회절과 푸리에 변환

프라운호퍼 회절과 푸리에 변환

앞에서 다루었던 단일슬릿의 회절함수 $\sin \beta/\beta$는 1차원의 푸리에 변환에서 대표적인 예로 취급하는 네모난 함수의 변환결과와 같다는 것을 느꼈을 것이다. 뿐만 아니라 다중슬릿이나 회절격자 등 1차원 구조나, 원형구멍, 직사각형구멍 등 2차원 구조에 대한 회절함수도 각각 창의 기하학적인 모양에 대한 푸리에 변환과 관련되어 있다.

여기서는 창이 단지 빛을 전부 차단하거나 통과시키는 경우뿐만 아니라 연속적으로 변하는 투과율을 가지거나 창에서 위상을 달리하여 투과시키는 경우 등 보다 일반적인 상황을 다루고, 이것이 어떻게 푸리에 변환과 관련되어 있는 지를 알아본다.

다음 그림은 프라운호퍼 회절이 일어나는 기하학적 배치를 보여주고 있다. 왼편에서 창에 수직으로 비추어진 단색광은 창을 통과하면서 회절이 이루어진다. 이때 창의 각 부분을 통과한 빛은 그림의 중앙에 있는 렌즈를 거쳐 그 렌즈의 초점면에 놓여 있는 스크린에 회절 무늬를 나타내게 된다.

앞의 그림에서 창의 $Q (x,y)$를 통과한 빛 중에서 스크린의 $P$점에 도착하는 빛은 창의 좌표 원점에서 $P$점에 도착하는 빛에 비하여 광로가 $\delta r$ 차이난다. 우선 렌즈의 중심에서 $P$점으로의 방향코사인을 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$라 하자. 즉 평행광선의 방향으로의 단위벡터 $\hat{n}=(\alpha, \beta, \gamma)$이다. 이들 성분 중 $\alpha$, $\beta$는 매우 작아서 $\tan \alpha \approx \alpha$, $\tan \beta \approx \beta$로 둘 수 있고, $\gamma$는 거의 1로 둘 수 있다. $\hat{n}$과 $(x, y, 0)$의 스칼라 곱이 $\delta r$이 된다. \[ \delta r = \vec{R} \cdot \hat{n} = x\alpha + y\beta = \frac{xX+yY}{f} \] 여기서 $f$는 렌즈로부터 스크린까지의 거리로서 렌즈의 초점거리이다. 회절공식으로 부터 스크린의 $P$점 $(X, Y)$에 도달하는 빛의 파동량을 계산하면 다음과 같다. \[ U(X, Y) = C \int_{\mathrm{window}} \exp(i k \delta r) dA = C \int\int_{\mathrm{window}} e^{i(\mu x + \nu y)} dxdy \] 여기서 $\mu= \frac{kX}{f}$, $\nu=\frac{kY}{f}$으로 놓았다. 그리고 적분 범위는 창의 좌표계에서 열려있는 구간으로 한정된다.

한편 창의 각 지점에서 빛이 부분적으로 투과하거나 위상지연이 일어날 수 있다면 창함수(aperture function) $g(x, y)$를 도입하여 보다 일반적으로 취급할 수 있다. 빛을 완전히 통과시키는 경우라면 $g(x, y)$ 값이 1이 되고, 완전히 가려막고 있다면 0이 될 것이다. 또한 빛을 부분적으로 통과시킨다면 이 값은 0 ~ 1 사이의 값을 가질 것이고, 위상의 지연이 일어나는 것을 고려하면 이 값은 복소값도 될 수 있다. \[ U(\mu, \nu) = C \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty g(x, y) e^{i(\mu x + \nu y)} dxdy \] 이는 다음의 2차원 푸리에 변환과 관련되어 있다는 것을 알 수 있다. \[ F(x, y) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(k_x, k_y) e^{-i (k_x x+k_y y)} dk_x dk_y \] \[ f(k_x, k_y) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty F(x, y) e^{i (k_x x+k_y y)} dx dy \] 즉, $F(x, y)$를 $f(k_x, k_y)$로 변환하는 (역)푸리에 변환과 창함수 $g(x, y)$에 대한 회절 함수 $U(\mu, \nu)$의 관계가 대등하다. 따라서 창의 모양과 관련된 공간함수의 (역)푸리에 변환된 모양이 스크린에 나타나게 된다. 길이의 차원을 갖는 $(x, y)$에 대해 길이의 역의 차원을 갖는 $(\mu, \nu)$를 공간주파수(spatial frequency)라 한다. 이렇게 명명한 것은 시간에 따라 변하는 신호에 대한 푸리에 변환하면 시간의 역의 차원을 갖는 주파수의 개념과 유사하기 때문이다.

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