회절과 푸리에 변환

앞에서 프라운호퍼 회절(Fraunhofer diffraction)이 창함수의 푸리에 변환된 형태를 그대로 반영하는 것을 알았다. 이를 보다 자세하게 살펴보기 위해서 우선 1차원의 회절과 1차원의 푸리에 변환의 구체적인 예를 보일 것이다.

실제로 창은 2차원 평면 위에 형성되므로 회절은 일반적으로 2차원의 문제지만 한 방향으로 자유도를 가지지 않는다면 1차원으로 취급할 수 있다. 단일슬릿이나 이중슬릿이 이의 예이다. 즉 슬릿의 구조를 하고 있는 보다 일반적인 창의 회절무늬는 1차원 푸리에 변환과 그대로 대응될 것이다.

아래는 이를 보여주는 프로그램이다. 프로그램에서는 창의 모양과 이의 회절무늬 형식으로 보여주고 있지만 실상은 빠르게 푸리에 변환을 수행하는 FFT(fast fourier transformation)로 계산한 결과를 보여주는 것이다. 이전에 다루었던 단일슬릿이나 이중슬릿, 회절격자뿐만 아니라 투과율이 1 이 아닌 경우 등 보다 일반적인 창함수에 대한 회절의 결과도 이를 통해 알아 볼 수 있다.

graph

Java?

1차원 회절과 푸리에 변환_ 1차원 프라운호퍼 회절과 푸리에 변환의 관계를 알아보기 위한 프로그램이다. 화면의 위는 1차원 신호함수이고, 아래는 이에 대응되는 푸리에 변환결과를 다양한 형태로 보여주고 있다. 창의 모양은 화면 오른쪽의 여러 모양 중에서 선택할 수 있으며 컴퓨터는 FFT로 푸리에 변환을 계산하여 바로 그림으로 나타낸다. 한편 화면 아래의 슬라이더들은 노출정도, 창의 가로 방향의 규모, 창의 가로 위치를 조절하는 것이다.

창의 규모와 위치 의존성

1. 'x scale'의 슬라이더로 창의 폭을 변경할 수 있다. 창이 어떤 모양으로 되어 있거나 창의 규모와 무늬의 규모는 정확하게 반비례함을 알 수 있다. 이를 푸리에 변환관계식으로부터 검증하는 것은 간단하다.

2. 'position'의 슬라이더로 창의 위치를 중심 주변으로 좌우로 이동시켜 보자. 이 이동에 대해 밝기(intensity)의 무늬는 변함이 없는 것을 볼 수 있을 것이다. 그러나 복소진폭(complex amplitude)으로 보면 스크린의 각 지점의 위상이 복잡하게 변하는 것을 볼 수 있다. 특히 슬릿이 중앙에서 멀리 벗어나면 위상이 위치에 따라 급격하게 변한다.

대칭 모양

1. 'single slit', 'Gaussian'부터 'saw tooth'까지는 모두 창이 좌우 대칭, 즉 우함수이다. 이의 회절결과도 당연히 좌우 대칭이다. 더구나 이 회절결과를 'complex amplitude' 탭을 선택해서 복소 파동량으로 보면 모두 그 위상이 0, 혹은 $\pi$임을 알 수 있다. 따라서 + 나 - 의 실수 값을 가지고 있는 데 이는 푸리에 변환으로부터 쉽게 검증된다. 즉, 신호함수 $F(x)$가 실수 우함수인 경우 이의 푸리에 변환은 다음과 같이 $\cos$ 함수로만 전개되기 때문이다. \[ f(k_x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty F(x) e^{i k_x x} dx = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^\infty F(x) \cos(k_x x) dx \]

2. 'odd ftn 1.', 'odd ftn 2.'나 'sine'는 창이 기함수로 되어 있다. 이의 회절무늬 역시 좌우 대칭으로 나타나긴 하지만 복소파동량으로 살펴보면 순허수임을 알 수 있다. 앞의 우함수의 경우와 비슷하게 푸리에 변환으로부터 이를 검증할 수 있다.

3. 대칭인 창을 'position'의 슬라이더로 이동하면 회절무늬는 변동이 없지만 대칭성이 깨어져서 복소진폭의 위상이 스크린의 위치에 따라 연속적으로 변하는 것을 살펴 볼 수 있을 것이다. 실제로 빛의 회절에서 그 위상은 직접적으로는 관찰이 불가능하고, 단지 밝기만 나타날 따름이지만 회절무늬가 겹쳐질 때는 의미가 있게 된다. 예를 들어 이중슬릿은 중심에서 각각 좌우로 벗어난 두 단일슬릿의 회절무늬가 위상이 서로 어우러져서 한 번 더 간섭한 결과가 나타난 것으로 해석할 수 있다.

4. 복소진폭은 시간에 따라 $e^{-i\omega t}$의 형태로 복소공간에서 회전하므로 그림에서 나타낸 그 위상의 절대값은 의미가 없다. 그러나 이웃하는 지점간의 상대적인 위상은 일정하게 유지된다.

가우스 함수 및 무족화

1. 'Gaussian'은 창이 다음과 같은 가우스 함수 형태로 주어진다. \[ g(x) = e^{-x^2 / b^2} \] 이는 잘 알려진 확률함수로서 $b$는 함수의 폭을 결정한다. 이의 변환결과를 보면 역시 가우스 함수의 형태를 하고 있는 것을 알 수 있다. 함수의 폭을 넓히면 변환함수는 폭이 줄어들기는 하지만 보통의 회절에서 볼 수 있는 2차 이하의 피크가 사라진 특이한 결과를 보인다.

