운동량

운동량

힘과 운동량

힘을 받지 않는 물체는 운동량이 일정하게 유지된다.

뉴턴의 운동제2법칙에서는 물체에 가해지는 힘이 그 물체의 운동량을 변화시키는 근원으로서 운동량의 시간에 대한 변화율과 같다고 말한다. 따라서 물체가 힘을 받고 있지 않다면 그 물체의 운동량은 변하지 않을 것이다. 힘과 운동량의 관계는 벡터 관계이기 때문에 각각의 성분에 대하여 이 원리가 성립한다. 따라서 어떤 방향으로의 힘이 없다면 운동량의 그 방향 성분은 일정하게 유지될 것이다. \[ \vec{F}_{\mathrm{net}} = 0 = \frac{d\vec{p}}{dt} \quad \Rightarrow \quad \vec{p} = \mathrm{constant} \]

당구대 위에 당구공 하나가 움직이는 경우 당구공이 중력을 받지만 당구대에 의해 받쳐지고 있어 알짜힘은 0 이다. 따라서 이 당구공의 운동량은 일정하게 유지된다.

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힘을 받지 않는 물체의 운동량 보존_ 당구대처럼 마찰이 거의 없는 실험대 위에 공이 움직이고 있다. 공의 운동량이 연두색의 화살표로 표시하고 있다. 공이 받는 중력과 실험대의 접촉력이 비겨서 알짜힘은 0이고 따라서 공의 운동량이 일정한 운동을 하게 된다. 그러나 공이 가장자리에 부딪히는 순간에는 큰 힘을 받게 되어 운동량이 급격하게 바뀐다. 그림에서 공을 마우스로 드래그 하여 새로운 운동량으로 운동시킬 수 있다. 그림에서 공의 운동량이 일정한 것은 공의 흔적을 보여주는 점의 간격이 모두 일정한 것으로 알 수 있다.

물체에 가해지는 힘은 물체의 운동량을 변화시킨다.

한편 물체가 지속적으로 일정한 방향으로 같은 크기의 힘을 받는다면 시간이 감에 따라 그 방향으로의 운동량이 같은 비율로 커질 것이다. 즉, \[ \frac{d \vec{p}}{d t} = \vec{F}_{\mathrm{net}} = \mathrm{const} \] \[ \vec{p}(t) = \vec{p}_0 + \vec{F}_{\mathrm{net}} t \]

이러한 운동의 예로서는 지상에서 중력에 의한 자유낙하운동이나 평행판 축전지 사이에서 가속되는 전자나 이온의 운동이 있다. 이 운동을 속도의 측면에서는 등가속운동이라고 하고, 운동의 형태로 보았을 때에는 포물선운동이라 하지만 앞 식에서 처럼 운동량의 측면으로 해석하는 것도 의미가 있다.

중력에 의해 포물선운동을 하는 포사체의 경우 힘이 일정하게 아래 방향으로 작용하므로 이 방향으로의 운동량은 지속적으로 커진다. 그러나 수평방향으로의 힘이 없으므로 그 방향으로의 운동량은 같은 값으로 유지된다.

[질문1] 평탄한 길을 1,500 kg 의 자동차가 초속 20 m/s 의 속력으로 달리고 있다. 자동차의 엔진을 정지시키니 공기의 저항력에 의해 점점 속도가 점차 줄어들어 10 sec 후에 속력이 10 m/s 로 떨어졌다. 저항력이 일정하게 작용하였다고 가정할 때 이 과정에서 작용하는 저항력의 크기는 얼마인가?

[질문2] 앞의 경우에서 10 m /s 로 줄어든 자동차에 10 sec 동안 일정한 알짜힘이 1,000 N 이 가해지고 나서, 다음 10 sec 동안 500 N 이 가해졌다면 최종적으로 가지게 되는 속력은 얼마인가? 이때 알짜힘은 자동차의 추진력과 저항력 등을 합한 것으로 진행방향으로 가해진다고 가정하라.

_ 이온_ 저항

포사체의 운동량 변화 모의실험

아래 프로그램은 물체가 이러한 운동을 하고 있는 것을 흉내내고 있다. 이 프로그램을 적절히 운용해 보아서 물체의 운동량이 어떻게 변화되고 있는지 잘 관찰해 보자.

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Java?

포사체의 운동량 변화 모의실험_ 지상에서 아래 방향으로 중력이 작용하고 있을 때 비스듬한 각도로 발사된 공의 운동을 보여주고 있다. 이때 공의 위치에 나타나는 숫자는 MKS 단위계에서의 x, y 성분의 운동량 값이다. 화면 아래 중앙에 있는 슬라이더를 조절하면 공의 발사 속력과 발사각을 조절할 수 있다. 또한 그 아래에 있는 체크박스를 선택하여 운동의 데이터를 얻거나 운동 조건을 변경시킬 수 있다. 그중 공기저항을 선택하면 공의 속도에 비례하는 공기저항이 있을 때의 운동을 보여준다. '운동' 버튼으로 운동시키거나 중지시킬 수 있으며 일정한 시간이 지나면 초기값으로 되돌릴 수 있게 된다.

포사체의 운동 관찰

1. 이 프로그램의 처음 설정된 조건에서 '운동' 버튼을 눌러서 공이 운동하는 모양과 궤적을 관찰해 보자. 운동이 끝나면 '처음으로' 버튼을 누르면 다시 시작할 수 있다.

2. 슬라이더로 공의 발사각을 10, 20, 30 등으로 변화시켜서 운동을 관찰해 보자. 이때 '값보기'를 선택해서 운동량의 수평 성분과 수직 성분의 값이 어떻게 변화되는지를 측정하자. '운동'과 '정지' 버튼을 거듭눌러 화면에 표시되는 시간과 운동량의 두 성분을 표로 작성하면 시간에 대한 이들 값의 변화의 추이를 정량적으로 분석할 수 있을 것이다.

3. 공이 수평거리를 가장 멀리 날아갈 수 있는 발사각은 얼마인가. 이 발사각은 공의 초기속력과 관련되어 있는가?

4. '운동/정지' 버튼으로 운동을 단속적으로 일어나게 하는 방법으로 입자의 운동량과 입자의 속도값을 측정하여 물체의 질량을 추측해 보자. 이때 입자의 속력은 시간에 따라 변화되는 물체의 위치 좌표값으로부터 산출해 낼 수 있다.

5. 발사속도를 고정시켰을 때 발사각에 대한 최대 수직 도달거리의 그래프를 그려보자. 또한 발사각에 대한 수평도달거리를 그래프로 그려보고 이와 이론값을 비교해 보자.

공기저항이 있을 때의 운동

1. '공기저항'을 체크하면 속도에 비례하는 저항이 작용하는 운동을 볼 수 있다. 이때 운동량의 시간에 따른 변화를 살펴보아서 저항이 없을 때의 결과와 비교해 보자.

2. 공이 수평거리를 가장 멀리 날아갈 수 있는 발사각은 얼마인가. 이 발사각은 공의 초기속력과 관련되어 있는가?

3. 공기저항이 있는 상황에서 공의 속력을 최댓값인 1.0 m/s 로 하여 발사각을 10 ~ 80도까지 10도 간격으로 발사하여 공의 궤적을 한 화면에 나타내게 하여 수직 높이, 수평거리 등의 추이를 비교해 보자.

_ 저항