여러 가지 회절

이중슬릿 회절

이중슬릿 간섭(영의 간섭)에서는 빛을 통과시키는 슬릿의 폭이 빛의 파장에 대하여 무시할 수 있어서 이를 통과한 빛은 거의 구면파로 퍼져나가게 된다. 따라서 두 슬릿을 통과한 각각의 구면파가 스크린에 경로를 달리하여 도달하여 일어나는 간섭으로 두 파동의 간섭현상으로 볼 수 있다.

이에 비하여 회절은 각 슬릿의 폭이 빛의 파장에 비견할 정도로 커서 각각의 슬릿을 통과한 빛도 단일슬릿의 회절효과가 나타나고, 최종적으로 둘이 합성되어 마치 단일슬릿 회절과 이중슬릿 간섭이 중첩되어 나타나는 듯한 회절무늬를 만들게 된다.

다음의 회절 관계식에서 \[ U_p = C \int_{\mathrm{window}} \exp(ikr) dA. \] 면적적분은 $x$에 대한 적분이되어 열려있는 구간에 대해 다음과 같은 적분식이 되어 쉽게 계산된다. \[ U_p = C \left( \int_{-b/2}^{b/2} + \int_{a-b/2}^{a+b/2} \right) e^{ik(r_0+x\sin\theta)}dx = C' \frac{\sin\beta}{\beta} \cos\alpha \] 여기서 $C$, $C'$는 상수이고, $\beta=\frac{1}{2}kb\sin\theta$, $\alpha=\frac{1}{2}ka\sin\theta$이다. 따라서 빛의 밝기는 \[ I(\theta) = I_0 \left( \frac{\sin\beta}{\beta} \right)^2 \cos^2 \alpha \] 이 식에서의 $\alpha$와 $\beta$는 서로 비례하며 또한 $\theta$에 거의 비례한다. 그리고 $I_0$는 중심, 즉 $\theta=0$에서의 빛의 밝기로서 이곳의 빛이 가장 밝다.

만일에 $b$가 파장에 비하여 작다면 앞의 밝기 식에서 $\sin\beta/\beta$는 거의 1이 되어 이에 대한 의존성이 없어져서 영의 간섭으로 된다. 또한 $a=0$이면 두 슬릿은 하나가 되어 단일슬릿의 회절로 귀결된다.

보통의 경우 $a \gt b$이어서 $\alpha \gt \beta$이어서 $\beta$에 의존하는 항이 천천히 변하고, 따라서 스크린에서 $\cos^2\alpha$의 무늬가 $(\sin\beta/\beta)^2$의 무늬 속에 숨어 있는 형태를 하게 된다.

위 그래프는 이중슬릿의 회절무늬를 다양한 형태로 보여주고 있다. 화면 아래의 조절창을 변경하지 않은 상태에서 비추어지는 빛의 파장은 500nm이며, 슬릿간격 $a=2.0$, $b=1.0$으로서 두 개의 슬릿이 열려있는 간격만큼 그 사이가 막혀있는 형태이다. 화면의 중앙이 밝은 무늬를 하고 거의 같은 간격으로 밝은 무늬가 형성된다. 그러나 그 밝은 무늬의 밝기는 가장자리로 갈수록 어두워지다가 밝은 무늬가 완전히 사라지는 지점을 지난다. 이 지점을 지나면 다시 조금 밝아지고 다시 어두워 지는 형태가 반복된다. 이렇게 큰 간격으로 밝은 무늬의 밝기가 어두워 지다가 다시 밝아지는 형태는 슬릿의 수를 2에서 1로 변경시키면 이것이 같은 조건의 단일 슬릿의 밝기 분포를 따라가는 것을 알 수 있다.

_ 두 파동의 간섭_ 단일슬릿 회절_ 이중슬릿 간섭_ 구면파_ 진폭

다중슬릿 회절

앞의 "이중슬릿 및 다중슬릿 회절의 진폭과 밝기 분포"의 그래프에서 슬릿의 간격이나 폭을 그대로 둔 채로 슬릿의 수$(n)$를 2개로부터 증가시켜보면 뚜렷한 피크들의 위치는 변하지 않으나 그 폭은 줄어들어 더 첨예해지고 그들 사이에 생기는 $n-2$개의 작은 피크들은 점점 더 높이가 줄어드는 것을 관찰할 수 있다.

이중슬릿처럼 한 슬릿의 폭이 $b$, 슬릿 간격이 $a$의 슬릿이 $N$개 배열되어 있는 경우 이중슬릿과 비슷하게 쉽게 회절공식을 유도할 수 있다. 즉, \[ U_p = C \left( \int_{-b/2}^{b/2} + \int_{a-b/2}^{a+b/2} + \int_{2a-b/2}^{2a+b/2} + ... + \int_{(N-1)a-b/2}^{(N-1)a+b/2} \right) e^{ik(r_0+x\sin\theta)}dx = C' \left( \frac{\sin\beta}{\beta} \right) \left( \frac{\sin N\alpha}{\sin\alpha} \right) \] \[ I(\theta) = I_0 \left( \frac{\sin\beta}{\beta} \right)^2 \left( \frac{\sin N\alpha}{N\sin\alpha} \right)^2 \] 여기서 화면의 중앙에 비춰지는 빛의 밝기를 역시 $I_0$라고 하였지만 절대적인 빛의 밝기는 슬릿의 수 $N^2$에 의존한다. 여기서도 이중슬릿의 경우와 비슷하게 $\beta$에 의존하는 앞의 항은 둔감하게 변하고 $\alpha$에 의존하는 뒤의 항은 민감하게 변한다.

$\alpha$에 의존하는 $[\sin N\alpha/(N\sin\alpha)]^2$항은 단일슬릿에서의 회절 파형이 서로 일정한 위상의 차이가 나는 $N$개의 슬릿에서 나오는 파형들의 간섭의 결과로부터 생긴 것이다. 여기서 분자 $\sin N\alpha$는 빠르게 변하고 반면에 분모 $N\sin\alpha$는 느리게 변한다. 특히 분모가 0이 되는 \[ \alpha=0,\pm\pi,\pm 2\pi, ... \] 에서 최댓값 1을 갖게 되어 주요최댓값(principal maxima)를 형성한다. 한편 $\sin N\alpha$항 때문에 주요최댓값 사이에 $N-2$개의 보조최댓값(subsidiary maxima)를 만드는 데 이는 $\sin N\alpha$이 최댓값을 갖는 지점, 즉 \[ \alpha= \pm\frac{3\pi}{2N}, \pm\frac{5\pi}{2N}, ... \] 근처에서 생긴다. 그러나 이 보조최댓값은 거의 $1/N^2$에 의존하여 $N$이 커질수록 급격히 줄어든다. 이러한 경향은 위 그래프에서 슬릿의 수를 변화시키면서 회절무늬의 밝기분포 그래프를 살펴보아서 확인할 수 있다.

_ 회절공식_ 진폭_ 위상_ 슬릿_ 간섭