2. 가우스 함수는 가장자리로 갈수록 밝기가 점차 줄어들기는 하지만 완전히 0 이 되지는 않는다. 따라서 창의 범위가 매우 넓어야 한다. 제한된 영역에서 빛을 통과시키면서 2차, 3차의 피크를 어느 정도 억제할 수 있는 방안이 없을까?
주변부 피크는 함수가 급격하게 변하는 경우 크게 나타난다는 것을 감안하면 가장자리로 가면서 서서히 투과율을 줄여주면 될 듯하다. 프로그램에서 'single slit', 'Gaussian', 'apodization'의 세 슬릿은 창의 폭이 거의 비슷하다. 이들 각각의 무늬를 살펴보면 'Gaussian'은 2차 피크가 나타나지 않고, 나머지 둘은 2차 피크가 나타나지만 'apodization'은 그 크기가 'single slit'에 비하여 현저히 줄어들어 있는 것을 볼 수 있다.

3. 'apodization'은 'single slit'의 투과율을 주변부로 갈 수록 서서히 줄인 다음의 함수형태를 하고 있다. \[ g(x) = \cases { \cos \left( \frac{\pi x}{b} \right) & \text{for} -\frac{b}{2}\lt x \lt \frac{b}{2},\\ 0 & \text{else}. } \] 무족화라고 번역한 apodization은 다리를 제거한다는 그리스어에서 온 말이다. 이는 경계가 뚜렷한 창의 회절무늬가 2차, 3차의 미약하지만 밝게 간섭무늬를 제거하기 위해 경계를 연속적으로 흐리게 한 것을 말한다. 단일슬릿의 경우 1차 피크값에 대한 2차 피크 값은 약 4.7%이지만 슬릿에 반투과 막을 입혀 투과율을 위 함수처럼 변경시키면 1차와 2차 피크 값의 비는 약 0.44%가 되어 거의 2차 피크가 없어진다.

주기적인 창

1. 'grating'나 'cosine', 'sine'는 슬릿의 패턴이 주기적으로 계속되고 있는 것이다. 이의 회절무늬는 날카로운 피크를 하고 있는 데 이 피크는 실상 $\delta$함수의 꼴을 하고 있는 것이다. 주기함수의 푸리에 변환은 푸리에 정리의 변환관계로 귀착되며 따라서 공간주파수 $k$ 값이 $2\pi/L$에서만 그 계수가 살아있다. ($L$은 주기임)

2. 이는 회절격자가 날카로운 선 스펙트럼을 만드는 것을 설명해 준다.

음의 투과율?

1. 'offset'의 슬라이더로 창의 함수에 일정한 값을 더하거나 빼 주는 값을 조절 할 수 있다. 이때 창의 함수가 음이 되는 것은 어떤 의미가 있을까?

2. 음의 투과율은 바로 양의 투과율과 위상차이가 $\pi$나는 것이다. 창의 일부분에서 빛을 지연시킬 수 있도록 유리나 다른 매질을 놓을 수 있다. 심지어 두께를 조절하면 임의의 위상차이를 가지도록 할 수도 있다.

3. 전체적으로 투명하여 투과율이 1이지만 고굴절률과 저굴절률을 교대로 배치하여 위상격자판은 투명하지만 굴절률이 차이가 있는 물질의 상을 선명하게 맺게 하는 장치를 만들 수 있다. 위상차현미경이 이를 응용한 예이다.

백색잡음

1. 창의 모양을 'white noise'으로 선택하면 신호가 -1 ~ 1 의 범위에서 무질서한 값으로 주어진다. 이런 신호를 백색잡음(white noise)라고 한다. 이의 푸리에 변환된 신호도 공간주파수의 분포도 무질서하게 주어지는 것처럼 보인다.

2. 백색잡음은 거의 모든 공간주파수의 신호가 무질서하면서도 고르게 분포한 신호를 말한다. 반면에 무질서하긴 하지만 분포가 고르지 않은 신호를 유색잡음이라 한다. 여기서 백색이나 유색이라 하는 것은 공간주파수를 빛의 주파수에 빗대어서 명명한 것이다.

3. 신호가 시간좌표 $t$에 따라 변할 때 이의 푸리에 변환된 함수는 주파수 영역이 된다. 백색잡음은 주로 시간-주파수 영역에서를 말한다. 전기접점이 연결될때 거의 백색잡음에 해당하는 전자기파가 발생되어 라디오나 텔레비젼이 '지직'대는 소리가 난다. 또한 텔레비젼 방송이 끝난 후 '지직' 대는 소리와 함께 화면이 계속해서 많은 점들이 빛나면서 그 위치가 무질서하게 변하는 것을 볼 수 있는 데 이도 역시 백색잡음에 기인한 것이다.

4. 전자기기에서 나타나는 백색잡음은 도체 내부의 자유전자들이 무질서하게 열운동하거나 번개, 전기 스파크 등이 일어나는 것 때문에 나타난다.

5. 'white noise'을 선택한 경우 설정을 바꾸면 새로운 백색잡음이 만들어져서 이의 변환결과를 보여주게 된다.

(프로그램에서 슬릿의 회절무늬가 길게 띠 형태로 나타나게 보인다. 그러나 실제 빛을 이용한 실험에서는 띠의 길이가 아주 짧게 나타나서 회절무늬의 밝고 어두운 무늬가 가느다란 선 위에 배치된 것처럼 보인다. 이는 슬릿 뒤에 볼록렌즈를 설치하여 초평면에 집속이 되도록 한 결과인 데 완전하게 띠로 나타나게 하려면 대칭성을 유지하기 위해 볼록기둥렌즈를 사용해야 할 것이다. 실험에서 관찰하는 슬릿의 회절은 실제로 세로의 폭이 매우 긴 직사각형구멍의 회절이 된다. 거의 개방된 세로방향의 회절의 효과는 축의 중심에 날카로운 피크를 보인다)