회절과 푸리에 변환

1차원 프라운호퍼 회절이 1차원 푸리에 변환과 대응되는 것처럼 2차원의 프라운호퍼 회절은 2차원 푸리에 변환과 대응된다. 이를테면 스크린은 공간주파수의 공간에 대응되고, 나타나는 회절무늬는 창함수 $g(x,y)$의 푸리에 변환결과의 절대치 제곱, 즉 파워 스펙트럼(power spectrum)의 형태로 나타난다.

아래 프로그램은 다양한 창의 모양에 대한 푸리에 변환결과를 보여준다. 빛의 회절에서 다루었던 원형구멍, 사각형 구멍, 단일슬릿뿐만 아니라 십자모양, 구멍의 배열 등 여러 가지 모양에 대해 결과를 화면에 나타나는 무늬(화면의 오른쪽 'intensity'로 표시된 탭), 그 무늬의 그래프('intensity graph'으로 표시), 파동량의 복소수 값('complex intensity')으로 표시)의 형태로 보여주고 있다.

프로그램은 빠른 속도로 푸리에 변환을 수행하는 FFT(fast fourier transformation)로 만들었다. 그러나 샘플링 수가 512 x 512 로서 약 26만 개의 데이터를 처리해야 하므로 계산시간이 많이 필요하다. 이를 빛의 회절을 이용한다면 빛의 속도로 결과를 보여주게 될 것이다. 여기서 2차원 데이터의 푸리에 변환에 빛을 이용한다는 아이디어를 얻을 수 있을 것이다. 한편 컴퓨터의 특성상 이산적인 데이터를 처리해야 하므로 회절에서의 결과와 약간 상이한 부분이 있는 데 원형구멍의 경우 중심점에서 벗어난 위치에서 대칭이지 않는 무늬가 나타나는 것이 그 예이다. 이는 격자가 바둑판처럼 되어 있는 효과가 가장자리에서 크게 나타나기 때문이다.

graph

Java?

2차원 회절과 푸리에 변환결과_ 원형, 직사각형 등 여러 가지 기하학적인 모양에 대응되는 푸리에 변환결과를 보여준다. 왼쪽 그림은 창의 모양을 나타내고 있고, 오른쪽 그림은 이에 대응되는 푸리에 변환결과의 절대치 제곱, 즉 파워 스펙트럼을 보여주고 있다. 창의 모양은 왼쪽 화면의 아래에서 선택할 수 있으며 'remake' 버튼을 누르면 컴퓨터는 FFT로 푸리에 변환을 계산하여 그림으로 나타낸다. 한편 화면 오른편 아래의 슬라이더들은 파워 스펙트럼을 보여주는 노출정도, 창의 $x$ 방향의 규모, $y$ 방향의 규모, 도형의 방향 등을 조절하는 것이다. 일부 사진의 경우 규모 변경이나 회전 등은 적용되지 않는다. 한편 그래프는 전체 영역에 대해 가로와 세로의 1/2 부분만을 크게 하여 나타내었다.

대칭 모양

$x$축과 $y$축에 대해 모두 대칭인 도형을 선택했을 때의 변환결과의 'complex intensity'를 보면 복소수 값이 실수로만 되어 있는 것을 알 수 있다.

위 프로그램에서 구형, 네모, 다이아몬드, 육각형 등 도형은 정확하게 $x, y$축 각각에 대해 우함수가 되어 'complex intensity'의 그림을 살펴보면 변환결과도 그 대칭성을 유지할 뿐만 아니라 실수로서 $+$ 값이거나 $-$ 값임을 알 수 있다.

규모의 변화

화면의 오른편 아래의 'x scale'나 'y scale'을 변경해보면 도형으로 주어진 창에 대해서는 가로세로의 규모가 변한다. 이를 변화시켜 변환 결과를 살펴보면 규모의 변화에 반비례하여 무늬의 규모가 변하는 것을 알 수 있다. 이는 빛의 회절에서 일반적으로 관찰 할 수 있는 현상으로 푸리에 변환관계식에서 쉽게 검증할 수 있다.

동일한 모양 두 개의 효과

우선 원형의 구멍 하나의 무늬를 살펴보자. 그리고 이와 동일한 크기를 갖는 원형구멍 두 개가 가로로 배열되어 있는 무늬와 비교해 보자.

두 무늬가 전체적으로는 동일한 패턴을 가지고 있지만 원형구멍 두 개가 나란하게 배열된 경우에는 세부적인 무늬가 전체 무늬 속에 나타나는 것을 볼 수 있다. 이와 비슷한 양상을 단일슬릿 회절과 이중슬릿 회절에서 살펴볼 수 있다.

동일한 모양의 배열

창의 모양이 네모의 격자 형태로 배열된 것이나 'random distribution'을 선택해 보면 전체 구멍의 단위 요소에 대한 패턴이 큰 규모로 나타나고, 세부적으로 각각의 구멍이 서로 어우러진 듯한 무늬가 나타나는 것을 볼 수 있다. 동일한 형태의 구멍의 배열에 대한 회절결과는 각 구멍의 회절결과와 각각의 구멍이 점광원으로 되어 있다고 생각했을 때의 회절결과의 곱한 것과 같다 는 회절에서의 배열정리(array theorem)로 설명된다. 이 배열정리를 푸리에 변환관계에서 검증하는 것도 크게 어렵지는 않다.

무족화

위 도형에서 'apodization'을 선택하면 'circular'의 원형구멍과 같은 크기의 구멍에 대해 가장자리의 빛의 투과율을 점차 줄인 것이다. 각각의 무늬를 비교해 보면 무족화의 효과를 관찰 할 수 있을 것이다. 여기서 앞의 1차원에서와 마찬가지로 'apodization'의 도형은 중심으로부터 가장자리로 감에 따라 서서히 빛의 투과율을 1에서부터 줄여서 가장자리에서 0의 투과율을 갖도록 한 것이다. 여기서는 다음의 창함수를 사용했다. \[ g(x, y) = \cases{ \cos \left( \frac{\pi \sqrt{x^2 + y^2}}{b} \right) & \text{for } \sqrt{x^2 + y^2} \lt \frac{b}{2},\\ 0 & \text{else} . } \]

사진

렌즈로 된 결상계는 물체가 스크린에서 상이 맺히는 과정에서 푸리에 변환과 역푸리에 변환이 순서대로 일어나는 것이다. 따라서 중간의 공간주파수 영역에 적당한 구조의 물체로 역푸리에 변환이 일어나는 정보를 가로막거나 통과시키면 상은 약간 변화된 채로 형성된다. 이를 공간필터(spatial filter)라고 한다.

광학계로 공간필터를 구현할 수 있지만 이 역할을 컴퓨터에 맡길 수도 있다. 즉, 초점이 잘 맞지 않은 사진이나 합성된 사진 등을 처리할 때 이를 푸리에 변환시켜 이의 일부 정보를 변질시켜서 다시 역푸리에 변환을 가하면 영상이 복원되거나 가장자리 검출 등 영상에서 특별한 정보를 추출할 수도 있다.