저분해지므로 여기서는 이 결과로부터 해석하는 것은 생략하고, 앞서 두꺼운 렌즈에 입사하는 광선이 이를 빠져나가는 순수한 렌즈의 전달행렬 $T_\text{lens}$을 해석하도록 한다. \eqref{eq1} 식의 행렬요소를 $A, B, C, D$로 두면 $C$는 다음과 같이 렌즈의 초점거리와 관련된다. \[ C = -{\scr D_1}-{\scr D_2} + \frac{{\scr D_1 D_2} d}{n} = - \frac{1}{f} \] 이제 광축에 평행으로 입사하는 광선을 생각해보자. 이 경우 입사각이 0 이므로 \[ \left[\array{ y_1 \\ 0} \right] \] 으로 표현된다. 이것이 렌즈를 빠져나가면, \[ \left[\array{ A y_1 \\ C y_1} \right] \] 이 되어 \[ \begin{equation} \label{eq2} d_i = -\frac{A}{C} \end{equation} \] 에서 다시 광축과 만나게 되는 데 이 거리는 $y_1$에 무관하므로 모든 평행광선이 한 점에서 모이는 것을 확인할 수 있다. 또한 이것이 앞 페이지에서 설명했던 후방초점거리(BFL)와 일치하는 것을 확인할 수 있다. (질문2)

[질문1] 두꺼운 렌즈 앞 매질의 굴절률이 $n_o$, 뒤 매질의 굴절률이 $n_i$이라면 이의 전달행렬은 어떻게 될까? 이것이 \eqref{eq1}의 보다 일반적인 표현이 될 것이다.

[질문2] \eqref{eq2} 식이 앞에서 정의했던 후방초점거리가 되는 것을 보여라.

[질문3] $h_2$로 나타낸 렌즈의 오른쪽 끝점($V_2$)과 제2주요점($H_2$)까지의 거리가 다음과 같이 주어지는 것을 보여라. ($h_1$과 $h_2$는 각각 렌즈의 양 끝점 $V_1$와 $V_2$의 오른편으로 있을 때 양($+$)으로 삼는 부호의 약속을 유의하라) \[ h_2 = \frac{1-A}{C} = -\frac{d}{n\left(1+ \frac{\scr D_2}{\scr D_1} - \frac{{\scr D_2}d}{n} \right)} \]

[질문4] 광선행렬법으로 \eqref{eq2} 식의 후방초점거리를 유도하는 절차와 비슷하게 전방초점거리(FFL)를 유도해보라. 또한 이로부터 앞서 $h_1$로 나타낸 렌즈의 왼쪽 끝점($V_1$)과 제1주요점($H_1$)까지의 거리가 다음과 같이 표현되는 것을 보여라. (질문2의 경우에 대해 좌우를 바꾸어서 해석할 수도 있을 것이다) \[ h_1 = \frac{D-1}{C} = \frac{d}{n\left(1+ \frac{\scr D_1}{\scr D_2} - \frac{{\scr D_1}d}{n} \right)} \]

[질문5] \eqref{eq1} 식의 전달행렬의 행렬식(determinent)이 1인 것을 보여라.

[질문6] 굴절률이 1.5 인 유리로 만들어진 양쪽이 볼록한 볼록렌즈의 곡률반경의 크기 $|R|$이 각각 20 cm와 30 cm이다. 이의 두께가 5 cm이라 할 때, 이 렌즈의 전달행렬 $T_\text{lens}$을 구하고, 이로부터 초점거리와 $h_1$, $h_2$를 구하여라.

[질문7] 굴절률이 1.5 인 유리로 만들어진 렌즈가 $R_1=-R_2 = 50 ~\text{mm}$, $d = 10~\text{mm}$로 설계되어 있다. 이 렌즈의 전달행렬을 계산하고, 이로부터 $h_1$과 $h_2$를 각각 구하라. 실제의 렌즈를 적절한 축척으로 그려보고, 그 위에 주요면을 표시하라.

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